ÉQUILIBRE DU M CORDOU FLEXIBLE
Vt
— T«8Îoat-+- (P,4-Pf-H. ..)H-T*sinafli=o.
Admettons que ces poids se réduisent aux poids, /?i, p,, Ptf ' • ' Pn des côtés pesants du polygone ; on aura
et les condition^ d'équilibre seront
T«cosa«= T»cosa«9 T,sina«=r (/JiH-2/?,H-2;7j-+ . . .H-;7,)-hT,Sîna,.
liO. Passons à la recherche des conditions d'équilibre d'une corde flexible et inextensible A A' [fig- 25) sollicitée en ses différents points par des forces données. Le principe qui nous guidera dans cette recherche est très-simple et très-fécond; on peut le formuler comme il suit :
Concevons que Ton solidifie un élément mm' de la coixle : il est évident que par là on ne troublera pas Téquilibrc, s'il existait auparavant; il faut donc que cet élément considéré isolément se trouve être en équilibre sous l'action des forces qui le sollicitent. Réciproquement, si les divers éléments sont en équilibre sous Faction des forces qui les sollicitent, il est incontestable qu'il en sera de même du svslème entier.
Soient X, Y, Z les forces qui sollicitent l'élément mm' en chacun de ses points. Cet élément sera en outre sou-* mis à l'action de deux tensions T, T' inégales et contraires, qui s'exerceront suivant les tangentes aux points m, m'. Pour se faire des tensions T, T' une idée nette, il faut concevoir qu'en m et /n^ on coupe tout à coup la corde, pais qu'on remplace l'action des portions m A et m'A^ sur l'élément mm' par deux forces convenables ou équiva-r lentes; ces deux forces seront les deux tensions T, T'.
Dans toute )a longueur de l'élément infiniment petit
25o STATIQUE.
mm'= dsy on peut supposer la corde homogène^ la densité de l'élément sera alors constante et sa masse sera proportionnelle à sa longueur. En désignant par p la densité qui dans tout Télément reste constante, la masse sera représentée par p ds ; et comme elle se réduit presque à un point, que les forces données qui la sollicitent peuvent être supposées parallèles, Faction totale de ces forces, proportionnelle à la masse, aura pour composantes pXrii, pYris^ pZds, auxquelles il faudra ajouter les tensions T, T^, dirigées suivant les tangentes aux extrémités de 1 élément. L*équilibre devra donc exister entre ces cinq forces, qui peuvent être censées appliquées en un même point; et en nommant (jf, J^, ^), (a/, y', js') les coordonnées des points m, m\ les trois équations d'équilibre seront
Il importe de faire remarquer que la tension varie en passant d'un point de la corde à Tautre, ou doit être représentée par une fonction de x, jr^ z que nous nommerons f (ar, y-j z).
Puisque la longueur de l'élément mm\ ou la distance des deux points m, m^ est infiniment petite, les trois différences
as as as as ils as
peuvent être remplacées par les différentielles
ÉQUILIBRE d'un CORDO» FLEXIBLE. a5l
et les équations (a) deviennent
(3) I ,/^T^^ -hpTtf^=o,
d(T^^-hpZds=o.
Telles sont donc les équations de Téquilibre de la corde flexible et inextensible.
111 . Pour calculer la valeur de la tension T, mettons* les sous la forme
f/x dx
— rfT H- Tif -- -4- P yids = o, ds ds ^
ds ds ^
dz -^ Mm , dz ,
— dT -hTd — '\- ûZds := o; ds ds *^
, . ,. I dx dy dz .
roultipuons-les respectivement par — » —-» T ^^ ajoutons, il viendra
[(ly-(l)-(^)"] "--(14-14-^5)
H- p (X/ir-f- Yrfj -i- Zdz) = o.
On a toujours
puisque «fc*= fix* -{- cfy^ -+- dz* , et, eu différenliant,
r/x , r/:r dr . r(r r/z . fiz ds as ds ds ds ds
Par là même, Téquation qui donne T se réduit à
fl^T -h p (Xdx -h Ydx -^Zdz) = o.
Si la quantité p{TLdx-h Ydy -i-Zdz) est une différentielle exacte, on pourra intégrer, et Ton aura
T = c —fp (Xdx -h Ydx -f- Zdz), ou, en j^osaLtil f p (Xdx -h Y dy -i-Zâz) = 9(x,j', z),
Soient Xo, j^09 «^o l<^s coordonnées d'un des points de la corde, et T^ la tension correspondante; ou aura aussi
et par conséquent
T — T. = y (xo, r«» «•) — ? (^y y> «)>
T = T.— { ff{x, r, e) — ^ (x., jr«, «.) j.
Il en résulte que, connaissant la tension en un point quelconque de la corde en équilibre^ on pourra la calculer immédiatement pour tous les autres points.
Si la corde est homogène sur toute sa longueur, p est constant, et pour que Ton puisse calculer directement la tension T, il suffira que ^dx -^Ydy -^-Tàdz soit une différentielle exacte.
La tension T sera constante dans les deux circonstances suivantes, que la corde soit ou ne soit pas homogène :
1° Dans le cas particulier où X = o, Y = o, Z = o; mais alors la corde n'étant sollicitée par aucune force est nécessairement en équilibre et la tension est nulle.
1^ Si la résultante des forces X, Y, Z est en chaque point perpeadiculaire à la tangente. En effet, en appelant
ÉQUILIBRE d'un COBDON FLEXIBLE. Sl53
R cette résultante, on aura, dans Thypothèse admise, X £/jr Y dx Z dz ^ ^ ^ ,
et par suite f(Xjy, «) = o,
112. La particularité la plus intéressante du problème que nous discutons consiste à déterminer la forme que la corde doit prendre dans le cas d'équilibre, et nous allons montrer comment on peut y parvenir.
On pourrait reprendre les équations
dx dx
-7- €/T -h T1/-7- -f- plLds = 0,
ds ds ^
^dT^Td^'^pYds=o, ds ds
dz dz
— rfT -h Trf— -f- pZrfj = o,
ds ds ^
et élimiuer entre elles T et ^T, ce qui se ferait aisément, puisque nous avons trouvé déjà
rfT = — p (X^ir + ^dy + Zdz), T: = C'-f^{XdX'^Ydx'hZdz).
On obtiendrait ainsi deux équations différentielles, et, eu les intégrant, on trouverait que les coordonnées x, ^, z d'un point quelconque de la courbe sont liées entre elles par dettx équations finies de la forme
qui seraient les équations de la courbe que le cordon devra nécessairement former pour être à l'état d'équilibre. On' peut aussi éliminer d'abord dT entre les équa-
a54 STATIQUE.
tioiis (3) prises deux à deux, et mettre pour T sa valeur dans les équations résultantes.
L'élimination de dT donne
ces trois équations ne sont distinctes qu'en apparence; car, à cause de la relation JT = |o(Xéir+Y£#^-hZrfr), chacune se déduit des deux autres.
En mettant pour T sa valeur dans deux d'entre elles, prises à volonté, et intégrant, on retomberait encore sur les équations
C'est tout ce qu*on peut dire en général et quand- on ne définit ni la densité p ni les composantes X, Y, Z.
Dans le cas particulier où, en chacun des points do cordon, la résultante R des forces X, Y, Z est dirigée suivant la tangente, le fil se tend en ligne droite. Alors, en effet, on a
/ir dy dz ds ds ds ,
par conséquent,
^ dy dx «. ^* ,,dY dx -^ dz ^^
ds ds ' ds ds ' ils ds
et les deux dernières, par exemple, des équations (4) deviennent
dz ^dy dy ,dz elx ,dz dz ,dx
ds ds ds ds ds ds ds ds
PROBLÈME DB JLA CHAlHiETTE. 253
d'où Ton déduit par rintégration
équalîons d^une ligne droite. Ainsi^ dans ce cas, le cordon se tend en ligne droite; ce que, d'ailleurs, on pouvait prévoir immédiatement et sans calcul.
La réciproque est vraie, c'est-à-dire que si le fil se tend en ligne droite, c'est que la force qui le sollicite en cliacun de ses points est dirigée suivant cette même droite; voilà pourquoi le fil à plomb donne la direction de la pesanteur, comme nous Tavons affirmé n? S9.
113. Les principes que nous venons d'exposer donnent la solution d'un problème qui a longtemps occupé les géomètres, le problème de la chaînelte.
On déduirait sans trop de peine l'équation de cette courbe des formules générales que nous venons d'établir; mais il sera plus simple de résoudre directement le problème.
La chaînette est la courbe suivant laquelle s"* arrondit une duUne pesante et parfaitement flexible^ lorsque ^ suspendue à deux points fixes par ses deux extrémités ^ elle est abandonnée à elle-même sous l'action de la pesanteur. Pour ne pas compliquer inutilement la question, nous admettrons que la chaîne est homogène sur toute sa longueur « Toutes les forces qui la sollicitent étant verticales, la courbe qu'elle dessinera sera évidemment comprise dans le plan vertical passant par les deux points fixes. Prenons dans ce plan pour axes coordonnés deux axes rectangulaires, l'un horizontal OX, l'autre vertical OT. En solidifiant, comme nous l'avons fait dans le. cas général^ un élément mm'^ et répétant le raisonnement connu, on arrive immédiatement aux deux équations
a56 STATIQUE.
et cette fois p est une quantité constante sur toute la longueur de la courbe, puisqu*on suppose la chaîne homogène. Intégrée, la première de ces équations donne
Au point le plus bas, la tangente est nécessairement horizontale ou parallèle à Taxe des .r, ce qui entraine
dx
-r- == I ; et, en appelant To la tension en ce même point,
on aura To = c; la constante c représente donc la tension au point le plus bas. Posons
T. = r = apy
a étant une constante que nous apprendrons plus tard â déterminer; nous aurons
T—=zap, d'où T=:-4— , (U ' dx
substituant cette valeur de T dans la seconde équation (5), il viendra
d lap — \ =^pds ou pad -j- zizpdsj ad-j- ^=ids.
En représentant la dérivée — par j^', ou posant -j- ^=ft on Si ds=^dx^i -î-^'* ; on aura donc
ady
adx'=- dx v^i-hy% d'où dx = et en remplaçant dx par -^»
dr=: "^'"^^
PROBLÈME DE LA CHAINETTE
Intégrées, les deux équations
donnent
et comme on a en outre
on trouvera de même
Admettons qu'en choisissant conveniablemont l'origine des coordonnées, ou en la plaçant en un point O que nous apprendrons bientôt à déterminer, on ait fait disparaître les constantes Cj , Ct , et ramené les équations qui expriment x et j en fonction de j'' à la forme plus simple
Pour trouver le point où la courbe rencontre le nouvel axe des^, il faudra faire x = o, ce qui donne y = o, y = fl -, ce point sera donc celui où la tangente à la courbe est horizontale, ou le point le plus bas. Si Ton convient, en outre, de compter les arcs à partir de ce point, s devra être nul pour a: = o, j = a ^ comme alors j':= o , la constante c, sera nulle à son tour, et l'on aura
(7) sz=ay.
En éliminant j'entre les deux équations (6), on obtient
:=«i('l:tv^),
a6o STATIQUE.
et, eu multiplia Di membre à membre ces deux dernières équations pour éliminer x^ on aura
et Ton pourra calculer a , au moins par approximation, quand b, l et h seront donnés en nombres.
En élevant au carré les deux membres de la dernière équation, ajoutant 4 a' et extrayant la racine carrée, nous avons
nous prenons le second membre avec le signe 4-, parce que le premier est toujours positif. Si l'on ajoute ensuite la somme et la différence dos exponentielles, il vient
ou bieiK en faisant = tang n ^»
afr cot/A
sinpi 2
d'où Ton tire
. = lantç u. I cot - u. ;
équation dans laquelle ■ est toujours plus petit
que 1 . Pour faciliter le calcul de (x, M. Brocb a dressé la
Table suivante, qui donne de degré en degré la valeur de
1 1 tang |uil cot -fx.
PROBLEME DE LA CHAINETTE
lO
tangftlcot|pi.
o,5oi 47^8
o^ii5^2''TO83
o,bi5 5587
tangfil cotjfA.
o,855 il 10
