PESANTEUR ET CENTRE DE 6RAVITÉ

on en conclura, en passant aux limites,

"^-^ dxdjdz ~"v**l^'^'^^

de plus, il est permis de prendre pour ^ [p^-^Jy 2) le volume compris entre les six surfaces de première espèce qui correspondent aux coordonnées

il suffit donc de connaître ce dernier volume pour en déduire la valeur de w.

68. Faisons servir à la détermination des masses les principes que nous venons d'établir.

Dans un corps hétérogène considérons un point qui ait pour coordonnées

Xy yy Z.

Soit V un élément de volume qui renferme ce même point et m la masse comprise sous le volume v\ lorsque Télément v sera très-petit, la masse m sera également trèspetite, mais le rapport

ou la densité moyenne relative au volume v conservera en général une valeur finie. De plus, si on fait décroître indéfiniment les trois dimensions de l'élément v^ sans que cet élément cesse de renfermer le point x, y^ z, le rapport

convergera vers une limite fixe. Cette limite est ce qu'on appelle la densité du corps, au point dont les coordonnées sont j:, /, z, elle est une fonction des trois variables x, y^ z que nous désignerons par la lettre p. Cela posé, on aura

hm — = p.

laÔ • STATIQUE.

et, en supposant les trois dimensions du volume ^ trèspetites,

- r=:p(H-e), m =r pp(i H-g).

Dans ces dernières formules, e désigne une quantité infiniment petite. Si, pour fixer les idées, on imagine que le volume élémentaire «^ soit compris entre les surfaces de première espèce qui correspondent aux coordonnées

la vak'ur de i^ sera de la forme

<'=:«'(i -ht') ^xàyAz,

w étant une fonction des seules variables x^y^Z'^ et, par suite, la valeur de m prendra la forme suivante

m =: (i + 6")p iv LxLy A a.

Soient maintenant M la masse entière du corps, V son volume, et concevons que ce volume soit enfermé ; i° entre deux surfaces de première espèce qui ont pour équa* tions

x^ et X étant des quantités constantes; a^ entre deux surfaces de deuxième espèce qui ont pour équations

y fi et Y étant deux fonctions de x; 3^ entre deux surfaces de troisième espèce qui ont pour équations

z^ et Z étant des fonctions des deux variables x et y. En vertu des principes établis dans des paragraphes précédents, on trouvera pour la valeur de V

J^^ Jy^ •/.-,

( 1 ) V = / / / ivdxdydz.

P£SA^TEUR ET CENTRE DE GRAVITÉ. I aj

Si, dans le second membre de la formule, on i^cril ûwau lieu de w, on obtiendra (u^ 67, Scolie) la valeur de M, savoir

I 1 ^(vdxdydz.

Lorsque le volume V n'est pas terminé comme on le suppose ici, on parvient sans peine à le décomposer en plusieurs parties dont chacune peut être calculée par le moyen de la formule (i). La masse correspondante à cha« cane de ces parties peut alors se déduire de la formule ( 2 ) .

69. Il est essentiel de se rappeler que Ton peut, dans chaque système de coordonnées, déterminer facilement la valeur de w, dès que l'on connaît le volume compris entre les six surfaces de première espèce qui passent par Torigine et par le point dont les coordonnées sont a:, y^ z. En effet, soit ^ (a:, y^ z) ce dernier volume; on aura, comme on Ta fait voir,

Pour donner une première application des formules précédentes, supposons d'abord les coordonnées x, y^ z rectangulaires. Dans cette hypothèse, le volume «f/ (^, j, z) compris entre les six surfaces de première espèce, ou entre les six plans qui passent par Forigine et le point dont les coordonnées x, j^, ^, se trouve déterminé par Téquation

^{x,yyz) = xyz, de laquelle on tire

d^^[x^y^z) ^^ dxdydz

On aurait pu encore arriver au même résultat, en observant que le volume renfermé entre des plans rectangulaires qui passent par les points dont les coordonnées

I a8 STATIQUE.

sont :

se rcduit à un parallélipipède rectangle, dont les dimensions sont respectivement égales à Aor, Aj^, A^, en sorte qu'on a

et, par suite (n^ 68),

Cela posé, les formules qui donnent V et M deviendront

V=/ / / dxdydz=\ / (Z — z,)£Ù:i(r,

.X /.Y nZ

f / I ^dxdydz.

Si Ton considère des coordonnées obliques, mais toujours rectilignes, en désignant par a le volume du parallélipipède qui aurait pour arêtes trois droites respectivement parallèles aux axes des coordonnées, et de plus égales à l'unité de longueur, on trouvera

et, par suite,

Cela posé, les formules (i) et (si) deviendront

r.X /•¥ ^Z pX /.Y

V = a I f I dxdydz = a\ j {jL^z^)dxdy^

J/^X /»Y /»Z I f I pdxdydz.

Concevons maintenant que la position du point dans Tespace se trouve déterminée par le moyen des coordon-

PESANTEUB ET CEIiTRE DE GRAVITÉ, 11^

nées polaires

r désignant le rayon vecteur mené du point que Ton considère à un poÎDt fixe pris pour origine; 0 Tangle que forme ce rayon vecteur avec un axe fixe, ou plutôt avec un demi-axe passant par Torigine^ et p Tangle formé par un plan fixe qui renferme ce demi-axe, avec le plan qui passe par le même demi-axe et le rayon vecteur. Les surfaces de première espèce, c'est-à-dire les surfaces représentées par des équations de la forme

0 =r constante, ou /y ^ constanle^ ou r= constante,

seront évidemment : les premières, des surfaces coniques droites à bases circulaires qui auront pour axe Taxe fixe ; les secondes, des plans passant par Taxe fixe-, les troisièmes, des surfaces sphériques qui auront pour centre

1» • • ongme.

Les équations

appartiendront en particulier, la première au plan fixe, la seconde à Faxe fixe, la troisième au point unique pris pour origine.

Cela posé, le volume, représenté par

se trouve terminé : i^ par deux plans qui renfermeront l'axe fixe, et comprendront entre eux un angle ^al à p ; 2** par une portion de surface conique dont la génératrice formera avec l'axe fixe Tahgle 6] 3^ par une portion de zone sphérique dont la hauteur est équivalente à

r(i — cos9), et Taire, au produit

2wr[r(i — cos0)] = 27rH(i — cosO).

Le volume sera donc une portion de secteur sphérique. I- 9

l30 STATIQUE*

. qui a pour base cette zone et dont le volume est, en conséquence,

-r2irr*(i — cosô) t= ^7rr»(i — cosé).

Ajoutons que le volume ^(O^p, r) s^ra au secteur sphérique dans le rapport de p k a tt, d'où Ton conclura

f(0,;>,r)=f-^/-(i-.cosô),

on, ce qui revient au même,

On aura d'ailleurs, en remplaçant, dans la formule w=: D^^^Kx, j, z), x,y, z, par 9, p^ r,

«f=Dj^^|(0, /?, r)=:r*sin0, ou w' = r'sinO.

La valeur de tv étant ainsi trouvée, on tirera des équations (i) et (a), en écrivant 0, /?, r au lieu de a:, j, z, ^09 /^oî 'o au lieu de a:©, jo» ^o> et 0, P, R au lieu de X, Y,Z,

I I I r'sinô<fOdf/?«/r,

J/.e /»p /.R I I / pr^smBdBdpdr.

Dans ces dernières équations, Tq et R sont des fonctions des variables 0 etp\ po et P des fonctions de la seule variable 6, et^o) ® àes quantités constantes.

70. Après avoir appris a déterminer les masses comprises sous un volume donné, considérons des masses concentrées sur des surfaces ou sur des lignes. La masse d'un corps sous un volume donné est évidemment d'autant plus grande que sa densité en chaque point est plus considérable-, et, si Ton vient à diminuer le volume, il suf-

PBSAïiTEUR ET CERTRE DE GRAVITÉ. l3l

fira, pour que la masse demeure constante, d'augmenter partout la densité. On peut même, en faisant croître in-dëfiniment la densité, renfermer une masse donnée sous un Tolume dont les dimensions soient aussi petites quW le Toudra. Si les trois dimensions viennent à décroître simultanément, la masse finira par être concentrée sensiblement en un seul point. Si deux dimensions seulement viennent à décroître, la masse finira par être sensiblement concentrée sur une ligne ; enfin si une seule dimension vient à décroître, la masse finira par être concentrée sur une surface. C'est de cette manière que Ton arrive à la notion des points matériels, des lignes matérielles, des surfaces matérielles.

Concevons, par exemple, que Ton considère un cylindre d^une longueur constante et d'un diamètre variable; on pourra, sans changer la masse du cylindre, diminuer indéfiniment son diamètre, pourvu que Ton augmente indéfiniment sa densité, et toute l'a masse finira par se trouver sensiblement concentrée sur Taxe du cylindre qui, par ce moyen, deviendra une ^droite matérielle. Quoique les concentrations de cette espèce ne puissent jamais s'effectuer entièrement, néanmoins dans la' mécanique analytique on les regarde comme achevées.

Lorsqu'une masse donnée a été concentrée sur une ligne ou sur une surface, le rapport de cette masse i la ligne ou à la surface en question est ce qu'on appelle la densité moyenne de cette ligne ou de cette surface. Si Ton considère en particulier une portion de la même ligne ou de la même surface qui renferme un point déterminé, la densité moyenne de cette portion, tandis que ses éléments diminuent, s'approche indéfiniment d'une certaine limite. Cette limite est ce qu'on appelle la densité de la ligne ou de la surface au point dont il s'agit.

Considérons, pour fixer les idées, une surface plane ou

l32 STATIQUE.

courbe sur laquelle on fixe la position d*un point au moyen de ses coordonnées x et jr. Désignons par A une portion de cette surface courbe renfermée: i^ entre les lignes de deuxième espèce qui ont pour équations

/o 6t T étant deux fonctions de X ; 2° entre les lignes de première espèce qui ont pour équations

Xo et X étant des quantités constantes. Enfin, supposons qu'une certaine masse M ait été concentrée sur la surface Ay de telle manière que la densité de cette surface, au point qui a pour coordonnées x, jr, soit une fonction de ces coordonnées représentée par p. Si Fou désigne par a un tout petit élément de surface qui renferme le point dont il s^agit,et par m la masse concentrée sur Télémenta^ on aura

6 étant une quantité très-petite. De plus, si on suppose l'élément a terminé par les quatre lignes de première espèce qui correspondent aux coordonnées

a sera de la forme

fl = ( I -4- B)uàx£ix,

et par stdte la valeur de m sera de la forme

//t = (i -h«')ptt t^x Ajr.

Ajoutons qu'en vertu des principes établis n^ 64 la masse M se déduira de son élément m, comme la surface A se déduit de son élément a, et puisque Ton a

A = I • I udxdy.

PBftÀJITEIJR ET CBHTKE DE GRAVITÉ. l33

on aura

M = / / fudxdy.

71. Concevons maintenant que chaque point de Tespace étant déterminé par le moyen des trois coordonnées X, /, Zj on substitue & la surface coordonnée des xy une surface quelconque, et soit B la portion de cette dernière surface comprise entre les quatre lignes suivant lesquelles elle se trouve coupée par les surfaces de première et de deuxième espèce qui ont pour équations

Soient en outre :

M une certaine masse concentrée sur la surface B;

p la densité de la surface B au point qui a pour coordonnées X, Y 5

b rélément de la surface B compris entre les quatre surfaces de première espèce qui répondent aux coordonnées X, a: -h Ax,^, y -h Ay ;

m rélément de masse concentré sur la surface h.

L'élément de la surface b sera déterminé par une

équation de la forme

u désignant une certaine fonction des variables x, y y et e une quantité très-petite. De plus, le rapport 7- devant être

très-peu différent de p^ la masse élémentaire m sera de la

forme

/w = (l -ht')p« AxA/.

Cela posé, en raisonnant comme ci-dessus, on trouvera

I / udxdf'y. M= / I pudxdy.

sec

r34 • • STAXIQDE.

Supposons que Taire 6 soit une portion de la surface courbe qui a pour équation

et soit 6 l'inclinaison de cette surface courbe par rapport au plan des xy^ au point qui a pour coordonnées x ely. On aura

^ = (i -|-«)sécGAx A/, et par suite

U =:.sécô.

Cela posé, les valeurs de B et de M seront

Si Ton appelle a et A les projections des surfac es b et B sur le plan des xy, on trouvera

a = Ax A/, et par suite

dxdjr.

On arriverait encore à cette dernière formule, en supposant que l'équation z =y(a:, y) se réduit à z = o, c'està-dire en supposant que la surface B est une portion du plan des zy. Dans cette hypothèse, en effet, sécd = i, et les équations qui donnent B et M se réduiront, comme cela devait être, à

A=l / dxdy, fA=: I f pdjçfijr.

Concevons que la position d'un point dans un plan si' trouve déterminée par le moyen de deux coordonnées

PESANTEUR ET CEHTKB DE GRAVITÉ. l35

polaires

r dësignanl le rayon vecteur mené du point que Ton considère à un point fixe pris pour origine, et p l'angle que forme ce rayon vecteur avec un axe fixe ou plutôt avec un demi-axe passant par Torigine. i^es lignes de première espèce, représentées par des équations de la forme

p = constante, ou r = constante,

seront des droites passant par Torigine, ou des arcs de cercle qui auront Torigine pour centre.- Les équations

appartiendront en particulier, la première au demi-axe fixe et la deuxième à Torgine elle-même. Cela posé, soit

la surface plane comprise entre les lignes de première espèce qui répondent aux coordonnées

Cette surface plane n'étant autre chose qu'un secteur circulaire décrit du rayon r et correspondant à l'angle p^ on aura

Soit de plus a = (i + e]|u A/^Ar l'élément de surface compris entre les ligues de première espèce qui répondent aux coordonnées

Py ''> P"^ ^Pi '^ + A r.

On aura, en vertu des principes établis ci-dessus,

- dpdr - '

l36 STATIQUE.

et l'on en conclura

Par suite, si A représente la surface comprise i^ entre les lignes de première espèce qui ont pour équations p=;7o, p = Pj poyP étant deii^x quantités constantes; a^ entre les lignes de deiixième espèce qui ont pour équations r == Tq , r = R, To et R éunt deux fonctions de p^ on aura

Supposons en outre une certaine masse M concentrée sur la surface A, de manière que p soit la densité de cette surfacç au point qui a pour coordonnées p et r, on aura encore

flîl = / / prdpdr.

Jp^ Jr^

72. Considérons maintenant une masse concentrée sur une ligue donnée, et supposons chaque point de Tespace déterminé par le moyen de coordonnées quelconques x,j^, z.

Désignons par S la ligne donnée, par x^ , X les abscisses des points extrêmes, par f [x) la portion de la longueur S comprise entre les points x^y x^ par 5 un élément de S compris entre les points qui répondent aux abscisses x et a: + A jr, enfin par M la masse concentrée sur la longueur donnée S, et par m la masse élémentaire concentrée sur l'élément s.

L'élément 5 sera donné par l'équation

*= (i -Hc)ttÂx,

u étant la limite du rapport de 5 à Ax; et si on appelle p la densité de la ligne S au point dont l'abscisse est x,

PESÂDITEDR ET CENTRE DE GRAVITÉ. l^y

on aura

— = p(i-\-g')f 111 = ( I -H «")p«Ax. Cela posé, on trouvera

et par suite

puis, en intégrant les deux membres entre les limites x^y X, et ayant égard aux équations

(p(X)=S, (p(ar.) = o, on aura

S= f udx»

En opérant de la même manière sur Féquation m^={i'\-s)pudx, on passera de m à M, et on trouvera

M = f purix.

73. En résumant ce qui précède et remplaçant dans les calculs relatifs aux volumes la lettre w par la lettre u, on arrive aux conclusions suivantes.

Supposons chaque point de Fespace déterminé par le moyen de trois coordonnées x^y^ z. Soient Zo , Z deux fonctions des variables 3Cy y^y^^^Y deux fonctions de Ja seule variable x^ Xq, X deux quantités constantes.

I ^ Si l'on désigne par (i+e)uAx ^y A z l'élément de volume %f compris entre les surfaces de première espèce qui répondent aux coordonnées

l38 STATIQtJE.

u étant la limite du rapport du volume u au prodmt Ax Ay A z -, par Y le volume compris entre les surfaces de première, deuxième et troisième espèce, qui ont pour équations

par M la masse comprise sous ce volume et par p la densité au point qui a pour coordonnées x, /, z, en aura

I / / udxdftiz, /•X /.Y /»Z

•^jf. •/r, Jz^

2® Sirondésignepar(t + e)iiAxAjl élément a d'une surface courbe compris entre les lignes d'intersection de cette surface courbe avec les surfaces de première espèce qui correspondent aux coordonnées

u ét^nt la limite du rapport de a au produit Ax A^, par A la portion de la même surface courbe comprise entre les surfaces de première et de seconde espèce ayant pour équations

par M la masse concentrée sur la surface A et par p la densité de la surface A au point qui a pour coordonnées X, jr^ on aura

PESAHTEUR ET CEMTRE DE GRAVITÉ. iSg

3^ Si Ton désigne par (i+£)iiAx rélémeni 5 d*ane ligne comprise entre les points d'intersection de cette ligne avec les surfaces de première espèce qui répondent aux coordonnées x, x + Ax; u étant la limite du rapport de 5 à Ax\ par S la longueur de cette ligne entre les points qai répondent aux abscisses Xo , X; par M la masse concentrée sur la ligne S, et par p la densité de la ligne S au point dont Tabscisse est x, on attra

M = f putLe.

l^O STATIQUE.

HUraÈME LEÇON.

Centres de gravité. — Proposition générale relative à la décomposition en éléments inflniment petits des volumes, des surfaces et des lignes. — Application à la détermination des masses et des coordonnées du centre de gravité. — Détermination approchée. — Centre de gravité des volumes. — Centre de gravité des surfaces. — Centre de gravité des courbes. — • Applications. — Théorèmes de Guldin.

74. Nous commencerons par démontrer quelques propositions dont la connaissance nous sera fort utile pour la détermination des centres de gravité.

TnÉo&ÈME. — Supposons que 'A représente une longueur, une surface, ou un volume, et que Ton divise A en éléments ^i , a^ , . . . , a^, dont toutes les dimensions soient fort petites, de sorte que Ton aie

Désignons par (a:, y, «), (xi^ji, ^i),..., (x„, jr„, z„), les coordonnées de points situés dans les éléments ai, â], . . . , a„, ou très-voisius de ces éléments, et désignons par U], z/t, . . . , u„ les valeurs correspondantes d'une fonction u=f(x^ y y z)} enfin, soient ei, e^,..., e„ des quantités positives ou négatives qui deviennent infiniment petites, en même temps que les .éléments ^i , <it , . . . , a„ ; et faisons

(i) S = (a, -|-t|)a, 4-(tf3 -+-•,) <7a -h . . . 4- (w« -+-•«)««,

la somme S conservera sensiblement la même valeur quel que soit le mode adopté pour la division de A en éléments très-petits, et quelles que soient les valeurs supposées très-petites des quantités Ci , 6t , . . . , e„.

Démonstration, — On tirera de l'équation qui dé-

PESAHTEVB BT CENTRE DE GBAVITÉ. 14 1

finit S :

S = ii, a, -h «,«,-+-... -ha«a«-4-Ailf(i,,t,,..., t.),

■3f (ci, e,,. . ., 6„) désignant une moyenne entre la plus grande et la plus petite des quantités e,, «i, . . ., €„; et comme le dernier terme de cette équation sera toujours infiniment petit, il est clair que les valeurs de 6,, e,,..., e^ n'auront pas d'influence sensible sur la valeur de S. De plus, si la fonction u se réduit à une quantité constante on aura

et par suite S différera très -peu du produit i/A.

Supposons maintenant que la fonction u ne se réduise pas à une quantité constante, et concevons que du mode de division adopté Ton passe a un nouveau mode tellement choisi, que chacun des éléments du premier mode soit formé par la réunion de plusieurs éléments du second.

Soient a', a",. . ., les éléments du nouveau mode qui résultent de la subdivision de Télément a^. Dans le passage du premier mode au second, on devra remplacer le produit (li, + ei ) «j par une somme de la forme

= «.;!!/(«' -ht', «"+«"...).

e\ ef^. . . désignant des nombres très-petits, et m', u", . . . les valeurs de u correspondantes à des points situés dans les éléments a', a", . . . , ou très-voisins de ces éléments, c'est-à-dire des valeurs de u correspondantes à des points très-rapprochés du point (t, j, z). En conséquence

et même la moyenne

difierent très-peu de w, et l'expression («' -h e')a' pourra

l42 STATIQUE.

être présentée sous la forme (</i + £1)^1; le nombre e, étant toujours très'-petit, mais pouvant différer de celui que renfermait le produit (uj+ei)^! dans le second membre de Téquation qui définit S. On prouvera de même que la subdivision des éléments a%ja^y,..j n'aura d^autre effet que de convertir les produits

en des sommes équivalentes à des produits de même forme, dans lesquels les nombres e^, es, . • . , auront des valeurs différentes, mais toujours très-petites. Par suite, le passage du premier mode au second ne faisant varier que les nombres et , e« ,...,£„ ne changera pas sensiblement la valeur de. S.

Reste le cas où Ton passe d^un premier mode, dans lequel les éléments de a seront très-petits, à un second dans lequel les éléments soient encore très-petits, mais ne résultent pas de la subdivision des éléments du premier. Pour prouver que la valeur de S n'est pas sensiblement altérée dans le passage du premier mode au second, il suffira d'observer qu'elle ne varierait pas d'une manière sensible dans le passage du premier ou du second mode à un troisième tellement choisi, que chaque élément du premier ou du second mode se trouve formé par la réunion de plusieurs éléments du troisième.

Dans toute cette discussion, dont nous aurions pu nous dispenser, en renvoyant à la première de nos leçons de calcul intégral, on pourrait supposer S déterminée par une équation plus générale, ou de la forme

75. Soit M une masse comprise sous un volume donné ouconcenirée sur une surface ou sur une ligne donnée-, désignons par A ce volume, cette surface ou cette ligne,

PESANTEUR ET CENTRE DE GRAYITÉ. l43

par a un de ses éléments, par m la masse correspondante à l'élément a.

Divisons la masse M en éléments /ni, mj, . . . , m», désignons par ^1 , Af,. . . , a„ les éléments correspondants de la quantité A, et par (x^ , j^, , ^j), (xtjjTt, ^,),. . ., (^n) /n9 ^n) l^s coordonnées des points d'application des forces parallèles qui représentent les poids de ces divers éléments. Enfin, soit g le poids de Tunité de masse et I) ^9 C) ^^^ coordonnées du centre des forces parallèles dont il s'agit; ces forces étant respectivement

on aura

gM = gmi -h gmt -h . . . + gm^ , gM% = gmiXi-i- gm^je^-jr .. . -hgninX^, grMïï = gm^ji -h gmiXi ■+-...-<- /^'''.^rn , grMÇ = ^m,«, -H ^/w, 2,-1-.. .'hgm^z„.

et, par suite,

M = ITli H- /B» -l- . . . + /w„ ,

MÇ = /W| Xt + ntiXi + , . • -f-/WnXn,

M Ç = 'Wi Zi -f- /lîj z, "f" • • • ~H '''il Sfl •

De plus, en supposant les dimensions de Télément a trèspetites, et désignant par t une quantité très-rapprochée de zérO) de l'équation

p = lim — > ^ a

qui définit la densité d, on tirera

et, par conséquent,

£], €t,. . ., €„, désignant des quantités très-petites, et |0,,

l44 STATIQUE.

pt,..., p^ les densités correspondantes aux points

Cela posé, les formules qui donnent les valeurs de M et de Ij riy (^, pourront être remplacées par les suivantes :

M= (H-«i)pifli-l-(i4-i»)paat-l-.. . + (i+i,) p«a„

Mvi = (i-H «,) PiXtOi-h (n-iï) p»r»<»»+ • • • -^ (ïH- ««)piir««»>

MÇ=(i4-«i)pi2itfi-H(H-«a)pi«tfla-l-.. . -+-(i4-««)p,z,a,.

Pour déduire de ces équations les valeurs de M, Ç, 19, f , il suffit de chercher les valeurs que prennent les seconds membres quand les éléments ai, at^^.^yGf^ deviennent , infiniment petits. On obtiendra de cette manière : i^ la masse M \ 2^ les coordonnées ^, y?, Ç de son centre de gravité. Cette masse et cette densité sont ainsi données par les quatre équations

M = Mm Ipa^

lîm lûxa Hm 2 p ja lim ^pza

liinZpa ïimlpa limlpa

et ces limites, suivant qu il s^agit d'un volume, d'une surface ou d'une ligne, seront évidemment, comme nous Tavons longuement exposé dans le calcul intégral et dans la leçon qui précède des intégrales triples, doubles ou simples, prises entre des limites qui embrassent le volume entier, la surface entière ou la ligne entière. Ce centre de gravité, évidemment, ne changera pas de place si le corps vient à tourner sur lui-même*, en effet, les valeurs de Ç, 17, Ç ne varient pas si Ton conçoit que les plans coordonnés tournent avec le corps.

76. Considérons un corps terminé par deux surfaces courbes, par deux cylindres perpendiculaires au plan des

PESANTEUR ET CENTRE DE GRAVITÉ. l45

xjrei par deux plans parallèles au plan des zy. Désignons parz = Zo et z=Zi les deux surfaces courbes, z^ et Z étant fonctions de x et dej^^ désignons encore par^=: o, jr=Y les équations des deux cylindres perpendiculaires au plan des ocy^y^ et Y étant fonctions de la seule variable Xj enfin désignons par a: = Xo , x = X les équations de deux plans perpendiculaires à V&\e des x; X et Xo seront des constantes. On pourra prendre a=ihùxÛLyAz^ k devenant égal k i quand les coordonnées sont rectangulairesy et Ton aura, en vertu de ce qui précède,

I / ^dzdydXy

et, par conséquent,

pxdZfdjfdx

I I I pdzdjrdx •Ar, Jr, A

on aura de même

/ / / pydzdjrdx

/•X /»Y /»Z j 1 I pdtdydx •'«o •'^o •'«•

J/*X /»Y /«Z I / 1 pzdzdydx

j 1 I pdzdjrdx •AT, •/>, t/r.

Supposons que la densité p soit constante, et posons