y{2X«2Yx — ïX^îYz) -f-z(2Xx2Y^— sXr2Yx)=o
Leur grandeur et leur direction dans le plan restent com-
aaO STATIQUE.
plétement arbitraires ^ les composantes de la force unique et des forces des deux couples sont d^ ailleurs
X«=Oy Y«=o, Z«==o,
Il = >
Pi^i—giPt
Lx = j
Piqt—qxPi pyq^--qxP7
pxtYy--qxtYx
pxq^^qxp^ p.VLy — q.VLx
in = •
Piq^^-qiPi
96. Enfin lorsque la force principale sera nulle sans que S le soit, le système pourra toujours être remplacé par trois couples ou réduit k trois couples. Soient Xi, Ti, Zi, Xi, Yf, Zi, Xs, Ys, Zs les composantes des forces des trois couples, p^^ Çi, r», p„ 9,, r^, ^5, ^j, r, les projections de leurs bras sur les trois axes, les conditions générales d'équilibre ou les équations (i) (n^ 89) deviendront
2Xx = Xi/?i -♦- Xa/>2-H Xs/'s> 2X7 = X,^, 4- Xj^j-h Xj^,, 2X« = X,r, -f- X»rj -♦- Xjrj,
2 Yo: = Y^px -h Y,/?, -h Y3/?,, 2Y^ = T,^t -+- Y,q, -+- Y3173, 2Yz=Y,r, 4-Y,r, -hYjr,,
2Za? = Z|/7, -4- ZiPi ■+■ Zipiy 2Z/=Z,y, -+-Zj72 -hZa^,, 2Z« =Z,r, -f-Zjrj H-ZaTs.
Les quantités p,, ç», r,, ^„ q^, r„ ^j, i/,, r, qui déterminent la longueur et la position des bras des couples, peuvent être prises tout à fait arbitrairement; les compo* santés X|, Y^, Zi, Xi, . . . des forces seront alors déterminées par les équations
' ^ Pi ('•»^>-- 9^^-i) -*- ^1 [r^Pi — P^r^) -4- r, (p^q^-— q^pt)
Y __ 2Yx(r3ya— ysr,) -^ SY j (r,/?3— p^r^) 4- tYz(p^q, -— y,;?.,)
97. Nous venons de voir qu'un système de forces de direction et d'intensité invariables, sollicitant toujours les mêmes points d'un corps donné, dans toutes les positions de ce dernier, se réduit k une force unique et à deux couples, à moins que la force principale du système ne soit nulle. La force unique, égale et parallèle i la force principale, peut être appliquée à un point quelconque du plan central. Les bras des deux couples, de longueurs arbitraires, peuvent être pris parallèles aux lignes centrales; les forces du couple seront alors perpendiculaires entre elles et à la force principale. Dans chaque position du corps, ces deux couples pourront être composés en un seul; et (n^ 38) parle transport de la force unique en un point quelconque de l'axe central correspondant à cette position, le couple résultant et le couple né du transport pourront se composer en un couple unique, perpendiculaire à l'axe central. Ce couple alors sera minimum ou le plus petit possible pour la position actuelle du corps, et ^al à la projection du premier couple résultant sur un plan perpendiculaire à la direction de la force principale (n^ 38). Si cette position du corps vient à changer, la position dans le corps de Taxe principal changera aussi ; il en sera de même du moment du couple résultant minimum.
et il est intéressant de chercher quelle doit être la position de Taxe central pour que le couple minimum soit nul, ou pour que le système des forces données se réduise à la force ou résultante unique. C'est ce que nous allons faire, mais, au lieu de tout rapporter à des axes fixes dans Tespace, ou de considérer les directions des forces comme invariables dans toutes les positions mobiles du corps, nous supposerons au contraire que c'est le corps qui reste fixe, et que ce sont les directions des forces qui varient, en continuant néanmoins de faire les mêmes angles entre elles, et avec trois plans coordonnés mobiles dans Tespace. Nous prendrons comme origine des coordonnées pour les trois axes fixes dans le corps le centre du plan central, devenu plan des ;r^, et pour axes des x et des j^ les deux lignes centrales, en sorte que l'on ait
x^=Of jo=o, Zo=o; ^1 = 0, r, = o, /?,=:o, r,= o.
Les composantes Xi, Yi, Z|, Xi, Y], Zs ont alors pour valeurs
X, = — 2X«, Y, = — 2Yar, Z, =— SZx, P\ Pi Pi
X,=-2Xr, Y,= -2Yr, Z,= ~2Z^.
q, qi 7
Si Ton calcule les composantes L, M, N du moment linéaire résultant de ces deux couples, on trouvera
L = YiT, -H YaT, — Z,7, — Z3^2= — Za^a»
M = Z,/?,-|-Za/?i — XiT, — Xara = Z,/?,,
N = X| 7i -h Xa^a Y,/?, — Ya/?a = Xa<72 — Y,/?,.
Pour avoir le couple minimum, il faut, n^ 38, projeter le moment linéaire résultant sur la force principale qui
fait avec les axes des angles dont les cosinus sont |p>
r^7 ^; ce couple minimum, que nous appellerons K, sera
donc
qi (ZpXa — XqZi) 4- Pi ( Y«Z| — ZpY,)
Si maintenant ou rapproche l'es deux identités
(Z.Y,- Y.ZO X,+ (X.Z,-Z«X,) Y,+ (Y,X,-XoY,) Z, = o,. (Z;Y,— Y.Z,) X,-h (XoZ,- Z.X,) Y. -+■ { Y«X, - XoY,) Zo = o,
des deux équations
X,X,4-Y.Y,H-Z,Z,=:o, Xi Xo -h Y, Yft-h Z| Za = o,
on en conclura
Za j a — X « iuj A.^ ù^ — ù^ Xj 1 0 A.2 — X-a I j
^^ÇZ^yT- YoZ,)^-h(XoZ,>>ZoX,)»^ (YoX.~XoY,p
Vr; Rî — (XaX. -i- YpYa + ZoZ.) RoB,
Za Yj — Y0Z2 = — rr — X|,
XgZj — Z0X3 = — =; — Yi,
YaXa — XtYj=z „ Z|,
on trouverait de même
X|Za— Z|Xo== ~^ — Yj,
Y 1 Xo — Xi Y« = — =j — Z, y
et, par conséquent,
Il s'agit maintenant de trouver les conditions qu'il faut remplir pour que ce couple minimum soit nul. Si Ton désigne par Ç, >}, ^ les coordonnées de l'un quelconque des points de l'axe principal ou central, ou aura. (n°38)
Ko Ko
Ko
et si le couple minimum K doit être nul,
Y.Ç -. Zou =L == — Z,^„ ZoÇ — XoÇ = M = Z,y?, , Xoii — YoÇ=N = X,<72 — Y,/?,;
ces trois équations se réduisent réellement à deux , c'està-dire que l'une quelconque d'entre elles se déduit des deux autres, parce que la condition K=o entraÎDe l'équation suivante :
LXo -h MYo 4- NZo = o.
11 reste à voir comment on pourra y satisfaire indépendamment de la direction des forces, ou quelle que soit cette direction. Si l'on fait d'abord ^ = o, on aura
XoÇ= — Zi^,, Xoii = Xs9, — Y,/?,;
carrant ces deux équations ^ divisant la première par pjRJ, la seconde parpJRJ — ^^RJ» et ajoutant, on trouve
p? { Yj + Z!) - 2/,. 7,X,Y, + 9Î (li - ^) Rî
~ /'.rî-î.r;
Mais puisque les trois forces Ro, Ri, R| sont toujours perpendiculaires entre elles, la somme des carrés des cosinus des angles qu'elles font avec Taxe des x est égale à Tunité ; on a donc
on a aussi
et, par conséquent, Y
rî"^r; r: Rf r; r;""r; r:*
Substituant ces valeurs et ayant égard à Téquation K' = /'W^-2A'.?.X,Y.4-75R}^ = o,
on trouve
-f--ï^ = r-j> pendant que Ç=o.
p\R]^q\Rl p]R] r;
Si, au lieu de faire |= o, on avait fait vj = o, on aurait trouvé
-^Z^^=El^ avec 7ï = o.
Ces deux équations représentent deux courbes du second degré situées dans deux plans perpendiculaires au plan central \ Tune est une ellipse, Tautre une hyperbole, parce que des deux différences ^'RJ — p\^]^ p]R] — <7ÎRî, Tune est nécessairement positive et Tautre négative. Le grand axe de Tellipse etl'axe réel de Thyperbole coïncident avec Taxe des ^, et le centre des deux courbes est à Torigine des coordonnées. Les foyers de Tune coïncident en outre avec les sommets de Tautre. Si, par exemple, ^sRs est L i5
a 20 STATIQUE.
plus grand que ^t Ri, l'ellipse sera dans le plan des ^^, et l'hyperbole dans le plan des yjç, on aura pour le sommet de rellipsc
Ç=o, ; = di7,g-»
et pour son foyer
■ Ri
5 = 0, ^=±Pi
R«^ pour le sommet de Thyperbole
et pour son foyer
Les plans de Thyperbole et de Fellipse, ou les plans menés par les deux lignes centrales perpendiculairement au plan central, s^appelleront les plans milieux du système. Le théorème renfermé dans ces prémisses et qui a été découvert d'abord par M. Minding, peut s'énoncer comme il suit :
Théorème de Mindîkg. — Lorsque les forces çui sollicitent un corps ou un système de points liés im^ariable^ ment entre eux conservent dans toutes les positions du corps les mêmes intensités, les mêmes directions et les mêmes points d"* application, et que ^ comme on peut le faire d'^un nombre infini de manières, on a amené le corps dans une position telle, que toutes les forces puissent être remplacées par une résultante unique, ce qui suppose nécessairement que la force principale du système n^est pas nulles la direction de la résultante unique sera telle j qu'elle rencontrera toujours dans le corps une même ellipse et une même Ityperhole qui ont pour centre commun le centre du plan central, qui sont situées Vune
dans Vun, Vauti^ dans Vautre des deux plans milieux du système, perpendiculaires entre eux et au plan central, et qui sont liées Vune à Vautrç de telle sorte que le sommet de Vune coïncide auec le foyer de Vautre.
98. Supposons maintenant cpie le corps ou système de points auquel sont appliquées des forces ayant toujours la même intensité, la même direction et les mêmes points d'application ne soit plus mobile qu'autour d'un axe donné, et cherchons dans ce cas les conditions d^équilibre et de réduction du système de forces au plus petit nombre possible d'éléments. Si Ton prend l'axe fixe pour axe des 2, on démontrera , comme au n^ 89, que les conditions d'équilibre sont :
2X = o, zY==o, zZ = o,
2X;s=:Oy 2Y» = o, 2Zx = o, lZjr = Oy
lUx-^tYy^On îX/— 2Yx = o.
Si ces conditions sont remplies , le corps sera en équilibre quelle que soit la position qu'il occupe dans sa rotation autour de l'axe des z,
99. Si toutes ces conditions ne sont pas remplies, les forces du système pourront au moins être réduites à une, deux ou trois forces. Cherchons d'abord les conditions de Ifur réduction k une force unique. Soient Xo, Yo, Z^ les composantes de cette résultante unique, et x^, /oj z^ les coordonnées de son point d'application, on aura
Xo=2X, T. = 2T, Z.= 2Z, 2X«=X.«o, 2Za:=Z.j:o, 2Ys=T.3o, 2Z/=Zoro, 2X* 4- 2Yr = XoXo -h Y,/o, 2X/ — 2Yx= Xoj. — Y.x..
En supposant que la force principale du système ne soit pas nulle ou que l'on n'ait pas à la fois ZX = o, ZY = o,
2Z=:o, rélimînatioo deXo, Yo, Zo, Xo^ jo^ Zf^donnersL
IY2X* — 2XzY2r=o,
(iZlXi?— ZXsZj:)— (ïZSYj-— 2Y2Zr) = o,' (2Z2X^ — ZX 2Z7) -h ( 2Z2YX — SYsZ-r) = o.
Si la force principale était parallèle à Taxe des z, on aurait en outre SXz = o, T,Yz = o.
Si ces diverses conditions sont satisfaites , on trouvera
__ 2Zj 2Y(2Xx4-2Yj) -f- 2X(2Xj — 2Y.r)
"zz "■
2Xz 2Yz
•""Tx *~1y
^* 2Z (2Xj»-+- (2Y)*
les forces données ont toujours une résultante unique, laquelle dans toutes les positions du corps passe par le point J^o 9 yo 9 ^0 9 que Ton appelle le point central des forces données relatwement à l'axe des z.
Lorsque les forces données sont toutes dans le plan des j^, les équations de condition sont nécessairement remplies, car ou a alors Z = o, z =z o. Dans ce cas particulier, le point central peut être obtenu au moyen d'une construction géométrique très-simple. Soient P et Q deux forces appliquées, l'une en A, Tautre en B {fig* aa), et R leur résultante passant par le point d'intersection C de leurs deux directions ^ parles trois points A, B, C menons un cercle ; le point D, où le cercle viendra couper la direction de la résultante R, sera le point central cherché. Pour le démontrer, concevons qu'au lieu de faire tourner les trois points A, B, D on fasse tourner les trois forces P, Q, R de telle sorte qu elles fassent toujours entre elles les mêmes angles; soit EP' la nouvelle direction de la force P, celle de la force Q sera nécessairement EQ^ et celle de
SYSTEME MOBILE, FORCES CONSTANTES. Sag
R, ER'5 car od a ACD = AED, DCB= DEB, ACB = AEB. D est donc bien réellement le point central des deux forces P etQ. S'il y avait une troisième force, on la composerait de la même manière avec la résultante R pour obtenir le nouveau point central. On pourrait aussi remplacer chaque force par ses deux composantes suivaut les axes des x et des y^ réunir en une seule les forces parallèles à chacun des axes et chercher, comme on vient de le faire, le point central des deux résultantes partielles.
100. Si les conditions de réduction à une force unique ne sont pas satisfaites , on pourra essayer de ramener le système à une force et à un couple. Soient toujours Xo^ Yo, Z^ les composantes de la force isolée; x^^y^y z^ les coordonnées de son point d^appli cation ; Xi, Y,, Zi les composantes de la forceRi du couple (Ri — Ri); ^i, ^j, Vi les projections de son bras , on aura
îXz = Xo5o-hX,r, , 2Yz= Y,Zo-+- Y,r, ,
îZjc = ZaXo 4- Z,/7,, iZj = Z«/o -H Z, y, ,
iXx -+■ lYy = X.Xe -+- Yaj. -h X,/?, -h Y,^, ,
l.\jr — lYx = X«7» — YoJ?» -*- X,ç, — Y,/?,.
Eliminant
X«| Yo, Zf, X|, Yi, Z| ,
on trouvera
p,(z,lX— 2X2) -h 7,(2.2Y— lYz) -\- /-.(ïX-r H- 2Y^— Xo2X--^.2Y) = 0, (i) { pi{lYz—z.lY)^q,{z.lX--l\z)
-h r, (2Xj — 2 Yx — J.2X -f- XolY) = 0, /?,(/o2Z — 2Zjr)-hy,(2Z.r — jro2Z)=0.
Tant que la force principale ne sera pas nulle ou que
23o STATIQUE.
l'on n'aura pas à la fois £X=: SY = ZZ = o, ces conditions pourront toujours être remplies, et on pourra se donner arbitrairement deux des coordonnées du point d'application de la force isolée avec Tune des projections du bras du couple. Si entre ces trois équations on élimine Pu ^19 ^i 6( qu'on pose^ pour abréger,
A = lZ{lYlXz — 2X2Yz),
B = 2Z[2X(2Xa'-h 2Yj)-4- 2Y(2Yx — iXjr)] -2Zx[(2X)»4-{2Y)»],
C =2Z[2X(2Yx~2X7) — 2Y(2Xji-h#Y^)] H-2Z7[(2X)^-h(2Y)'],
D =2Z[2Yi!(2X*-4-2Y/) — 2X2;(2Ya:— 2X^)3
— 2X»(2Y2Zar4-2X2Z^)4-2Y«(2X2Za: — 2Y2Z/),
E = — 2Z[2X»(2Xx-h2Y^)-h2Yz(2Yjr — 2Xj;
H-2X«(2X2Za:— 2Y2Z/)-h 2Yz(2X2Z/-+- 2Y2Zj:),
F =(2Xx-h2Y^)(2X2Z/— 2Y2Z:r) -i-(2Y*— 2X/)(2X2Zj?Hi2Y2Z^),
G = ( 2Xx -h 2Yj) ( 2XZ2Z7 — 2YZ2Z4:)
— (2Xj— 2Yj:) (2Y»2Zr-h 2Xs2Zx) ,
on obtient
(2) A(x;-f-j^;)-+-B/.«.-hCx.z. + Djr.-hEjr.— F«, + G=o.
Si dans cette équation on remplace Xq^ ^09 ^0 p&r des coordonnées courantes x, y, z, elle représentera une surface du second degré sur laquelle le point d'application Xo, /oî ^0 de la force unique pourra être pris à volonté. Cette surface a un centre dont les coordonnées Xo, yo 9 z» sont
2ACF — DB»-f-BCE 2ABF — C'E-hBCD
^ 2AF-f-CD + BE
SYSTEME MOBILE, FORCES COIfSTA^TES. 33 1
Paîsqu'on peut prendre arbitrairement une des projections Piy qtf Ti du bras do couple, on pourra le faire commencer où Ton voudra et lui donner une longueur arbitraire; cboisissons pour point de départ de ce bras le point Xo^ jTo', «0 9 et appelons j^i , /i , «i les coordonnées de la seconde extrémité, on aura
et, en substituant pour />], ^i, r, ces valeurs dans les équations(i),on verra qu'elles sont composées absolument de la même manière en Xo,j^o) '^o 9 •^19^19 ^t] le point or,, /i, z, ou la seconde extrémité du bras est donc lui-même sur la surface (a), et puisque, la longueur du bras étant complètement arbitraire, cette seconde extrémité est Tun quelconque des points du bras, le bras tout entier est situé sur la surface qui ne peut être qu'un fayperboloïde à une nappe et de révolution. Le point d'application de la force résultante peut être un |K>int quelconque de cet hyperboloïde, et le bras de longueur arbitraire du couple résultant sera parallèle à l'une des droites du paraboloïde menée par le point d'application de la force. Cette force d'ailleurs et la force Ri du croupie sont déterminées par les équations \
Ai = î li = 1
Au lieu d'une force et d'un couple, on pourra substituer au système donné deux forces dont les points d'application seront, dans toutiss les positions du corps, sur Tuno quelconque des génératrices de Thyperboloïde.
Si 2X= o et £ Y= o, c'est-à-dire si la force principale
a3a STATIQUE.
est parallèle à Taxe des z^ les coefficients A, B, C, F sont nuls et la surface (2) se réduit à un plan parallèle au plan des j>y,
101. Si la force principale est nulle, c'est-à-dire si SX = SY=: SZ = o, les équations qui donnent p^^ Çi, T] deviennent
iXx -h lYx = X,/?, -h Y,ç, , sXj— 2Y1? = X,7, — YtPt , 2Xs = X,r,, 2Yz = Y,r,, 2Z-c = Z,/?,, 2Z/ = Z,y,,
et, en éliminant Xi, Yi^ Zi, pi, ^i, Ti^ on trouve
(2Xx+2Yj)(2X«2Zj — lYzlZx) — (2X^ — 2Tx) (ïYzSZ^-h 2X«2Zx) = G = o.
Si cette condition se trouve remplie, on aura
2Xz(2XxH-2Yj^)~^Yg(2Xj— 2Yjc) ^'""''' (2X2)'-h(2Yz)» '
2Yg(2X3?-h2Yr) + 2Xz(2Xr — 2Yjr) ^'~''"' (2Xz)>-i-(2Yz)» '
2X« 2Yz 2Zx 2Zr
le système des forces données sera donc réductible au seul couple (Ri — Ri).
lOS. Si la force principale est nulle sans que la condition G= o soit satisfaite, les forces du système pourront néanmoins être toujours remplacées par deux couples. Soient Xi, Yi, Zi les composantes de la force Ri du premier couple, P\')<J\% ^1 les projections de son bras; Xt, Yt, Z] les composantes de la force R] du second couple, p^^ ^,, Tt les projections de son bras; les conditions d'équili-
bre seront
2Xar-f- 2Yj = X.jD, -f- T,ç, + X,/?,H- Y,ç„
2Xj — ZY j? = X,9, — YtPi + X,ç,— Y,;>„
2Zjr = Z,/?,-f-Z,/?,, 2Z/=Z,^, -f-ZaÇ,.
Toutes les projections p^, ^i, r,, p,, ^j, r^ et par conséquent les directions et les longueurs des deux bras des couples peuvent être prises arbitrairement; on déterminera ensuite facilement par les équations qui précèdent les composantes X], Yi, Zj^ Xs, Ys, Z, des forces R| et Ri des couples.
103. On ditqu un corps est asiatique lorsqu'il est tellement fixé qu'il reste en. équilibre dans toutes les positions qu'on lui fait prendre. Les conditions nécessaires pour qu'un corps entièrement libre et soumis à Taction des forces d'intensité et de direction invariables, toujours appliquées au même pojnt, soit asiatique, ont déjà été établies à la fin du n" 89; nous rechercberons actuellement ces mêmes conditions pour un corps assujetti à tourner autour d'un point ou d'un axe fixe.
S'il existe dans le corps un point fixe autour duquel il paisse tourner librement, il ne pourra être asiatique qu'autant que le système de forces données aura un point central, et que ce point central sera le point fixe du corps. S'il existe dans le corps un axe fixe, autour duquel il puisse tourner librement^ il ne pourra être asiatique qu'autant que le point central des projections des forces données stir un plan perpendiculaire à l'axe fixe sera luimême situé sur cet axe, ou qu'autant que ces projections se feront mutuellement équilibre (n^98). Alors toutes les composantes des forces parallèles à Taxe et tous les couples résultant du tran^sport des composantes situées dans
un plan perpendiculaire à l'axe sont détruits par la résistance ou la fixité de cet axe.
104. Cherchons quelle position particulière il faut donner au corps pour que, sans être astatique, il soit en équilibre autour du point ou de Taxe fixe, en commençant d'abord par le cas où il est assujetti à tourner autour d'un pofnt fixe. La position à donner au corps doit être telle, que le système des forces données ait une résultante unique passant par le point fixe. Si le système des forces données a un point central, il faudra faire tourner le corps autour du point fixe jusqu'à ce que ce point central arrive à se trouver sur la direction de la force principale menée par le point fixe^ cette condition détermine deux positions oppddéesou renversées du corps doftt il s'agit. Si le système des forces données a une ligne centrale, on peut toujours (n^ 91 ) réduire les forces données i deux forces ayant pour points d'application deux points quelconques de cette ligné. Cela pos^, si la force principale n'est pas nulle, il faudra, pour obtenir l'équilibre, faire tourner le corps autour du point fixe jusqu'à ce que la ligne centrale soit dans un plan passant par le point fixe et parallèle au plan des deux forces-, alors, en eflet^ les deux forces seront, elles aussi, dans ce plan, et on pourra leur substituer une résultante passant par le point fixe. Le cqrps pourra encore tourner autour d'un axe perpendiculaire à ce plan ; mais, par rapport à cet axe, les deux forces situées dans un jplan qui lui est perpendiculaire auront (n^ 99) un point central par lequel la résultante des deux forces doit toujours passer, et, pour que l*équi<lil^re ait lieu, il suffira de faire tourner le corps jusqu'à ce que ce point central se trouve sur la direction de la (brce principale menée par le point fixe, direction qui coïncide nécessairement avec le plan des deux forces.
Cetle série de conditions conduit encore à deux positions du corps opposées ou inverses.
Si la force principale est nulle, et si, par conséquent, les forces données (92) peuvent être remplacées par un couple dont le bras a une longueur arbitraire, mais doit être pris parallèle à la ligne centrale, il faudra, pour obtenir Téquilibre, faire tourner le corps autour du point fixe jusqu'à ce que la ligne centralq soit parallèle aux forces du couple ; alors, en effet, le bras et les forces du couple formeront une seule ligne droite et le moment du couple sera nul. Cette condition fournit encore deux positions opposées du corps. Le point considéré jusqu'ici comme fixe n'a plus besoin de l'être, j>uisqa'il n'a plus aucune pression à supporter.
Admettons, enfin, que le corps ait seulement un plan central et que la force principale ne soit pas nulle. Nous avons vu (n^ 97) que, dans ce cas, aussi souvent que les forces données peuvent être remplacées par une résultante unique, cettQ résultante doit rencontrer deux courbes du second degré, une ellipse et une hyperbole tracées dans les deux plans milieux du système. Cela posé, menons par le point fixe une droite pamllèle à la droite qui couperait les deux sections coniques, et faisons tourner le corps jusqu'à oe que cette droite coïncide en direction avec la force principale^ on obtiendra ensuite la position cherchée d'équilibre en faisant tourner le cçrps autour de cette ligne droite. En effet, l'équilibre aura lieu lorsque le moment K du couple minimum qui s'ajoute à Is^ force principale sera nul. Or nous avons trouvé {n? 97)
équation dans laquelle pi est la longueur du bras d'un couple coïncidant avec une des lignes moyennes, Çi la
longueur du bras d'un second couple coïncidant avec Tautre ligne moyenne, Ri la force du premier couple, R, la force du second couple, perpendiculaires toutes deux l'une à l'autre et à la force principale, Yj la composante de la force Rj parallèle au bras Çi, X, la composante de la force Rt parallèle au bras pi. Si maintenant on mène un plan perpendiculaire à la force principale passant par le point fixe et autour de laquelle le corps peut tourner dans la position d'équilibre comme autour d'un axe de rotation, les deux forces Rj et Ri seront parallèles à ce plan. Menons dans ce plan, par l'axe de rotation, deux lignes parallèles à ces deux forces et que nous appellerons A, B; désignons de plus par C l'intersection de ce plan avec le plan central, par <f l'angle que les deux lignes A, C font entre elles, par
(f H- l'angle de B avec C, par 6 l'angle du bras p^ du
premier couple avec C, par 9 H — l'angle du second bras
Çt avec C, par (p l'angle du plan central avec le plan des lignes A et B, par X l'angle du bras pi avec la ligne B, par yi enfin l'angle du bras q% avec la ligne A, on aura
cosp = coS(p cos ( ® -f- ■" ) — sinç sin ( 0 + - j cos ^
= — cosf sin 0 — sin f cos 9 cosx|; ,
cosX = cos r f H — j cosO — sin I ç -f- - j sin 0 cos^*
= — sin ^cos9 — cosç sin^ cos 4* , Xî = R3C0s>=r — R,(sinf cosd + cosf sin0eosi|/), Y| = R,coS(A= — R, (cosçsinô-4-sinçcos0cosi|/),
K = /^, Xa — i — ^jYi ^ = sin f (qi Rj cosO cos 4» — pi R| cosO) Rj Ri
co»^ (qi Rj sîn 9 — /7| R, sin 0 cos^)« Pendant la rotation autour de la direction de la force
SYSTEME MOBILE, FORCES CONSTANTES. 2?^y
principale menée par le point fixe, langle <f changera, et la valear de <f correspondante à 1 état d'équilibre du corps devra être celle qui rend- K nul, ou qui sera donnée par Téquation
-/?, R,COS^^— <7aR,
taogfl» = tango ^-— 1 ^i—,
dans laquelle 6 et (p ne varient pas. Le moment du couple étant nul et le système des forces données pouvant être remplacé par une force unique passant par le point fixe, le corps sera nécessairement en équilibre dans la position que lui assigne l'angle f .
Si la force principale est nulle en même temps que le système conserve un plan central, les forces données pourront (n^95) être remplacées par deux couples dont les bras seront parallèles au plan centrai. Dans ce cas, pour amener le corps à la position d'équilibre, il faudra d'abord le faire tourner jusqu'à ce que le plan central devienne parallèle au plan des forces des deux couples. Les deux couples alors seront dans deux plans parallèles entre eux, et, en faisant tourner de nouveau le corps autour d'un axe perpendiculaire à ces plans, on pourra (n^lOl) composer les deux couples en un seul. II ne restera plus qu'à faire tourner une seconde fois Je corps autour de cet axâ jusqu'à ce que les deux forces du couple résultant soient dans le prolongement l'une de l'autre.
Si enfin, la force principale étant toujours nulle, le système (96) n'a pins de plan central, on pourra mener par le point autour duquel le corps peut tourner et qui n'a plus besoin d'être fixé, deux forces égales et de sens contraires H-P, — P. La force P et le système des forces données auront alors un plan central; et, en faisant tourner le corps autour de ce point de la manière qui a été décrite, on pourra Tàmener dans une position telle, que ces forces se réduisent à une seule passant par le
point fixe \ cette force alors sera détruite par la force — P, et le corps, par conséquent, sera en équilibre.
105. Arrivons au cas où le corps, ou ensemble de points liés invariablement entre eux, est assujetti à tourner autour d'un axe fixe. Menons un plan perpendiculaire à Taxe fixe et décomposons chacune des forces données en deux autres, l'une parallèle à Taxe, l'autre parallèle au plan. Projetons^ en outre, tous les points d'application des forces sur le plan et menons par la projection de chaque point d'application deux forces égales et parallèles à la composante parallèle au plan. De cette manière nous aurons : un ensemble de forces parallèles à Taxe ; un ensemble de couples, dont les bras seront tous parallèles à l'axe fixe, et qui donneront, par conséquent, un couple résultant dont le bras coïncidera avec Taxe : enfin un svstème de forces située^ dans un plan perpendiculaire a Taxe. L'effet de toutes les forces parallèles à l'axe et de tous les couples sera détruit par la résistance de l'axe, et on n'aura plus à tenir compte que des forces contenues dans le plan perpendiculaire à l'axe. Si leur forte principale n'est pas nulle, elles auront (n^99) un point central relatif à Taxe fixe; et, pour que le corps soit en équilibre, il suffira de le faire tourner jusqu'à ce que le point central se trouve dans Itt prolongement de la direction parallèle à la force principale menée par Taxe fixe. Si, au contraire, la force principale est nuUe^ les forces (n^ 101) pourront être remplacées par un couple, et, pour procurer l'équilibre, il suffira de faire tourner le corps autour de l'axe fixe jusqu'à ce que le bras et les forces de ce couple fassent une seule et même ligne droite.
106. Il n'est pas sans intérêt de faire l'application des th^ries qui précèdent aux corps à la fois pesants et magnétiques, ou sollicités à la fois par les forces du magné-
PESANTEUR ET MAGNÉTISME. sSp^
lisme et de la pesanteur. Le magnétisme terrestre fait naître dans chaque élément des corps sensibles à son action un couple ; la position du bras de ce couple dépend de la distribution du magnétisme dans le corps, mais les forces des couples sont toutes parallèle^ entre elles, et leur direction est celte de la force magnétique. Cette direction est déterminée par deux angles : i^ Tangle qu^elle fait avec le plan horizontal; 2^ Tangle que le plan vertical mené par la direction de la force, ou ce qu'on nomme ]e méridien magnétique, fait avec le méridien astronomique; le premier de ces angles est Vinclinaison, le second la déclinaison magnétique. Tous deux sont variables en un même lieu de la terre, en ce sens qu'ils sont soumis k des variations en partie régulières, en partie irrégulières; mais, dans ce qui va suivfe, nous ne tiendrons pas compte de ces variations et nous r^ardcrons ces deux angles comme constants en un même lieu.
Un corps à la fois pesant et magnétique est sollicité par deux systèmes de forces parallèles, mais ces deux systèmes agissent parallèlement à un même plan, le plan du méridien magnétique, et, par conséquent (n® 91), ils ont toujours une ligne centrale. Si l'on prend pour origine des coordonnées du système le centre de gravité du corps, si Ton désigne par S les sommes relatives aux forces de la pesanteur, par Z' les sommes relatives aux forces magnétiques, par P Tune des forces du couple magnétique agissant sur un des éléments du corps, par a, 6, ^ les angles que cette force fait avec les axes coordonnés, on aura
2Xjr=o, 2X/ = o, 2X«=o, 2Yjr=o, 2Yj = o, lYz=:o, 2Za:=0, 2Z/=:0, 2Z8 = 0,
parce que les coordonnées du centre de gravité sont nulles,
24o STATIQUE.
et
= cos 6 2' Par . cos a2' P j — cos aS' P x . cos ^l'Py = o,
= cos62'p4:.cosa2'Pz — cosal'Px.cosfil'Pz = o,
ces valeurs, substituées dans les équations de la ligne centrale (n^ 90) donnent
__ï.Yl'lir—lXl'Yy zTr ^""sYs'Xx — 2X2'Yx^~ 2'Pj-^'
__ SYZ^X» — sXS^Yz tPz * ~ 2Y2'Xa:— 2X2'Yi * "" Fpi '''
la ligne centrale passe donc par l'origine ou par le centre de gravité du corps. Sa direction, indépendante de la position du centre de gravité, et qui ne sera pas changée si l'on ajoute au corps des parties non magnétiques, pourra être déterminée par l'observation, lorsqu'on aura donne le centre de gravité du corps et la direction de la force magnétique. En effet, si Ton dispose un corps magnétique de telle sorte qu il puisse tourner librement autour de son centre de gravité immobile, et qu'on l'amène à la position d'équilibre, le couple magnétique résultant devra alors cire nul, et par conséquent la ligne centrale pour cette position coïncidera avec la direction de la force magnétique menée par le centre de gravité.
107. Si l'on fait tourner le corps jusqu'à ce que la ligne centrale se trouve dans le plan mené par les deux directions de la force magnétique et de la pesanteur, c'està-dire dans le méridien magnétique, les forces, lorsque le corps ne fera plus que tourner autour d'un axe perpendiculaire à ce plan, auront, par rapport à cet axe, un point central. En effet, si l'on continue à prendre le
PESAIiTBUK ET MAGNÉTISME. ayj 1
centre de gravité pour origine de« coordonnées^ si, en outre, ou prend pour aice des z ifne ligne menée par ce centre parallèlement à Taxe de rotation, perpendiculaire, par conséquent, à la direction de la pesanteur et de la force magnétique, tous les Z seront nuls; et parre que Taxe des Z est aussi perpendiculaire à la ligne centrale, on devra avoir z = o, et, n*' 106,2'Pz = o.Les conditions du n^ 99 seront alors satisfaites. Si Ton prend pour axe des X. la verticale, ZY serâf nul, SX sera égal au poids du
corps, et parce que 6 = a, les coordonnée» du point
central deviendront
cosaS'Pjr-f-sînaS' P/ cosa S'P/— sin a s'Pj:
'•== ix ' ^'"^ iX ' ^• = °'
la quantité cos aSl Py — sîn «E'Px = HlLy — Yl\x est d'ailleurs le moment du couple magnétique dans la position actuelle du corps.
Désignons par I Tinclinaisou de la force magnétique; par M le moment du couple magnétique, lorsque le corps a été amené dans une position telle, que la ligne centrale soit perpendiculaire à la force magnétique, et qu'en même temps le couple ait sgn moment maximum ; par Y Tangle que la ligne centrale fait avec Taxe horizontal des y^ ou Tinclinaison de la ligne centrale \ par S le poids du corps : on aura
2'P^ = Mcosr, 2'Px = !Hsînr, a =: - — ï, S = îX,
et les coordonnées du point central seront
Mcos(I-r) Msin(I — r)
et, par suite,
5 = Ung(I-l').
Mais I — r est Taiigle que la direction de la ligne centrale ou le bras du couple magnétique fait avec la force magnétique, et cet angle a sou tour est égal à celui que la ligne unissant le centre de gravité avec le point central de toutes les forces fait avec Taxe des x ou avec la direction de la pesanteur.
108. Si un corps à la fois pesant et magnétique est fixé eu Tun de ses points, il faudra, pour que Téquilibre ait lieu, amener le corps à une position telle, que son centre de gravité soit sur la verticale menée par le point fixe, et que la ligne centrale soit parallèle à la direction de la force magnétique. Si le corps magnétique ne peut que tourner autour- d*un axe fixe horizontal, perpendiculaire k la fois à la ligne centrale et à la direction de la pcsan* teur, ou trouvera sa position d'équilibre de la manièi'e suivante. Prenons {fig» a3) pour origine O des coordonnées le point d'intersection de Taxe fixe par un plan vertical mené par la ligne centrale, ponr axe des z Taxe fixe, pour axe des x la verticale, pour axe desj" la ligne horizontale menée dans le plan vertical passant par la ligne centrale; appelons [k l'angle du plan des ocy avec le méridien magnétique, r la distance OB du centre de gravité k l'origine des coordonnées, cf l'angle ABO de la ligne OB avec la ligne centrale, Xo, jo les coordonnées du centre de gravité parallèles aux axes des x et Ae&y, Alors (n^105), pour trouver la position d'équilibre, il faudra projeter toutes les forces sur le plan des xy^ ce qui laissera intact le poids S du corps appliqué au centre de gravité B, et ne conservera des forces magnétiques que les composantes parallèles aux axes des x et des j^. Le point central des nouvelles forces situées dans le plan des :cjf devra, dans laposition d'équilibre, tombersur l'aiedeso:; ou, puisque /o est son ordonnée parallèle à Taxe des^, on devra avoir
PESAnTEUR BT MÂGMÉTISME. ^43
j^ = o. Cela posé, en remontant aux équations du n° 99 et remarquant que Ton a
2Y = o, ï'Y = o, 2X=S, 2'X = o, iX^^Sy., 2Yx = o, 2Xar = Sx„ 2Yjr=o, Z' X jr = cos aZ' Px = Mt^os a sin I' = M &in I un 1% Z' X j- = cosaZ' P^ = M cos a cos I' = M sin I cos I', 2' Yj^ = cos€2'P^- = Mcos$ cosl' = McosjACOsIcosr, Z'Yor = cos€2'Px = M cos 6 sin I' = Mcosft cosIsinT,
on trouvera
Sx, + M(siplsinr-hcosftcoslcosr)
Sy# -*- M (sin I cos I' — cosft cosl sinl') r. = g »
et, par conséqueM, la condition d'équilibre, y^ = o, deviendra
Sy, -f- M (sin I cos 1' — cosf* cosl sin F) = o; mais
y.= — rcos(4. — r),
on aura donc, en substituant,
M (sin I cosl' — cospcosIsinV)*- Srcos(i|f — F) = 0
MsinI — Srcosip
tane 1 =? ^. 7; — : — : >
^ McoSftcosI + S^sln^p
^ Srcos(4, - r)
sin I cosl' — cos /A cos I sin I'
M ( cos fA cosl sin 1' — sin I cosl' ]
Lorsque jx sera nul, c'est-à-dire lorsque le plan de rotation du corps coïncidera avec le méridien magnétique, on
Si44 ' STATIQUE.
aura
Msinl--Srcos4> ^ ^rcos(^ — y)
tang I = ^ = 5 : — 7 > M = : — — rrf- y
^ Mco8l-f-S/sin4» siii(I — 1')
Msin(I— n
Si l'axe iîxe passe par le point central, ou si l'on a aussi Xq = o^ le corps sera asiatique. En outre des équations qui précèdent, et qui résultent de ^o = o, on a encore
Sx« + M (sinlsinl' + cosftcoslcosr) = o
ou, parce que Xo = ''sin (^ — F),
M(sinl8inl' +cosfACOsl€Osl') -f-S/-8in(4' — I')=:o
et, par suite,
,, \,. sinlsinF + cosucosIcosI'
tang (^1 — r) = — -r-= =7-^- £- r^-p'
"^^ sinlcosr — cosftcoslsinr
M* r* = — (sin*I ■+ cos*fACOS*I), i9
équations qui fixent la position du centre de gravité du corps. Si par l'addition de parties non magnétiques on arrive à faire coïncider le centre de gravité avec le point ainsi déterminé, le corps deviendra asiatique par rapport à Taxe fixe. Si fx est nul, les équations qui précèdent donnent
tang(4,-r) = cot(r-I), 4^ = ^ + 1, r=^.
Si Taxe fixe passe par le centra de gravité du corps, r sera nul et la condition d'équilibre, réduite à tang I' = ^"^ ,
COS fA
sera indépendante du moment magnétique. Si, déplus, |x=:--9 on aura aussi 1' = -, la ligne centrale sera verii-
