GIANDEUAS COEXISTANTES^ RAPPORTS DIFFÉRENTIELS

rapports différentiels

de plusieurs grandeurs ou quantités coexistantes î

mais aussi le rapport différentijel ç de la somme {

A-hB + C-h...,

à une nouvelle grandeur ou quantité K, le dernier rapport c, ou le rapport différentiel de la somme

sera en même temps la somme des autres rapports différentiels, en sorte qu'on aura

Supposons à présent que, dans la somme S, les grandeurs ou quantités

se trouvent respectivement multipliées par des facteurs constants

en d'autres termes, supposons que la grandeur ou quantité S représente une fonction linéaire des grandeurs ou quantités

décerminée par la formule

(la) S=r>A + fAB -hvC-h

Si Ton nomme toujours

les éléments des grandeurs

et si Ton compare encore ces diverses grandeurs ou quan-

IpO STATIQUE.

titës à une nouvelle grandeur ou quantité K doni Vêlémentsoh Al, on trouvera, eu égard à la formule (12), nonseulement

(i3) * = Xa-|-fxZ>-H vc-h. . .,

mais aussi

puis en supposant que^ dans cette dernière équation, les éléments

s'approchent indéfiniment de la limite zéro, on se trouvera conduit à la proposition suivante :

Théorème XV. — Si Ton calcule, non-seulement les rapports différentiels

a, 6, 7» . . . , de plusieurs grandeurs ou quantités coexistantes

mais aussi le rapport différentiel c d'une autre grandeur

ou quantité

>A + fxBH-vC-+-...,

représentée par une fonction linéaire des premières, à une nouvelle grandeur, ou quantité coexistante K, le dernier rapport ç sera exprimé en fonction linéaire de tous les autres, tout comme S s'exprime en fonction linéaire de A, B, C, . . . ^ en sorte qu'on aura

(i5) çi=Xa4-fi€ -h vy -!-•..

Il est bon d'observer que, dans le théorème XV, les coefficients

GBANDEU&S COEXISTANTBS, RAPPORTS DIFFÉRENTIELS. I91

peuTent être ou positifs, ou négatifs. Si, pour fixer les idées, on suj^sait

>=!, ^=: — I, v = 0, etc...,

le théorème XY pourrait être énoncé comme il suit :

Théoùmb XVI. — Si Ton calcule non<-seiilement les

rapports différentiels

de deux grandeurs ou quantités coexistantes

A, B, mais aussi le rapport différentiel de leur différence

k une nouvelle grandeur ou quantité coexistante K, le dernier rapport c, ou le rapport différentiel de la différence A — B à K, sera en même temps la différence des deux autres rapports différentiels a, S, en sorte qu'on aura

(17) szzza — 6.

Observons aussi que le rapport différentiel , désigné par c dans le théorème XIQ, s'évanouira toujours avec la somme S, et que réciproquement en vertu du théorème XIV, cette somme s'évanouira toujours avec le rap* port différentiel «. Donc Téquation

(18) XA + f*B-f-¥C-+-... =0 entraînera toujours la formule

(19) >a-|-ft6 4-v7.. . =0,

et réciproquement cette formule entraînera toujours l'équation (18). On peut donc énoncer encore la proposition suivante :

Théoremb XVII. — Si plusieurs grandeurs ou quantités coexistantes sont liées entre elles par une équation linéaire quelconque^ la même équation linéaire exis-

ig% STATIQUE.

tera eutre les rapports différentiels de ces grandeurs ou quantités à une autre; et réciproquement, si ces coefficients différentiels sont liés entre eux par une équation linéaire, la même équation linéaire existera entre les grandeurs données.

Remarquons encore que les formules (8), (1^)9 (16), et les formules (11), (i3),(i7), sont, tout comme les formules (18) et (19), des équations linéaires qui lient entre elles, d'une part les grandeurs ou quantités coexistantes

d^autre part les rapports différentiels

«> €> 7»»» et ç,

des grandeurs ou quantités dont il s'agit à une nouvelle grandeur ou quantité K. Par suite, on pourra remonter de la formule (il), (i5) ou (17) à la formule (8), (la) ou (16), tout comme on remonte de la formule (19) à la formule (18).

Donc aux théorèmes XIV, XV, XVI, on pourra joindre les théorèmes inverses qui sont compris, comme eux, dans le théorème XVII, et que nous allons énoncer.

Théorème XVIII. — Soient plusieurs grandeurs ou quantités coexistantes, et

a, 6, 7,. . . , Çy

les rapports différentiels de ces mêmes grandeurs ou quantités comparées à une nouvelle grandeur ou quantité coexistante K. Si le rapport différentiel c est la somme de tous les autres a, 6, 7, . . . , la grandeur ou quanti^ S sera pareillement la somme des grandeurs ou quajQtités A, B, C, • . • En d'autres termes, Téquation

GRABDEORS COEXISTANTES, RAPPORTS DIFF^RBUTIELS. I93

entraînera l'équation

S = A4-B-hC4-

Théorème XIX. — Les mêmeç choses étant posées que dans le théorème précédent, si le rapport dîfTérentiel ç s'exprime en fonction linéaire de tous les autres, la grandeur ou quantité S s'exprimera de la même manière en fonction linéaire des quantités A, B, C , . . . . En d^autres termes, la formule

ç = >.a -h fi6 H- V7 -h . . .

entraînera la suivante

S = XA-hf*B4-vC-h

Théorème XX. — Soient

A, B, S, trois grandeurs ou quantités coexistantes, et

les rapports différentiels de ces mêmes grandeurs ou quantités, comparées à une grandeur ou quantité coexistante K. Si le rapport différentiel c est la différence des deux autres a et 6, la grandeur ou quantités sera pareillement la différence des grandeurs ou quantités A et B. En d'autres termes, l'équation

ç = a— 6 entraînera l'équation

Lorsque deux grandeurs ou quantités coexistantes se réduisent à une variable j: et à une fonction j- de celte variable, le rapport différentiel de la fonction à la variable est précisément ce qu'on nomme la déwée de la fonction, ou le coefficient différentiel,

Lorsque deux grandeurs ou (quantités coexistantes se réduisent au produit de n variables x,/, 2 , ...» et à une fonction f de ces variables , le rapport différentiel de la fonction f au produit xyz, . . , est précisément ce qu'on nomme la Êérïuée de F ordre n de la fonction (f, prise par rapport à toutes ces variables.

D'ailleurs, pour que la variable x, ou le produit xyz, . ., et la fonction <f de x, ou de x, y, z,. . ., représentent deux grandeurs coexistantes, il suflGt que la fonction (f s'évanouisse avec la variable x, ou avec les variames x% 'j y 2 y • • • •

87. Problème. — Soit K une grandeur toujours positive, dont cbaque élément varie dans un ou plusieurs sens avec une ou plusieurs variables indépendantes; et supposons que, pour chaque système de valeurs attribuées à ces variables, le rapport différentiel p d'une seconde grandeur ou quantité S à la première ait une valeur connue et déterminée qui varie avec elles par degrés insensibles. On demande une méthode qui puisse servir à calculer la grandeur S, avec un degré d'approximation aussi grand que Von voudra.

Solution. — En vertu du théorème V, le rapport

sera, dans l'hypothèse admise, une des valeurs du rapport différentiel p correspondantes à la grandeur K. On aura donc, pour l'une de ces valeurs de p^

ou, ce qui revient au même,

(20) S = pK.

GRANDBUaS COEXISTANTES, RAPPORTS DIFF^.RFRTIELS. I95

Pareillement, si Ton nomme k un élément de K, et^ l'élément correspondant de S , Tune des valeurs du rapport différentiel p correspondantes à l'élément k vérifiera la formule

{21) s=.pk»

Mais si l'élément k décroit indéfiniment dans tous les sens, les diverses valeurs de p correspondantes k cet élément se déduiront les unes des autres par des variations de plus en plus petites des variables indépendantes, et, en conséquence, ces diverses valeurs finiront par différer entre elles de quantités inférieures à tout nombre donné £. Donc alors, en prenant Tune quelconque d'entre elles pour la valeur de p qui devra satisfaire à la formule (sài), on commettra sur la valeur de s une erreur dont la valeur numérique ne surpassera pas le produit

Cela posé, divisons la grandeur K en éléments

dont chacun soit assez petit pour que les valeurs correspondantes de p diffèrent entre elles de quantités inférieures au nombre e. Multiplions ensuite chacun de ces éléments k par Tune quelconque des valeurs de p correspondantes a ce même élément, et considérons le produit obtenu comme représentant une valeur approchée de Félément s de la grandeur S correspondant à l'élément k de la grandeur K. La somme des produits ainsi calculés, représentée par un polynôme de la forme

représentera une valeur approchée de S, et en posant

(22) S= piX-, -+-p»^j-+-. . .-hp«X„,

iq6 statique.

on commettra une erreur qui ne pourra dépasser la somme des produits de la forme

c'esl-à-dîre le produit

«(A-,-1- A-,-h.. .4-A-«) = cK.

Donc l'équation (22), qui fournirait la valeur exacte de S si Ton pouvait choisir convenablement les coefficients

fournira seulement une valeur approchée de S^ si Ton prend pour pt Tune quelconque des valeurs de p correspondantes À l'élément /il, pour p^ Tune quelconque des valeurs de p correspondantes à Télément At , . . ., pour p^ l'une quelconque des valeurs de p correspondantes à Télément A». Mais, en prenant pour n un nombre suffisamment grand, et pour

des éléments suffisamment petits, on fera décroître autant que Ton voudra le nombre e, et avec lui la limite sKde l'erreur commise; et par suite on rendra le degré d'approximation aussi grand que l'on voudra.

Corollaire /. — La formule (aa) fournirait encore une valeur très-approchée de la somme S, pour de très-petites valeurs des éléments.

si Ton prenait pour coefficient de chaque élément A, non plus l'une des valeurs de p correspondantes à cet élément, mais une quantité très-peu difTérente de ces mêmes valeurs , la différence étant assujettie à décroître indéfiniment avec Télément/r. En effet, si les coefficients désignés dans la formule (22) par

pi, pi, ... , pn,

GRANDEURS COEXISTANTES, BÀPPORTS DIFFÉRENTIELS. ÎQJ

sont altérés de telle sorte que, pour des valeurs de

suffisamment petites, la variation de chaque coefficient devienne inférieure a un très -petit nombre e, la valeur de S, déterminée par la formule (aa), se trouvera elle-même altérée, mais de manière que sa variation soit inférieure au produit

Or cette dernière variation deviendra évidemment trèspetite quand le nombre e sera lui-même très-petit.

Corollaire II. — La formule (22) fournirait encore une valeur très- approchée de la grandeur S pour de très-petites valeurs des éléments

si, dans le calcul de cette somme , on faisait abstraction de quelques-uns des éléments dont il s'agit, pourvu que la somme des éléments omis s'approchât indéfiniment de zéro pour des valeurs croissantes du nombre n. En effet, nommons

les éléments omis et x leur somme. La somme des termes omis dans la valeur de S fournie par Téquation [in) sera de la forme

et pourra être représentée par le produit

(/•'4-r4-...)M(p', p'^,..,j = xM(p', p",...).

Or ce produit décroîtra indéfiniment pour des valeurs décroissantes du facteur x, ou, ce qui revient au même, pour des valeurs croissantes du nombre n .

Corollaire III. — D'après ce qui a été dit dans les corol-

ipS STATIQUE.

laires précédents, on peut énoncer la proposition suivante :

Théoremb XXI. — Étant donnée une grandeur K toujours positive, dont chaque élément varie dans un ou plusieurs sens, avec une ou plusieurs variables indépendantes , si) pour chaque système de valeurs attribuées à ces variables , le rapport différentiel p d'une seconde grandeur ou quantité S à la première obtient une valeur déterminée qui varie avec elles par degrés insensibles, alors, pour calculer S avec un degré d'approximation aussi grand que l'on voudra, on pourra se contenter de partager la grandeur positive K en éléments suffisamment petits

puis de recourir à la formule

(aa) S = pi*i4-pjXï-h ..-f-pn^"»»

dans laquelle chaque élément k aura pour coefficient ou l'une des valeurs de p correspondantes à cet élément , ou du moins une quantité très-peu différente de l'une de ces valeurs, la différence étant assujettie à décroître indéfiniment avec l'élément k. Ajoutons que, dans le calcul de la grandeur S, on pourra faire abstraction de quelques-uns des éléments

pourvu que la somme x des éléments omis décroisse indé-

tiniment avec —

Corollaire I. — Si tous les éléments ou du moins ceux dont on ne fait pas abstraction, de-