XX /«X

Comme on a rfj: = — b ' > il vient

De même

79. I ** L'élément d'une surface de révolution est a Jtyds ou bien 2 7rjsécf<ir, en supposant que l'axe des x est

PESANTEUR £T CEHTRE DE GHAVlTt':. 167

Taxe de révolation, sa surface sera

B= 2ir I y^tdx\

séc tydx

mais » = ^^ y y n étant Tordonnée du centre de

séc tdx gravité, et si nous appelons s la longueur de Tare généra-

leur. 5=1 séctdx. On a donc

^ s= j sei

B = nimSf

c'est-à-dire <pie Voire de ta surface de révolution est égale au produit de l'arc générateur par la circonférence que décrit le centre de gratuité de cet arc.

Exemple. Pour trouver le centre de gravité d'un arc de cercle, supposons que sa corde c soit parallèle à Taxe des X, on aura pour la surface de la zone sphérique

B =: 2ir/ic = 2iciif , d'où u = —

2^ L'élément du volume d'un corps de révolution est 2 71 (Y* — yl)dx^ et par suite

X /*Y V = 2ir I I rdydx;

mais comme, en désignant par Yi l'ordonnée du centre de gravité de la surface génératrice, on a

Xdjrd:r

dydx

l68 STATIQUE.

OQ aura

V=2fc7nfïB.

Le volume engendré est égal au produit de la surface génératrice par la circonférence que décrit le centre de grav^ité de cette surface. Ces deux propositions sont connues sous le nom de Théorèmes de Guldin, qui les formula le premier.

80. Nous ne terminerons pas cette leçon sans signaler deux propriétés élémentaires, mais remarquables, du centre de gravité d*un système quelconque de corps ou de points.

I. Soient A, A'^ . . . les centres de gravité de plusieurs corps dont les poids sont respectivement p^ p',. . . , et soit A] le centre de gravité commun du système de ces corps ^ appelons r, /*^,. . ., les distances Ai A, Ai A',. .. ; si Ton applique au point A| suivant Ai A, Ai A',. . . des forces pr^ p' r^^, , , proportionnelles â la fois an poids et a la distance au centre de gravité commun, ces forces se feront nécessairement équilibre. En effet, menons par le point Ai trois axes rectangulaires que nous prendrons pour axes des coordonnées, et soient {x^y^ 2), (a/, y^ z')y. . . les coordonnées des points A, A', . • • î puisque le centre de gravité conmiun Ai (Xi,/i, ^i) est à Torigine des coordonnées, on aura nécessairement

Spx ipr "Lpz

ou simplement

l,px = o , ipy = o , ipz = o .

Mais en appelant (a, S, 7), (af^ S', 7'), . . • les angles que les lignes Ai A, Ai A'?- • • font avec les axes, on aura

X ■= r cos a , / = '' ces 6 , z=zr COS7 ; x' =r r' cos a', . . .