IV. Soit donnée une zone sphérique de hauteur A

Nous nous servons des formules (7), (8), (9). L'intégration relative à a, depuis a = o jusqu'à a = aTi, donne d'abord

?.-.„=. o, et ^= \

Mais

rdr = — Zf/z, par conséquent,

Js 1 ZH-^'— z' ^ I .

Le centre de gravité d'une zone est donc situé à moitié de la hauteur.

V. Centre de gravité d'un triangle sphérique. Eu adoptant les notations dont nous avons fait usage pour déterminer le centre de gravité d'une pyramide à

PESAUTEUR ET CEUiTHE DE GRAVITÉ. l63

base sphériqae , nous aurons , puisque

/=R<, et ^1-+. (Dr »)» = —> I I rdrdoL j sin'y

donc enfin, en procédant comme p. i53,

R9 a sin ^ sin C

2 A-hB-f- C — ïT

Si Ton projette le centre de gravité sur les trois arêtes, ou rayons extrêmes du triangle spbérique, les distances des trois projections au centre de la sphère seront ^ et deux antres expressions analogues ; et ces distances seront proportionnelles aux cosinus des angles que le rayon passant par le centre de gravité forme avec les trois arêtes. On voit aisément que ces distances et ces cosinus sont

dans les rapports -, — : -r— ; : -: — • Les distances au centre ^^ sma sin6 smc

de la sphère, des deux centres de gravité de la pyramide

et de sa base spbérique , sont entre elles comme 3:4-

VI. Centre de gravité de la surface d'un hémisphère dont la densité est proportionnelle à la distance à la base.

En supposant, dans la formule (7)9 jO proportionnel à ^, on obtiendra

I 1 zrdrda j rilr\/Kl — r'

^^ ^«0 ^iTT ~" ^

rdr

( 1 rdrdz j

l64 STATIQUE.

donc enGn

Ro étant le demi-diamètre de la sphère.

78. Centre^de gravité des lignes. — Supposons maintenant que la masse est concentrée sur une ligne ; soient ^19 ^19 ^S9 • • «9 l^s éléments de la longueur de la ligne 5, ti^UyU'i' ' ')^^^ angles de ces éléments avec l'axe des x,

M = lim Z /n = lim Zp5 =1 psécidxy

par suite

p sec txdx

séc/</.r

I p sèctydx

(il) >,=

pséctdx

f ^%êctzdx

pséc/dlr

Si la courbe était une hélice, alors séc t devenant une

PBSAIVTEUR ET GEBTRE DE GRAVITÉ. l65

quantité constante, on aurait

xdx

Si la courbe est plane, alors

ei ToD peut supprimer (^.

Si la courbe est à double courbure ,

Exemples. — I. Centre de grauùé d'un polygone. — Soient Xj ,yi , Xt ,/«,«.., les coordonnées des sommets dtt polygone. Les intégrales

I séctilx, j iéctxdx, I Èécijrdx,

56 décomposent en sommes d'intégrales pour chacune desquelles séc t sera constant ^ on trouvera donc

2 séc/ I xdx

I 2;(X' — g;)séc/^

•^ 2 2{X — Jr,)5éc/

s séc/ I dx

éct I

or, en désignant par /i« , /sa , . . . , les longueurs des côtés, on aura (X — x^) séct = /, et par conséquent

, 2. ^(X + irQ/ (x, H- gi) Aa ■+- ( Jg> -4- Xa ) /» -h . . .

l66 STATIQUE.

De même

zaécr f ydx iscc^tangfl xdx

Jx, *^^o

2séc/ f dx

II. Trouver le centre de gravité d'un arc d'hëlice. Prenons pour équations de la courbe

xzzi b arccos — ?

En faisant x, = o, nous avons d'abord

ensuite