ÉQUILIBRE DU POLYGONE FUMCULÂIRB

ble du polygone ne pourra évidemment rester en équilibre qu'autant qu'il sera sollicité à ses deux extrémités par deux forces égales et dirigées en sens contraires. Chacune de ces deux forces est ce qu'on appelle la tension du côté dont il s'agit; soient Ti cette même tension pour le côté situé entre les sommets (i) et (a), Tt la tension du côté situé entre les sommets (a) et (3), etc., enfin T^-i la tension du côté situé entre les sommets {n — i ) et (n). Désignons en outre par

et,, «1,. . . a»— I, «H) 6g, 6,,. . . 6^i, %, 7g, 71,. . . 7ii-», 7«,

les angles que font avec les axes les directions des côtés du polygone auxquels sont appliquées les tensions Tq, Ti,..., T..1, Tm, ces directions étant comptées pour chaque côté à partir du sommet le plus voisin de rextrémité A. Il devra évidemment y avoir équilibre a chaque sommet entre les forces appliquées à ce sommet et les tensions qui sollicitent ïes côtés voisins. On aura par suite au sommet (i)

— TgCosag H- P, cosX, -f- T, cosa, = o ,

— ToCt>s6o-l-PiCosfA, -|-T| cosS, = o ,

— ToCOS7o-|-P|COSv, -h T,cos7, = o;

au sommet (2)

— TiCosai -+- Pa CosÀ, H- Tjcosas = o ,

— T, CO86, -f- Pacospi, -H T,cos6, = o ,

— Ticos'/, -t- P3COSV3 -f-T,cos7, = o;

de même pour le sommet (3 ), etc. En faisant U somme de toutes ces équations, on éliminera les tensions intermédiaires inconnues, et Ton trouvera pour les équations d'équilibre :

— TgCosao-l-PirosX, -H-PiCOsX, -h. . . -f-T„cos«n = o, (i) { — T,cos6a-|-P,cosfA, 4- PiCOSfAi -f-. . .H-TnCos6, = o ,

— T,cos7(,-HP,cosv, -f-PjCosv, -H. . . -HTrtC0S7« = o.

2 i8 * STATIQUE.

Les équations (i) expriment évidemment que, pour l'équilibre du polygone funiculaire, il faut, dans tous les cas, que toutes les forces du sysième, c'est-à-dire les tensions des deux cordons extrêmes, et les forces appliquées aux sommets, transportées parallèlement k elles-mêmes en un point quelconque de l'espace, se fassent équilibre, ce que Ton démontrerait facilement à Taide du simple raisonnement. Quand cette condition sera remplie, on pourra toujours donner au polygone une forme telle, que Téquilibre existe, en supposant", coname nous le faisons, que les côtés sont inflexibles. En effet, soit n — i le nom* bre des sommets du polygone, n le nombre de ses côtés, on aura a déterminer n — i sommets, in — 3 angles, n — I tensions, c'est-à-dire 5n — 5 quantités. Or nous avons vu que chaque sommet donnait 3 équations de condition, ce qui fait 3n — 3 équations; de plus, les 3n — 3 angles sont liés entre eux par fi'^^ i équations de la forme

enfin, n — i équations exprimeront Tinextensibilité des cordons ou des côtés du polygone; nous aurons donc aussi 5/1 — 5 équations, c'^est-à-dire autant d^équations que d'inconnues. Donc, etc.

Si Pi , Pt9 • • • sont des poids, et qu'on suppose Taxe des X horizontal, Taxe des y vertical; si, de plus, tous les côtés du polygone sont compris dans un plan vertical , cosyo9 cosyi , • • . , cosy„ seront nuls ; on aura

cos6o=='sinao,... , cos6A = sinan, cos^i = o, cos^,=o,..., cosXj,=o,

la troisième des équations (i) disparait nécessairement, et les deux autres deviennent

— T,cosofQ 4- T„ cosan = o