PESANTEUR ET CENTRE DE GRAVITÉ. II

assujettie à croître ou à décroître avec cette même surface. Une semblable quantité se trouverait encore exprimée par Finlégrale qui précède, si l'on désignait par

non plus réiément de la surface, mais Télément correspondant de la quantité cherchée. Enfin si la surface donnée se trouvait terminée par un contour quelconque, il serait facile de la décomposer en plusieurs parties à chacune desquelles on pourrait appliquer la méthode précédente.

65. Passons au problème des cubatures ou à la détermination du volume des corps.

La position d'un point dans Fespace se trouve complètement déterminée par le moyen de trois coordonnées rectangulaires ou obliques, rectilignes ou curvilignes, polaires, etc., que nous désignerons dans tous les cas par les trois lettres

Cette notation étant adoptée, une surface quelconque pourra être représentée par une équation dont le premier membre renfermera les trois variables a:, ^, 2, ou deux de ces variables, ou au moins Tune d'elles. Pour distinguer ces trois cas Tun de Tautre, nous dirons qu'une surface est de preimèrcy de deuxième, de troisième espèce, suivant que son équation renferme une, deux ou trois variables. En conséquence, l'équation d'une surface de première espèce aura l'une des trois formes

ou, ce qui revient au même, Tune des suivantes, X = constante, y = constante^ z = constante.

L'équation d'une surface de deuxième espèce aura Tune

Il8 STATIQUE.

des trois formes

/(•^>/)=0, /(X,*)=0, f[y^z)z=iO^

OU, si Ton veut, Tune des trois formes

Enfin l'équation d'une surface de troisième espèce sera de la forme

à laquelle on peut substituer la suivante

Cela posé, il est clair qu*à chaque valeur donnée de x, j^ ou ^ correspondra toujours une surface de première espèce, et que par un point donné on pourra toujours faire passer trois semblables surfaces. Nous appellerons surfaces coordonnées des yz^ des zx et des xj les trois surfaces de première espèce qui auront pour équations respectives

Ces surfaces se couperont suivant trois lignes que nous appellerons lignes coordonnées ou axes coordonnés des jc', des Y et des 2, et ces axes en un point qui sera V origine des coordonnées; par suite, Torigine sera le point dont les trois coordonnées se réduisent à zéro.

Une ligne pouvant être considérée comme l'intersection de deux surfaces, sera naturellement représentée par deux équations; si ces équations sont de la forme

la ligne se trouvera située sur la surface coordonnée des .xr, et ne sera pas autre chose que F intersection de cette surface coordonnée avec la surface de deuxième espèce a laquelle appartient l'équation

PESAHTEL'R ET CEHTBB DE GRÀYITÉ. I I9

Eu général y il est clair que toute surface de deuxième espèce, représentée par une équation entre deux variables, coupera Tune des trois sui*faces coordonnées suivant une ligne de deuxième espèce à laquelle appartiendra Téquation dont il s^agit. Nous dirons que cette ligne est la base de la surface.

66. Considérons maintenant l'élément de volume terminé par les six surfaces de première espèce qui passent par les deux points dont les coordonnées sont respectivement

Ce volume, équivalent, dans le cas des coordonnées rectangulaires, au produit

AotAj'Az,

s'évanouira dans tous les cas avec ce produit, et pourra être représenté par une expression de la forme

(w-H j) Aj:A/Az,

w désignant la limite vers laquelle converge, pour des valeurs décroissantes de Ajr,. A^, Az, le rapport du volume ci-dessus mentionné au produit Ax Aj'Az, et la quantité t étant assujettie à décroître indéfiniment avec ce même produit. Dans chaque système de coordonnées, la quantité w ne pourra être qu'une quantité constante ou une fonction déterminée des variables

De plus, après avoir trouvé la valeur constante ou variable de cette quantité \v^ on en déduira facilement l'expression du volume renfermé dans une enveloppe quelconque.

En effet, cherchons d'abord le volume v compris entre les six surfaces de première espèce qui passent par les

1 aO STATKjVE.

points dont les coordonnées sont

On pourra considérer ce volume comme Taccroissement relatif k xeik y d*un autre volume renfermé entre les surfaces de première espèce qui passent par les deux points dont les coordonnées sont respectivement

*•> y^f ^oy *> X* ^'

Désignons par fp[x^y^js) ce dernier volume, et admettons que les caractéristiques A, , A^ , A. indiquent les accroissements que reçoivent les fonctions de x, j^ z, quand on y fait croître x de Ax, on y de Ay^ ou z de Az, le volume cherché v sera

et de plus on aura, en vertu de ce qui précède,

ôktày.^g^ (x, jr, z) = («r -f- s) Ajc ^Jr àz.

En divisant par Az les deux membres de l'équation précédente, puis faisant converger Az vers la limite zéro, on obtiendra la formule suivante :

^ — ^ = (fv-^«)AxA^;

puis en intégrant par rapport à z, à partir de z = Zo , et observant que Ton a, quels que soient x ety^

on obtiendra

V =r A^û,4»{x, Xy 2) = Ax Aj I (w 4- «)//«,

OU, ce qui revient au mème^

p = A,A.4>(x, j, z) = (i -f-«)AxAj / tvfhf

PESAfiTECR ET CEl^TKE DE GRAVITÉ. 131

e désignant une quantité qui aura des valeurs différentes dans les diverses formules, mais toujours des valeurs trèspetites quand Ax et A^ seront eux-mêmes très-petits.

Si Ton voulait obtenir le volume compris, d'une part, entre les surfaces de première espèce qui correspondent aux coordonnées

de l'autre, entre les surfaces de première espèce qui ont pour équations

il suffirait de remplacer z par Z dans le second membre de l'équation qui donne f^; on trouverait ainsi pour représenter le volume cherché une expression de la forme

(i -4- c) AorA^^ I (V£lZf

€ désignant toujours une quantité infiniment petite.

67. Concevons maintenant que x^ et X désignent deux quantités constantes, jtq et Y deux fonctions de la variable X, z» et Z deviennent des fonctions de deux variables x eiy^ et cherchons le volume compris, d'une part, entre les surfaces de première et de deuxième espèce, qui ont pour équations

de l'autre, entre les surfaces de troisième espèce qui ont pour équations

Ce volume croîtra ou décroîtra en même temps que Taire comprise entre les quatre bases des surfaces de première et de seconde espèce, et si l'on désigne par

(h -h t)^x àj-

rélément auquel se réduit ce volume, dans le cas où Ton remplace les surfaces x=Xoj x=X, ^=j^oi y = Y, par les quatre surfaces de première espèce qui correspondent aux coordonnées

on obtiendra pour l'expression du volume cherché

udxdy.

Il reste à trouver la valeur de u, ou, ce qui revient au môme, celle du volume élémentaire

compris, d'une part, entre les surfaces de première espèce qui correspondent aux coordonnées

de l'autre, entre les surfaces de troisième espèce qui ont pour équations

Or, sans changer ce volume élémenlaire, on pourra évidemment remplacer : i° la petite portion de suiface de troisième espèce qui prend son origine au point dont les coordonnées sont

. "^J Xf ^o»

çl qui se termine à celui dont les coordonnées sont

jT-f-Ao:, x-+-^jrj z^-^'àz^

par une portion correspondante de surface de première espèce dont Féquation serait de la forme

e' étant une quantité inGniment petite en même temps que Aa, Ay\ 2^ la petite portion de surface de troisième

PESANTEUR ET CENTRE D£ GRAVITÉ. 1 2l3

espèce qui s'étend depuis le point correspondant aux coordonnées

'y fy Z,

jusqu'à celui dont les coordonnées sont

par une portion correspondante de surface de première espèce dont l'équation soit de la forme

^' désignant encore une quantité inGniment petite. De plus, pour obtenir le volume compris, d'une part, entre les surfaces de première espèce qui sont représentées par les équations*

de l'autre, entre les surfaces de première espèce qui correspondent aux coordonnées Xj x -h- Ajr; y, 7 -h ^JTj il suffira évidemment de remplacer dans la formule

Zo par Zo-h e', et Z par Z 4- e". On trouvera, eu conséquence, pour représenter ce volume une expression de la forme

(i-|-«")Aj:Aj I wdZf

e'" étant une quantité inGniment petite. Eu égalant cette expression à (a -{- e) Aa: Ay, on trouvera

puis, en passant aux limites,

wdz.

ia4 STATIQUE.

La valeur de n étant ainsi déterminée, la formule qui exprime le volume compris entre les surfaces données deviendra

•/ar, Jjr^ »/#,

On aura donc, en désignant par V le volume cherché et supposant les intégrations faites i° par rapport à z entre les limites variables Zo, Z; a® par rapport à y entre les limites variables ^^, Y; 3° par rapport à x entre les limites constantes or^, X,

V= f f f 9dxdydz.

Jx^ Jy^ Jz^ •

Scolie, — Il est essentiel d^observer que la méthode précédente peut servir à déterminer non-seulement le volume compris entre les surfaces dont il s^agit, mais encore toute autre quantité assujettie à croître ou k décroître avec ce même volume. Une semblable quantité se trouverait encore exprimée par Tintégrale qui forme le second membre de la dernière équation, si Ton désignait par

non plus rélément de volume V, mais l'élément correspondant de la quantité cherchée.

Ajoutons que si le volume donné se trouvait terminé, non par les surfaces données, mais par un contour quelconque, il serait facile de le décomposer en plusieurs parties, de manière que chacune de ces parties ou le volume correspondant, pût être facilement calculé par la méthode que nous venons d'exposer.

On peut remarquer encore que si Ton divise par iixùkyùkz les deux membres de Téqualiou

A, A^A,>|; (.r, ^> , s) = (iv -f- s) A.r A / A2,