IH-2 X*^' ~~ 2/W

s = -ix: = ——.7^ = — ^x.

I x^^dx

Pour m = 2, on aurait

C'est le centre de gravité d'un solide en forme d*entonnoir qui est engendré par la révolution d'un arc de parabole autour de la tangente au sommet. S'il s'agit du volume compris entre la surface parabolique et le plan de rota<^ tion de l'axe de la parabole, il faudra prendre pour j"* Ja diâérence Y* — j^ laquelle, multipliée par tt, représente l'aire d'un anneau circulaire. Dans ce cas, on aurait /»X /»X

[ {^X'—j^)dx \ {^lL^^x^)dx 5^

PESANTEDH El\ CENTRE DE GRATITÉ. l49

IV. Prenons pour équation de la courbe génératrice jr* = ax; le centre de gravité du paraboloïde sera déterminé par son abscisse

5 = -tni =^x.

xdx o

V. Considérons un tétraèdre aux arêtes a, i, c, l'équation de sa base, en coordonnées rectangulaires ou obliques, étant

abc

Nous aurons

ni xdxdydi

Intégrant par rapport àj', on aura

et enfin

On trouvera

de la

même manière

Un plan parallèle à la base a^ira pour équation

et s'il passe par le centre de gravité, on pourra faire

ce qui donne

La distance de ce plan au sommet du tétraèdre est donc égale au3c trois quarts de la hauteur.

VI. Appliquons encore la formule (5) à un ellipsoïde de révolution . L'équation de Tellipse génératrice sera

par suite

valeur indépendante de la grandeur du petit axe, et qui sera la même pour tous les ellipsoïdes qui auront le même grand axe. On la retrouve d^ailleurs encore pour un ellip-

PESANTEUR ET CEfiTUE DE GRAVITÉ. l5l

soïde à trois axes. Dans le cas d'un demi-sphéroïde, ou aura

JT» = Oy X ^= a,

et par suite

Cette expression s'applique évidemment aussi à un hémisphère.

Daos le cas d'un solide de révolution, on peut prendre l'axe de révolution pour axe des x, et, en appelant r la distance d'un point queltonque M à cet axe , a Tangle de rotation, on aura

jr = rcos a, z = r sin a , dxdydz = rdrdxdoL ;

par suite, les formules (i), (2), (3), p. i45, donneront

I I rxdr€ljcd%

rdrdxdcL

r^ cosadTdxdoL

rdrdxda.

Hsina^rc/jr^a

rdrdxdoL

J/»A /»n /»ii

En désignant par / la distance à Torigine des coordonnéesi^ on aura

91 -2.1 i j j 'ij-i/ rldldoidz /» =r /^ 4- JT», dxdydz = - drrdctdl = - f

l5a STATIQUE.

par conséquent

rldrdidoL

Exemples. —I. Soit donné un segment de sphère compris entre deux plans qui passent par l'axe de» x, ^ terminé par un fuseau^phérique. Les limites des intégrations seront, par rapport àa, a = oet'a = A*, par rapport à r,

r = o et r = ^a* — x* f par rapport à x, a: = — a et x=:-\-a. De cette manière on obtient pour la valeur du dénominateur de f , yj, ^, dans (6), (7) et (8),

Le numérateur de ( s'évanouit, nous avons par conséquent Ç = o. Les numérateurs de tî, ^ deviennent respectivement

(û» — x*y dx = ^ sin A

et

— ir

(«' — x')* €/j7 = ^(i — cos A)a*;

par conséquent

3 sinA

3 I — cosA

Ç = -^ ira

IL Cherchons en second lieu le centre de gravité d'une pyramide triangulaire, terminée par une surface sphérique ayant le sommet pour centre et Rq pour rayon.

Soient donc A, B, C les trois angles du triangle sphé-

PESANTEUR ET GERTRE DE GRAVITÉ. l53

ri(pie donné ou de sa projection sur une sphère concentrique; a, i, c les côtés opposés aux angles A, B, G', le centre sera Torigine des coordonnées. Taxâmes x passera par le sommet Â, et le plan des xz par le côté c. Nous nous servirons, cette fois, de la valeur exprimée par la formule (9), p. i52, pour Tordonnée Ç, et nous désignerons par f Tare compris entre le sommet A et un point quelconque du côté opposé a, de manière que, le long de ce côté, on ait r = R = /sinf . Alors il s'agit d'intégrer d'abord sur une sphère du rayon /, entre les limbes a =0 et a = A, rr=o et r = /sin(p, et d'étendre ensuite la troisième intégration depuis /=:o jusqu'à Z=Ro. L'intégration relative à r donnera premièrement

I l'dl l (i — ços if) da, 0 c/o

Maintenant il est facile de voir que les trois arcs différentiels rduj Ida et ld(f forment un petit triangle rectangle dont le côté rda est opposé à l'angle (3 compris entre les arcs (f et a. On aura donc rda =± Ida sin (3 ; or r=:/sinf, et ^nf sinj3 == sinisinC , par suite, siu*<f da. = sinbsinCda. D'un autre côté, la formule

cosp ^= — cosa cosB + sin a sin B cos c

donne facilement — cosf ^a =: ^f (3 ; et les limites a = o, a = A se changent, pour a, en a = o et a = a ; pour (3, en P = w — B et/3 = Cj par conséquent

A sin'cpr/a rzzasinb sinC

l54 STATIQUE

et

f (i^coiç)fi?»= A-H 1 </p== A-hB-hC — ff.

De cettç manière, et en exécutant la dernière intégration par rapport à /, on obtient

3^ asïnbslnC 5 = 5lU