I. ^ • lO
l46 STATIQUE.
la valeur de $ deviendra dans cette hypothèse
I V xdx
dx
Voyons ce que signifie la quantité U.
Coupons le corps par un plan parallèle au plan des zj;. Les courbes dHntersection de ce plan avec les surfaces z=ZQy z = Z auront pour projection sur le plan des zy deux courbes dont les coordonnées seront 2o et Z ; l'aire du segment compris entre ces deux courbes et Taxe des^ sera
/»Y /.Y /»Y • pY r.Z
•/to •/^« •/r. t/To •/«.
par conséquent U représente la section faite dans le corps par un plan perpendiculaire à Taxe des x.
Quand le corps sera de révolution autour de Taxe des X, on aura U = ttj^', y étant l'ordonnée de la courbe génératrice qu'on suppose située dans le plan des xy et représentée par l'équation j^==/'(j:). Lorsque le corps sera terminé par deux surfaces de révolution, la quantité^* signifiera la différence entre les carrés des coordonnées des deux courbes génératrices.
La valeur de Ç sera donc donnée par Téquation
I jr^xdx
Exemples. — I. Soit donné un cône oblique ou une pyramide à base plane quelconque ^ toutes les sections parallèles à la base seront semblables entre elles, et, par conséquent, leurs aires seront dans le rapport des carrés
PESANTEUR ET CENTRE DE GRAVITÉ. l^J
de leurs distances au sommet. Si Ton prend ce dernier point pour origine des coordonnées, et pour plan des j^^ un plan parallèle à la 'Base du solide, Taire U sera égale au produit de x* par une constante, et la formule (4) donnera
En supposant Xq = o, pour aller de la base au sommet, on trouve
c'est-à-dire que le centre de gravite d'un cône ou d'une pyramide entière est à une distance de la base égale au quart de la hauteur. Comme les formules (i), (12), (3) subsistent également pour des coordonnées obliques, on peut prendre pour axe des x la ligne qui passe par le sommet et par le centre de gravité de la base \ cet axe alors passe par les centres de gravité de toutes les sections, parallèles, et, par suite, semblables à la base. Dans cette hypothèse les deux intégrales
s'évanouiront pour une valeur quelconque de x, et il s'ensuit que les deux coordonnées 17 et ^ seront égales à zéro, en vertu des formules (a) et (3). Le centre de gravite du cône ou de la pyramide, soit entière, soit tronquée parallèlement à la base, est donc situé sur la droite qui joint le sommet au centre de gravité de' la base.
n. Cherchons maintenant le centre de gravité d'un octant de la sphère. Soit a son rayon, et plaçons l'ogigine des coordonnées au centre de la sphère. On trouve alors
lO.
l48 STATIQUE.
par suite
a (a^ — .r* ) xcLr
,Jo 3
Comme on peut indifféremment choisir pour axe des X l'une quelconque des trois arêtes de Toctant, il est évident qu'on aura aussi
m. Soitj^ = or™ l'équation de la génératrice d'une surface de réyolution. La formule (5) donnera
x """♦"' dx ^o 2m -H X^-*"'__ 2/ii-f- 1
