II

0,944 ^5oo

tangpil cot|fi.

262 STÀTK^tJE.

Quand ou aura trouvé fA par interpolation avec une approximation suffisante, on calculera a à Taide de Téquation

a ==- tang f* ^/*— A' .

Enfin, pour déterminer la position de Torigine 0, il nous suffira de calculer, par rapport à cette origine, les

coordonnées x -h h.r H — A du milieu Dde la corde ADÂ'.

Reprenons les équations

X / 2h \ X I 2fc \

Si Ton multiplie la seconde par e" elles deviendront

et, divisées membre k membre, elles donneront

et eQiin

Si, au lieu de les diviser Tune par l'autre, on les ajoute, il viendra

àb

aft

PROBLÈME DE LA CHAINETTE. 263

d'ailleurs donc

ir-— I

Connaissant les coordonnées X H- & etj^ + -A du point milieu D, on en déduira Torigine O, en menant par le milieu D la verticale DE =y H- - A, et par le point E l'horizontale EO = jc -H i-

115. La chaînette jouit d'un grand nombre de propriétés qui ont été successivement mises en évidence par les géomètres. Mous pouvons k peine en indiquer quelquesunes.

1® Nous avons déjà vu qu*elle est reclifiable, ou que

a° L'aire ou la surface A du segment BOPM (fig. ay) vsifydx'^ or réquation différentielle de la chainette est

y = —^ 9 ou /fr = j

et Ton a, par conséquent,

On ne met pas de constante arbitraire, parce que l'aire BOPM, comptée à partir de 08, s'évanouit pour y = a ; on a donc A = BOPM = OB.BM, c'est-à-dire que l'aire jà est égale au rectangle constnût sur l'ordonnée constante OB et sur l'arr BM.

as.

3° Le volume V de révolution engendré par le segment BOPM est 71 ^ * ^ ; or

Jydx = as^ ydx = ad9\ *

doue

Mais iTifyds est Taire de la surface de révolution engendrée par Tare BM ; en la nommant «S, on aura

ce qui établit entre la surface et le volume de révolution une relation analogue à la relation j4 = as qui existe entre Tare générateur et l'aire plane correspondante.

4? Dans la chaînette, le rayon de courbure R est partout égal à la normale N. En efiet, d'une part la normale N a pour valeur

''=v-(Ey=v

de l'autre le rayon de courbure R est donné par l'équation

li zir -, — a '

=^=N; donc R=N.

5^ La chainetle se construit sans peine par points, au moyen de deux logarithmiques. Construisons en effet les deux logarithmiques ayant pour équations

j = ae , y = ae

Prenons le milieu m de la droite MM/ {fig, 28) qui passr

PROBLEME DE Lk CHAIN ETTE* ^65

par deux points des logaritliroiques situés sur une même parallèle MP à Taxe OYj le point m sera un point de la chaînette^ car on a

POT=PxM'-HM'i?i = M'P-h-(MP— M'P)==-(i\rP-4-MP)

ce qui est bien Tordonnée d'un point de la chainetle.

6** Cherchons enfin le centre de gravité d'un arc et dW segment de chaineltc. En prenant pour origine le point le plus bas, B (fig* 27), Féquation delà courbe sera

et en comptant les arcs à partir de ce même point B, les coordonnées ^, r^ du centre de gravité de l'arc compris entre le point B et le point M qui a pour coordonné(?s X, j, seront données par les équations

Jçx px I , ^v

•Jo Jo

X je

e -h e I dx

=: ?. r V r '-h 2 ^i-f- 2 fO >

= — ^a ^x^-^-ii-ax

-{-{y -¥a) yjjr^-^- na^-^ax = (r — a)V^j'H-^«7H-«»

Jo \^""+"^ ^y ^ = av^^H-2£fj=2j; on aura, par conséquent,

ç — a:— ■ nr. = *— — 9

ï o ax Y a ax

îQ = -r 1 — — 1

2 ^2 V^*H-2ûJ 2 2 25

Pour le segment M' BM, on a

I dy I JTtir 0 J^x

Jo J — X

^SSydx^

//rfxrfy

PBOBLÈliE DE LA CHÂIKETTE. làÔy

mais

I djr M xdx z=z o y o J—x

f y^y I dx=2 f xydy o •/— ;r «/o

=/*x II* j: «(/— 3tf) vr*-Hî*«/>

J\ dj { dxzs:^! xdx = ^^jr — al [ — a H- ff** -f- tf "* J

et, par conséquent,

7*jr «'X (x — 3fl) V^/*4-2<i/

^=0, ïî= / , •

2x7^ -f- 2ÛX — aa Y^'H-2d'j^

Dans nos leçons de calcul des variations, nous établissons d'autres propriétés intéressantes de la chaînette. On tombe, en eflet, sur son équation quand on cherche : 1^ page 2049 quelle est la courbe plane par laquelle il faut unir deux points donnés, pour que la surface engendrée par sa réyolution autour d'un axe donné soit un minimum; a® page 2149 entre toutes les courbes de même longueur, quelle est celle qui par sa révolution autour d'un axe donné engendre la plus grande ou la plus petite surface; 3^ page 357, de toutes les courbes menées entre deux points donnés, quelle est celle dont le centre de gravité est le plus bas possible, etc.

116. Coriolis a considéré le premier le ras où Tépaisscur de la chaîne pesante et parfaitement flexible varie

d'un point à l'autre proporlionnellement à la tension, ce qui est le cas d'une chaînette d'égale résistance n'o/Irant pas plus de chance de rupture en un point qu'en un autre. Désignons par p le rapport entre le poids d'un élément ds et sa longueur, par T la tension, dont la valeur au point le plus bas B [fig. 29) sera T©. Représentons parx etj^ des coordonnées horizontale et verticale. Ou aura pour Téquilibre en un point M quelconque de la courbe

Tînlégrale commençant au point le plus bas de la courbe où Ton a ^ = o. Ces deux équations donnent

'f d^y p ds

dx^ To dx Par la condition d'égale résistance, on doit avoir

T==ap, a étant une constante; Téqualion de la courbe sera donc

d'y T ds Hj^ "" ïTïï dx'

Remettant pour T sa valeur tirée de la première des équations qui précèdent, on aura

ou bien, en posant -f- =j' ,

dy' „ dx dr'

dx -^ ' a 1-4- y»

En prenant pour origine des x le point le plus bas de la

PnOBLÈMB DE LA CHAINEITE. - 269

courbe, et en intégrant à partir do ce point pour lequel X = o, j^'= o, on trouve

J = arc tang :r', ^' = ^=tangî.

Int^rant encore à partir du point le plus bas que l'on prendra pour origine des y, on obtiendra

— = l 9 ou bien e

cosa

^co» (-1 == I.

Telle est Téquation de la chaînette d'égale résistance, rapportée à son point le plus bas pris pour origine des coordonnées. La valeur de la constante a résultera de la relation T= ap* En l'appliquant au point le plus bas, on a To = a/^o* Ainsi, en concevant une portion de chaîne ayant l'épaisseur constante qui existe au point le plus bas, a sera la longueur qu'il faudra donner à cette poirtion de chaîne pour que son poids ap^^ soit égal à la tension To au point le plus bas, ou , ce qui revien^t au même, à la composante horizontale de la tension aux points d'attache Â ou A^ La plus grande abscisse de cette

courbe répond à j^'= -» ou, puisque

y'^=tang-î a - = -7

donc la limite X de xou la demi -largeur de la courbe sera

X = fl - = •

Celte limite est telle, qu'une chaîne ayant celte demilargeur pour longueur et la même force qu'au point le

plus bas aurait pour poids -Tq-, la hauteur correspon-

dan te esijr = oo . Donc la courbe, quelle que soit la longueur de la chaîne, n'atteindra jamais la largeur 7:a, qui est ainsi une limite. Si Ton veut avoir l'épaisseur p de la chaîne en fonction de Tabscisse, on trouve

T« ds ' a fix"

acoaa

On peut remarquer qu'en appelant a l'angle que fait la tangente à la courbe avec l'axe des x ou arc tang j^', on a l'équation

aa =r X,

Par conséquent Parc de cercle décrit du point C comme centre avec le rayon a, et compris entre Taxe des x et une parallèle CN à la tangente au point M, sera égal à l'abscisse de ce point M.

ÉQUILIBRE d'un SYSTÈME K LUISONS QUELCONQUES. aj l