DIXIÈME LEÇON
Conditions d'équilibre d'an système de forces agrissant sur un corps on ensemble de points liés invariablement entre eux, avec des intensités et dans des directions toujours les mêmes, quelle que soit la position occupée par le corps. — Point central. — Lig^e centrale. — Plan central du système. — Cas où le corps est assujetti à tourner autour d'un point ou d'un axe fixe. —Application de la théorie aux corps à.la fois pesants et magnétiques.
89. Dans tout ce qui précède, nous avons supposé que le système de points liés invariablement entre eux était absolument fixe dans l^espace ^ nous admettrons actueUement qu^il se meut sans cesser d'être soumis à Taction des forces toujoui^ les mêmes en intensité et en direction qui le sollicitent. 11 s'agit de trouver les conditions né* cessai res pour que les forces emportées avec le corps ne cessent pas de se faire équilibre, et de mettre en évidence quelques propriétés générales très-dignes d'attention d'un semblable système.
Tant que le corps se meut parallèlement à lui-même, il n'y a rien de changé dans la situation relative du corps et des forces qui le sollicitent*, il ne peut donc être question que d'un mouvement de rotation autour d'un point que nous prendrons pour origine des coordonnées. Pour mettre cette rotation en équations menons dans le corps, par Torigine des coordonnées, trois axes rectangulaires absolument fixes dans le corps, mais qui se meuvent avec lui dans l'espace. Soient : P l'une quelconque des forces données; x^y^ z les coordonnées de son point d'application -, Ç, y?, Ç les coordonnées de ce même point d'appli-
SYSTEME MOBILE, FORCES COMSTAJKTES. 20n
cation par rapport à trois axes fixes dans Tespace. Appelons ^ l'angle que Tintersection du plan des \yi avec le plan des xy fait avec l'axe des t, f l'angle que cette même intersection fait avec l'axe des \. 0 l'angle que les axes des z et des ^ font entre eux ; on aura, comme on sait,
X = Ç ( — sïn^ sin ô) 4- n ( — sin ^ ces ^ + cos ^ sin 4> cos ô)
+ Ç (cos (f co8\|; + sin 9 sin ^ cos B)y X = Ç( — cosi|/sinô) -4-D(sinysin>î> +cosf cos>|> cosO)
4- Ç { — cos f sin^ -h sin ^ cos ^ cosô), a = î; (cosO)4- h (cosipsinO) H- Ç (sin y sin 6),
Les conditions d'équilibre d\in corps solide sont d'ailleurs
2X=:0, 2T=0, ZZ =r O,
ï(Yz - Zy) = o, l(Zx — X») = o, 2(X/ —Y^) = o.
Si Ton substitue dans ces équations kx^ y^ z leurs valeurs en ^, yj, ^, et si l'on remarque d'ailleurs qu'elles doivent avoir lieu pour toutes les valeurs possibles de (p, f , 6, on aura
IX = 0, 2T = o, 2Z = o, îXÇ = o, 2X»} = o, 2XÇ=o,
2TÇ=:0, 2Td = 0, 2TÇ=:0, 2ZÇ = o, 2Zîi = 0, 2Z Ç = o.
Si l'on fait coïncider les axes arbitraires des |, >î, Ç* avec les axes des ar, y, z, on aura jr = ^, ^ = >9, r = f ; les équations de condition de l'équilibre d'un corps solide pour toutes les positions qu'il peut occuper, lorsque les forces qui agissent sur lui ont constamment la même intensité et la même direction, sont donc
. . 2Xx = 0, 2X7 = 0, 2X2 =rO,
* 2Yx = o, 2Yj = o, 2Y3=o,
2o8 STATIQUE.
Si ces conditions sont remplies pour Tune des positions du corps, elles le seront pour toutes les autres, et le corps sera en équilibre dans tous les lieux qull occupera, c'està-dire qu'il sera asiatique.
90. S'il arrive, au contraire, que toutes ces équations ne soient pas satisfaites, on pourra toujours introduire dans le système une ou plusieurs forces qui fassent que le corps soit en équilibre dans toutes ses positions, pourvu que les nouvelles forces, comme les premières, conservent aussi dans toutes les positions du corps les mêmes intensités, les mêmes directions, et les mêmes points d'application. Ces nouvelles forces, appliquées en sens contraire aux mêmes points d'application, formeraient nécessairement un système équivalent au système des forces primitives, et pourraient le remplacer dans toutes les positions du corps.
Considérons d'abord le cas où, pour rétablir l'équilibre, il suffit d'introduire une seule force — R^, appliquée au point oTq, 7o, Zo» et dont les composantes soient — Xo, — Yo, — Zo. Prise positivement, cette force équivaudra au système donné ; les conditions d'équilibre (i) sont alors remplacées par les suivantes :
2X — X« = o, 2Y — Y, = o, 2Z — Zo = o, 2Xx — X«x, = o, sYjc — Y,jro = o, iZx — Z»Xo = o,
2Xj^ — Xoj^t = 0, lYjr — Yo7.= 0, 2Z/— Zojr. = 0,
2X« — Xt««=o, 2Yz — Y, «, = o, 2Zz--Z««, = o.
Si la force principale du système donné n'est pas nulle, c'est-à-dire si l'on n'a pas à la fois ZX = o, £Y = o, SZ = o, on pourra éliminer entre les équations qui pré-
SYSTÈME MOBILE, FORCES CONSTAKTES. HOQ
cèdent Xq, j^09 ^«9 ^0) ^09 ^0) et Ton trouvera
iXx lYx iZx iXx __ lYx __ 2Z^
Tx""""iY"""Tz ' 7x"'~"iT ""Iz"' Tx "~Tr""^TZ*
On aura en outre
R.= V(2X)'4-(2Y)^H-(2:ZjS , , 2X« 2Tr ZZ»
(") ''^ix' ^•=Tr' -=^-
Le point x©, j^o? ^o d'application de la force R© qui saffit à rendre le corps asiatique, prend le nom de point central du système des forces données.
S'il s'agit d'un système de forces parallèles, et que leur somme ne soit pas nulle , en désignant par a, S, y les angles que la direction commune fait avec les axes, on aura
2X = C08a2P, 2T=:C0S62P, 2Z=COS7SP,
2Xj? = co8a2Pj:, 2Tj = cos62Pj, 2Zz = cos72Pz, 2Xar 2Px lY y 2P/
2Px 2;P/ -P2
'••-Tp-' -^--^p-' ^*-7p'
or ces valeurs de Xc^o? ^o? sont les coordonnées du point que nous avons déjà nommé centre des forces parallèles, et qui devient ainsi le point central.
91 . Si les relations ou conditions du numéro qui précède ne sont pas remplies, les forces du système ne pourront plus être remplacées par une force unique; mais on pourra essayer de leur substituer deux forces, ou, ce qui revient au même, une force et un couple. Désignons par Ro la force isolée, par Xo, Yq, Zq ses composantes, parxo,yo> ^0 les coordonnées de son point d'application, J. i4
par Rf — Ri les deux forces du couple, par Xi, Y|, Zi les composantes de Ri , par Xi , j^i , «i , x\ , y\ , z\ les coordonnées des points d'application de Rt et — Rf, par p,, Çtj ri les projections du bras du couple K| sur les. trois axes, projections égales aux difTërences des coordonnées des points d'application, de sorte que Ton a
Appliquées à ce cas particulier, les équations (i) donneront, pour conditions d'équilibre entre les forces données, et les forces Ro, + Rt> — Rj :
2Xar = X,a:,H-X,/?,, SXj^ = X,/,-»- Xi7, , lYx = Y,jr.4- Y,/^,, SY^ = Y.j. H- Y,7, , iZx = Z.7o-î-Z,/?,, lZx= Zo/«-f-Z,7,,
îYz = Y,ï. + Y,r,,
Si entre ces équations on élimine d'abord X^, ¥#, Zq,
Xi, Yj, Zi, on trouve
7, 2X:ï- — /?, IX J — (7, j:. — />,/«) SX = O ,
7,SY.r — /?,2Y/ — (7,x, — /?,jr«)2Y = 0,
7,lZx— /7,2Z7— f^.x, — /?,j,)2:Z =0,
' r.SXo: — /7|£Xz — (r,Xo — /9| 3,)2X = o,
r.sYj— />,2Y2 — (r,Xo — />, Zo)2Y = o,
r, 2Zx — />,2Z« — [ryX^ — /?, 3,)2Z = o.
Si la force principale n'est pas nulle, ou si Ton n^a pas 2X = 2Y = SZ = o, on pourra éliminer encore ^i^o — P«Jo5 ^\X^ — Pi^oi et Ton aura
7,[2;YsX.r — zX2Yx]=y?,r2:Y2:Xj'— 2X2Y/],
7,[2Z2Xj: — 2X2 Zx] =?/?,[ 2Z2X^— 2X2Zj], r,[2Y2Xx — 2XsY.rJ = /7,[2Y2X z — ïXSYz], r,[2ZlX.r— ïXSZz] = /^,[5;ZsX«— SXsZzj.
Eliminant enfin Pi, r^y q^ ou divisant membre à membre les deux premières et les deux dernières équations, on arrive enfin aux deux équations de condition
2X(2Yx2Zj— 2ZxlTj) -|-2T(2Xj2Zx — 2Z/SXj?) 4- 2Z(2Y/2Xx— 2X/2T.r) = o,
2X(2Yar2Zz— iZxSYz) -h 2Y(2Xz2Zjr — îZaZXjtr) '^-h-2Z(2Ya2Xar— 2X»2Ya:)=o.
Si ces conditions sont satisfaites, et si en même temps on nV pas ZX = o, 2 Y =: o, SZ = o, c'est-ànlire si la force principale du système des forces données n'est pas nulle; et si Ton fait, pour abréger,
2Y2Xx— 2X2Yx=rSx, 2Y2Xj— 2X2Yr=S,,
2Y2X« — 2X2Yi = S„
en se donnant arbitrairement pt, on trouvera
Sjr S«
Par conséquent, en appelant X, fx, v les angles que le bras du couple K| fait avec les axes, ou aura
C0SX=:
COS fA =
COSV =
Sr
sa direction est donc complètement déterminée et indépendante de la valeur arbitraire attribuée h px- Si, pour abréger plus encore, on pose
ÏY/2X*— 2X/2Yj: = Ty, 2Yz2Xj:— 2X*2Yjc = T,,
on tirera des équations (2)
c'est-à-^ireque le point d'application de la force Bq pourra être un point quelconque de la droite
parallèle à Taxe du couple -, cette ligne invariable dans le corps a reçu le nom de ligne centrale du système. Les composantes Xo, Y©, Zo, Xi, Yi, Zt, sont d'ailleurs déterminées par les équations
SZjr — JToSZ
En résumé, lorsque les deux équations de condition (4) sont satisfaites, on peut réduire le système donné à une force et à un couple. Le point d'application de la force, égale et parallèle à la force principale du système, peut être choisi arbitrairement sur la ligne centrale. Le bras du couple pourra être pris arbitrairement sur une ligne quelconque parallèle à la ligne centrale, la force du couple dépendra à la fois et de la longueur arbitraire attribuée au bras, et des coordonnées du point d'application de la force égale et parallèle à la force principale. A la force Ro et au couple (R, — Rj) on pourra substituer deux forces appliquées à deux points de la ligne centrale; les composantes de ces forces et les coordonnées de leurs
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points d'application seront
Xp — X| , Yp — Il , Zf — Z| , x« , y^^ Zq y Xi, Yi, Z,, ^o-Hpi, J«4-yi> »«-f-»'|.
Les équations de condition (4) sont toujours satisfaites, lorsque toutes les forces du système sont dans un même plan, qu^on peut supposer parallèle au plan des xy^ parce qu'alors tous les z sont nuls.
