A-+-B-+-C — TT
C'est la dislance, au sommet de la pyramide, de la projection de son centre de gravité sur Tarète qui passe par le point A. On trouverait des expressions analogues pour les deux autres coordonnées.
77. Centre de grauité des surfaces. — Supposons maintenant que la masse est conceittrée sur une surface courbe; soient b^, £,,..., 6„ les éléments de cette surface^ ai , a^ , . . . , a„ leurs projections sur le plan des xy^ 01 , 0j 5 . • • 5 ^« » l^s angles qu'ils forment av«c le plan des xjr : on aura
M =:r IimZ/71 =:\imlbpz=ziimtp€t^cQy
ouy puisque a =s AxAy^
et, par suite,
M$ = \imXmx^=\imlpbx = MtnlpxaèécB^ on en conclura
Jl I pxsécôeiydx
psécô^'^
pesauteur et cemtre de gravité. i55
on aura de même
I I pWcBdjrdx
Jl I p%èc^zdfdx p séc 0 djdjc
équations dans lesquelles
Si la surface est plane, la valeur de ^ sera inutile et les deu:K premières formules suflEiront ; alors aussi
9 = o, séc6 = I , (4) Ç— ^x /.Y '
ff
/•Y En supposant la densité p constante et i dy=^l^
1 56 ancÂTiqviR,
on aura
•/jCq
Ixdx
Idx
l est la longueur de la ligne d^intersection de Faire plane par une parallèle à l'axe *des j^. Les mêmes formules subsislent d'ailleurs pour des coordonnées obliques.
Si séc 6 est constant comme pour un cône ou pour un cylindre droit dont les axes seraient parallèles à l'axe des z, les formules ci-dessus deviennent
f f pxdydx
pdyeix
^ydydx
^dydx
^zdydx
^dydx
Dans ce cas, g et y? ont les mêmes valeurs que les coordonnées du centre de gravité de la projection delà surface sur le plan des xy^ et par conséquent le centre de gravité de la surface se trouve sur la perpendiculaire au plan des 3cy^ menée par le centre de gravité de la projcK*tîon. Alors en désignant par V le volume du corps, par R
PESANTEUR ET CENTRE DE GRAVITÉ. l^J
sa projection, on a
Dans un cône droit dont Taxe coïnciderait avec Taxe des z^ on aura
Si la surface est de révolution autour de Taxe des z, on aura, en introduisant les coordonnées semi-polaires, ou faisant x = r sina, y = r cosa,
séc 0 = ^i -h (Drzy, dxdy = rdrd%,
pr* sina sécBdrda
p r séc 0 drda R /«A
pr^ cosa sécB drdx
prsécô drda
ff
J/»R /«A I I prz^cBdrdoL
prsccBdrdd
Pour une surface plane,
I I pr^sinaz/r^a I j pr^cosadrdoL
i / prdrda i | prdrda
l38 STA.TIQUE.
Exemples. — I. Cherclions d'abord le centre de graviié de la demi-surface d'un ellipsoïde à trois axes io^aux. Son équation sera
d'où
sec
par cpnséquent, en venu de la formule (3),
Quant à I, 73, il ^est facile de voir que ces coordonnées seront égales à zéro. En effet, séc 6 et z sont fonctions de X* et de j^* 5 par conséquent
xdxdy . sécO
xdxdr , sécÔ = 0,
puisque Fintégrale se décompose en deux parties égales, mais de signe contraire; on trouve également
y dy dx séc 0 =0.
Il s'agit donc seulement de déterminer ^. En posant
- = rsiDa, 7t=:rcosa,
PESANTEUR ET CEUTRE DE GRAVITÉ. 1 Sp
on obtient la transformation suivante :
j I rdrda i/ i -f- rW — sîn'a -♦- j^ cos*a — i \
en faisant
A = --sin'a -f- -r-cos'a — i,
le namérateuir devient
air
et le dénominateur
o \i Jo =. I rfa( H -=r-arctang^j
' tfa — =r-arclangYA,
o si A
VA et par conséquent
J/»2îr o
ir H — i =— arc tang JÂ dot
2 Jo v/A
U serait inutile, ici, d'aller plus loin, parce que ces intégrales dépassent déjà les fonctions elliptiques.
II. Considérons maintenant quelques surfaces planes. Prenons d'aboixl un triangle dont la base serait parallèle
i6o STATIQUE,
à Taxedes y el le sommet à rorigîne; nous désignerons la base par i, et la hauteur du triangle par ft. La formule
I Ixdx
Idx
donnera alors, puisque - = 79
x^dx
?=— ^ÎT^ — 0:=^ 7..
xdx
telle serait l'abscisse du centre de gravité d'un trapèze ou triangle tronqué. Pour le triangle entier on fera Xo=o, X = /i, ce qui donne
Le centre de gravité d'un triangle se trouve donc à une distance de la base égale au tiers de la hauteur ^ et cette remarque s'appliquant aux trois côtés également, on en déduit sans peine ce théorème que le centre^ de gravité du triangle est à l'intersection des trois lignes droites qui joignent chaque sommet au centre du côté opposé.
III. Cherchons à présent le centre de gravité de l'aire d'une branche de cycloïde, et celui de sa moitié. L'équation de la cycloïde peut être mise sous cette forme :
xr=.a[\ — cosb>)y ^ = fl (» -f- sin w), d'où
dx=rasintt^&>, <(7^ = a(i+cosw)rfw, 4:rfj = a*sin'«£fw.
pesauteur et çestre de gravité. i6i
Nous avons k déterminer les trois intégrales
La première devient
I /£& = XY — I xdx = XY — fl* I sin»w£/6» i/o t/o «/o
= XY — iflMn — -sinaaj.
La deuxième sera
I (i — coso») $in'6i^6> o
= - X»Y— - flM -ft — 7 8in2a — - sin'a I . 9. a \2 4 2 /
Enfin la troisième
= - XY» — «' / (» H- sin ») 8in»«£/» == - XY» \-a»f j(a— sinan)-!-^— jcosn— gcos20 + — cos3û).
On obtient ^, >} en divisant la deuxième et la troisième intégrale par la première des trois. Pour l'aire totale de la cycloïde, on aura X= o, Y= 2a7r, 12= 27r, ce qui donne
