X.X,-hY.Ya4-Z.Za=o

Si dans les deux premières de ces équations on substitue les valeurs trouvées précédemment pour Xo, Yo, Zo, Xi,

Y|, Z|, Xa, Yt, Zs, on aura

7,(2X2Xx -I- 2T2Yx -♦- iZlZx)

— Pi (2X2X^ -H 2Y2T7 ■+- 2Z2Z^)

^,(2X2Xar-h2T2Tx-h2Z2Zx) — /?, (2X2X^ -h 2Y2Yj^ -h 2Z2Z/)

el on en tirera

2X2Xj?-h2Y2Yx-f-2Z2Zx *•■" l2X)»-f-(2Y)'-f-(2Z)' ■'

s — U X. — Y7. 2X2Xz-f- 2Y2Yg-h 2Z2Zz *•"" W "" (2X)«-f-(2Y)»-f-(2Z)»

Ce point Xo, j^o» '^o est actuellement le centre de toutes les composantes des forces données suivant la direction de la force principale Ro* En effet une quelconque de ces composantes a pour expression

X2XH-Y2Y-4-Z2Z

et les coordonnées du centre de ce système de forces parallèles seraient évidenunent données par des équations identiques avec celles qui donnent x^^^joy ^o*

Le point Xo, ^o» '^o ^ i^ti le nom de centre du plan central. Nous le prendrons désormais pour origine des coordonnées, et nous supposerons le corps ou système invariable amené â une position telle, que le plan des xy coïncide avec le plan central; nous placerons en outre les bras des deux couplesdansce même plan central, et comme nous admetlons qu'ils sont perpendiculaires entre eux, ils feront

m s STATIQUE.

avec Taxe des x des angles u, - +i/, et il faudra détermi-

ner u par la condition que les forces Ri, Rt soient perpendiculaires, ou que l'on ait X, Xj H- Yj Yj -f- Zj Zt = o. Or puisque Xo, j^o) ^o sont nuls, les valeurs de Xi , Y] , Zj , X|, Ys, Zs deviennent

Piqi—qtPt

PiÇt—giPi Piq7 — qiP2

p,VLy '-q^l.Zx

p^q^—qxPi

substituant ces valeurs dans Xi Xj -h Y, Yj -f- Zj Z,, = o, on trouve

[pxqi—qip^f

(Pxq7—qiP2Y

Mais, dans le cas actuel,

q, =/7, tangtt» 7,= — /?, cotii, et, par suite,

Piq2-hqiPi = — ^PiPiCOilàUf 7,7,= — /?,/?„

substituant, efTaçani le facteur commun , ^^ — -> et

(Ptq^ — qip^y

SYSTEME MOBILE, FOECES GONSTAHTES. !Àig

transposant, il viendra

2Xa:lXj-f-2Yx2Yjr4-2Zx2Z^

Deux droites menées par le centre du plan central parallèlement aux directions des deux bras des couples, dé-

^ terminées par les valeurs de ci et de — h « ainsi trouvées,

s'appelleront les lignes centrales du plan central,

95. Lorsque la force centrale est nulle, ou lorsque l'on a SX = o, ZY = o, SZ = o, U, V, W sont aussi nuls, et pour que Ton ait Xo = j^o == ^o •= o, c'est-à-dire pour que l'origine coïncide, comme nous le supposons, avec le centre du plan central, et que le plan central coïncide avec le plan des xjr^ on devra nécessairement avoir (n°93) S = o; si cette condition est satisfaite, on trouvera

u sXjzYg — sXzsYr

w "~ iXxlYx — 2X/2Ya?'

V iXzlYx — iXxlYz

«;■" 2Xx2Yr — iXjsY*'

Les six projections pi, ^i, Tj, p^^ ^,, r, ne sont plus liées entre elles que par deux équations; si l'on se donne ^j, 9i^Pii Çtj les valeurs de r^y r^ seront

c^est-i-dire que les bras des couples devront être parallèles au plan

x(2X72Y«— iXzlYy)