Lorsque la force principale est nulle , ou lorsque
Ton a
ï&% équations (3) donnent
2Xx 2Yar 2Zx 2Xa: 2Yx iZar
^ ^ iXjr""iYr ""iZj' ixT "" Tyz ~ ïzT'
Ces conditions remplies, l'une des projections du bras du couple^ Pi, par exemple, pourra éttre prise arbitrairement, et l'on aura pour déterminer les deux autres,
— ^^J" «- iXg
On aura, en outre,
sXx lYx iXz
Pt Pi Pi
Les forces données se réduiront donc à un couple dont le bras aura une longueur et un point d'application arbitraires, mais une direction déterminée.
Soient X, fx, v les angles que cette direction fait avec les axes, on aura
2Xx
cos> =
COSf* =
COSv =
v/(iXx)»^-(2Xr)^+(5:X^r sXr
v/(2Xj?)»H-(2Xj)»-h(lX«)»' iXz
v/(2Xx)'+{2:X/)'-i-{2Xz)''
ai4 STATIQUE.
Les conditions (6) sont toujours remplies d'ellesmêmes lorsque toutes les forces du système sont parallèles, sans résultante, mais non pas en équilibre.
93. Si l'une des conditions (6) n'est pas remplie, les forces données^pourront cependant être toujours remplacées par trois forces, ou, ce qui revient au même, par une force et deux couples , à moins toutefois que la force principale ne s^évanouisse. Désignons, en conservant toujours les mêmes notations, par Rt Tune des forces du second couple Rs — Ri, par Xt, Yt, Zs ses composantes, par pt9 ^s) f*\ les projections de son bras. U faudra, dans les équations n® 91, remplacer Xi^i par Xi/?i •+- X^p^t Yipi par Yi^i Hh Y,;?tî etc. Si Ton fait, pour abréger,
s = ux^ -h p/o -h wz^ .
2X(2Zz2Y/— 2Y«2Zj^)-f-2Y(2Z/2Xs— 2Z22Xr)
-h2Z(2Ys2Xr — 2Yr2X«) = U, 2X(2Yz2Zx— 2Z«2Yj:)+ 2Y(2Z32Xx — 2Zx2X«)
-4- 2Z(2Yj: 2Xz — 2Yz2Xx) = V , 2X(2Yj:2Zj— 2Z«2Y^)H-5Y(2Zx2Xj — 2Zr2Xj;)
+ 2Z(2Y/2Xa:— 2Yx2X^) = W, 2Xr(2Zz2Y/— 2Y3 2Zj)-h2Ya:{2Z/2X«— 2Zz2Xj^)
-h2Zjc(2Yz2X/— 2Y72X«) = S,
réliminaiion des neuf quantités Xo, Y^, Z^^, Xi, Yj, Zi, Xa, Y), Zi, si Ton n*a pas ZX = ZY=:ZZ= o, donnera
tf U V V (v W
En choisissant arbitrairement les six quantités j:^, y^^ Pif 7i 9 P%f 7s ^^ déterminera les trois autres par les équa-
lions
Zo=-
U/»,+ Vy.
Il en résulte : i^ que le point (oTo, j^o» ^o) d'application de la force principale pourra être choisi arbitrairement dans le plan
Ux-4-Vy-+-Wz = S;
2^ Que les bras des deux couples devront être parallèles à ce plan, auquel on donne le nom de plan central du système, et qui est entièrement fixe dans le corps ou ensemble de points invariablement liés entre eux.
Les composantes de la force principale et des forces des couples sont d'ailleurs
Xo=2X, Y.= 2Y, Zo=5;Z; 9,2Xx — PiZXx — (Çi^^ — PiXit)^^ Pi ^» — 9iPt -. <7,2Tj:—/?,2Y7—(<7,aro — /»,/.) 2Y
Ptq^—qiPi Piq^—ÇiPi
^ ^, 2X r — <7i 2 Yj: — (piro—Qt^») ^X /?,2Y7— ^,2Yx— (/?,/•— ^.•^•)2;Y
~" Piqt—giPt
En résumé, tant que la force principale n'est pas nulle.
Sll6 STATIQUE.
le système est toujours réductible à une force unique et h deux couples. Le point d'application de la force unique, égale et parallèle à la force principale, peut être un quelconque des points du plan central. Les bras des deux couples doivent être pris sur deux lignes parallèles à ce plan ^ leur longueur est arbitraire, mais les forces des couples dépendent à la fois de la longueur et de la position arbitraire des bras, ainsi que des coordonnées du point d'application de la force unique. A la force unique et aux deux couples on pourra substituer trois forces appliquées à trois points quelconques du plan central; les composantes et les coordonnées des points d'application de ces forces sont
X„ Y,, Z,, ar«-f-/»i, rt-f-Çi, «•-l-r,, X„ Ta, Za, ^«-h/?j, Xt-hÇif 2«-f-r,.
94. Parmi les diverses positions qu'on peut assigner au point d'application de la force unique et aux bras des deux couples, il en est qui conduisent à quelques propriétés remarquables. Ce sont celles tellement cboisiesque des trois forces Bo ^u ^i cbacune soit perpendiculaire aux deux autres, et que les deux bras des couples soient aussi perpendiculaires entre eux. Pour que ces conditions soient remplies, les quantités Xo, j^o) Pn Çiy pt) Çt doivent être tellement cboisies que l'on ait
X,X,H-Y.Y,H-ZoZ,=o,
X«Xa -h Yo Ya -f- Z«Za = G ,
