GRAIIDEU&S COEXISTANTES, RAPPORTS DIFFÉRENTIELS. I

vienaint ëgaux, en désignani par k leur valeur commune, on aura

ou du moins

X désignant la somme des éléments omis ; et par suite la formule (aa) donnera

(a3) S = pK,

ou du moins

(24) S = p(K-x)=pK-px,

la valeur de p étant ceUe que détermine Téquation

(a5) P = - (Pi •+• P» •+• • • • -H p» ) •

Or, en vertu de l'équation (aS), la valeur de p sera la somme des rapports différentiels

Pu p»i • • • 1 P«>

divisée par leur nombre, ou ce qu'on nomme la moyenne arithmétique entre ces rapports. Elle sera donc inférieure au plus grand de ces rapports, et si x décroît indéâniment pour des valeurs croissantes de n, on pourra en dire autant du produit pyt. Donc alors, pour des grandes valeurs de 7?, la formule (sà4) se réduira sensiblement à la formule (a3). On peut donc énoncer encore la proposition suivante :

Théorème XXII. — Les mêmes choses étant posées que dans le théorème XXI pour obtenir S avec un degré d'approximation aussi grand que Ton voudra, on pourra se contenter de partager la grandeur K en élé-

menis suffisamment petits , qui seront tous égaux entre eux, à l'exception de quelques-uns dont la somme x décroisse indéfiniment , tandis que le nombre total n des éléments égaux devient de plus en plus considérable, puis de calculer n valeurs

du rapport différentiel p, qui correspondent respectiveçient aux n éléments égaux, ou qui du moins diffèrent très-peu de n valeurs respectivement correspondantes à ces mêmes éléments, les ilifférences étant assujetties à décroître indéfiniment avec -9 et enfin de multiplier la

grandeur K par la moyenne arithmétique entre les quantités

Pour montrer une application des théorèmes XXII ou XXni, considérons une droite matérielle dont la longueur soit désignée par H, et sur laquelle on ait concentré une certaine masse M. Soit d'ailleurs |0 le rapportdifFérentielde M à H, ou^ en d'autres termes, la densité de la droite matérielle pour le point P dont l'abscisse est n, et supposons que la densité p, étant fonction continue de cette abscisse, varie en conséquence avec elle par degrés insensibles.

Les quantités désignées par

Pn Pï> • • • > p«i

dans les formules ( 22) et ( 25), devront représenter rigoureusement, ou à très-peu près, les valeurs de la densité correspondantes à divers points

* I > Pa » • • ? Pn »

respectivement situés sur des éléments égaux ou inégaux, mais toujoiu's très-petits, de la longueur H. Cela posé, le

GEABDEVIIS COEXISTANTES, RAPPORTS DIFFÉREUTIELS. 20I

ihéorëme XXI entraînera évidemment la proposition suivante :

H étant la longueur (Tune droite matérielle sur la- (juelle se trouve concentrée une certaine masse M, si la densité p de cette droite est connue et déterminée en chaque point T? de la longueur H, et varie ai^ec la posi" tion du point P par degrés insensibles^ alors pour obte-nir la valeur de la masse M ai^ec un degré d^ approximation aussi grand que Ton voudra^ on pourra se con^ tenter de partager la longueur H en éléments suffisamn ment petits

puis de recourir à la formule

M = Pi /it + p, A, -4- . . . + p,A„, *

dans laquelle chaque élément h aura pour coefficient ou la densité correspondante à F un quelconque des points de cet élément, ou une quantité très-peu diffê'rente de cette densité^ la différence étant assujettie à décroître indéfiniment avec télément lui-même. Ajoutons que dans le calcul de la masse M on pourra faire abstraction de quelques-uns des éléments

pounni que la somme x des éléments omis décroisse

indéfiniment avec —

Si les éléments de la longueur H, ou du moins ceux de

ces éléments que Ton n'omet pas, deviennent égaux entre

eux, on pourra faire coïncider

Pu Pa> • • • » P«»

avec les valeurs de la densité correspondantes aux points

qui représentent les origines ou les extrémités des élé-ments égaux, c'est-à-dire à des points équidistants, mais

QOa STATIQOE.

très-rapprochés les uns des autres, et situes sur la longueur H. D'ailleurs si entre les extrémités de la longueur H on place des points équidistants, cette ligne pourra être par ce moyen divisée en éléments qui soient tous égaux entre eux, ou tous égaux k Texception des deux extrêmes , qui pourront être supposés inférieurs aux autres *, et comme, dans cette dernière supposition , les éléments extrêmes pourront être évidemment omis, leur somme étant très-petite, aussi bien que cbacun d'eux, il est clair que le théorème XXU entraînera la proposition suivante :

H étant la longueur cTune droite matérielle sur laquelle se trouve concentrée une certaine masse M^ sita densité p de cette droite est connue et déterminée en chaque point V de la longueur H, et varie as^ec la position du point P par degrés insensibles, pour obtenir la masse M avec un degré d^ approximation aussi grand que Von voudra, il suffira de partager la longueur H par des points équidistants en éléments qui soient tous égaux entre eux, ou du moins tous égaux à V exception des éléments extrêmes, que Pon pourra supposer infé^ rieurs aux autres^ puis de multiplier la longueur H par la mojenne arithmétique entre les valeurs de la densité correspondantes aux origines ou aux extrémités des éléments égaux»

Les théorèmes XXI et XXU s' appliqueraient encore immédiatement à la détermination des masses concentrées sur des lignes courbes, ou sur des surfaces planes ou courbes, ou même des masses comprises sous dès volumes donnés. Cette détermination se trouverait ainsi ramenée à celle des longueurs, des surfaces et des volumes.

88. Nota. Dans le Mémoire que nous venons d'analyser, M. Cauchy étend les principes posés par lui, relative-

GRAHDEUKS COEXISTA» TES) RAPPORTS DIFFÉRENTIELS. 2o3

ment aax grandeurs coexistantes et aux rapports différentiels, à la définition et à la recherche du rapport des grandeurs proportionnelles. Après avoir établi ce théorème fondamental : Deux grandeurs coexistantes sont certainement proportionnelles Vune à Vautre^ lorsqu'à des éléments égaux de Vune correspondent des éléments égaux de l'autre, il montre par un très-grand nombre d'exemples et d'applications à la géométrie élémentaire ou analytique, comment, en s'appuyant sur ce théorème, on peut aisément démontrer la proportionnalité d'une multitude de grandeurs diverses. Qu'il nous soit permis à cette occasion de revendiquer pour Fillustre Ampère et pour nous une priorité à laquelle nous attachons quelque prix.

Ampère a protesté le premier contre une lacune incroyable des livres élémentaires d'algèbre et de géomé-trie, l'absence complète d'une définition de l'égalité de deux rapports commensurables ou incommensurables. Le premier aussi, dans ses leçons du Collège de France, en 1827 et 1828, il énonça cette définition ou formula ce caractère distinctif : Deux rapports commensurables ou incommensurables sont égaux, lorsque, pratiquant sur chacun d'eux t opération du plus grand commun dii^i^ seur, les quotients successifs que Von obtient de Vun sont respectii/ement égaux aux quotients successifs que Von obtient de Vautre, soit que V opération se termine, soit quelle ne se termine pas. D'où l'on tirait cette conclusion : Lorsque en exécutant sur deux grandeurs A ^t B, ainsi que sur deux autres grandeurs G, D, Vopération du plus grand commun dis^iseur, on a de part et d* autre les mêmes quotients, on peut remplacer le rapport des deux gran» deurs AetB par le rapport des deux grandeurs C et D.

Nous avons publié le premier la démonstration donnée par Ampère, de ce théorème dans le Traité de Géométrie deNicollet, imprimé en i83o chez Bachelier, et les appli-

ao4 STATIQUE.

cations que nous en fimes prouTaîent surabondamment son utilité et sa fécondité. Mais cette démonstration, quoique très-simple au fond , exigeait un appareil de notations et de formules qui effrayait par trop les commençants. Deux années plus tard, nous fûmes heureux de pouvoir substituer à la définition d^ Ampère un autre caractère distinctif incomparablement plus accessible de deux rapports égaux. Deux rapports commensurahles ou incom"

A C mensurables -—> -- sont égaux lorsque la wi'*'** partie

b deB est^ quel que soit m, contenue autant de fois dans A que la m'^"^ partie ddeD est contenue dans C. C'est presque l'énoncé de Cauchy^ mais sans le mot trop vague d'éléments. Cette fois la démonstration est d'une simplicité extrême. En effet on a, par la supposition même,

les restes r, r' étant plus petits que b ou d^ et décroissant indéfiniment avec m. Or de ces équations on tire

A /îfr-h r

"b mb

D"" md

donc, puisque -5-» ï^» plus petits encore que rou r', décroîtront de plus en plus, et autant qu'on voudra à mesure que n% sera plus grand, la grandeur variable — peut approcher autant que l'on veut des deux grandeurs constantes — î — ? et par conséquent ces deux grandeurs constantes ou ces deux rapports commensurables ou incommensurables sont ^aux. Ce théorème a été publié par le R. P. David, de la Société de Jésus, notre élève, dans un programme intitulé : Positiones ex physicd et mathesi

zm ^—

GRAKDEURS COEXISTASTES, RAPPORTS DIFFÉRENTIELS. ao5

selectœ^ imprimé à Sion (Suisse), en août i83a : si d^autres géomètres Pont publié avant cette époque, nous sommes tout prêt à reconnaître leur droit de priorité.

Notre démonstration, comme celle d* Ampère, s^appuyait sur un lemme que nous énoncions comme il suit : Si une même grandeur ^variable X peut approcher autant que Von "veut de deux grandeurs constantes A e£ B, ces deux grandeurs constantes sont nécessairement égales entre elles. Depuis, nous énonçons plus simplement, il nous semble, ce lemme tout à fait fondamental en mathé* matiqnes et dont il est absolument impossible de se passer : Démontrer que la différence entre deux quan^ tités constantes A «f B est plus petite que toute grandeur assignable y c^est démontrer que ces deux quantités constantes sont égales entre elles. Eu effet, si les deux quantités constantes ne sont pas égales, leur différence est elle-même une grandeur constante et il est impossible qu^on puisse prouver qu'elle est plus petite que toute grandeur assignable. Une grandeur constante et une grandeur qui peut devenir aussi petite qu'on voudra, sont contradictoires dans les termes. S'il s'agit, par exemple, des deux

rapports —9 -=:' satisfaisant à la condition énoncée, puisque leur différence

est plus petite que -^ ou j-^ qui peuvent devenir à leur

tour aussi petits que Ton voudra, cette difTérence est nécessairement nulle et les deux rapports sont égaux.

On nous' pardonnera cette digression, que nous avons crue utile et légitime.