DOUZIÈME LEÇON

Rechercha des éqvaUooB géDériles d'éqailibre d'un tysième de points mstériels assujettis à des liaisons quelconques et sollicités par des forces aussi quelconques — Cas où il n'existe entre les points qu'une seule liaison. — Gss où le nombre des liaboQs est quelconque. — Principe des viteeses ▼irtuelles.

il7. Considérons un système de points matériels A, A', A'^, . . . sollicités par certaines forces; si ces points matériels sont libres et indépendants les uns des autres, il sera nécessaire, pour Téquilibre, qu'après avoir réduit à une résultante unique toutes les forces appliquées à chaque point, on trouve chaque résultante égale à o; mais si les mêmes points sont assujettis à certaines liaisons, comme ces liaisons opposeront au mouvement du système certaines résistances, il ne sera plus nécessaire pour l'équilibre que la résultante des forces appliquées a chaque point s'évanouisse.

Il s'agit ici de faire voir comment on peut déduire les formules d'équilibre de la nature des liaisons supposées connues. Nous examinerons d'abord le cas particulier où il n'existe qu'une seule liaison représentée par une seule équation entre les coordonnées des différents points; nous traiterons ensuite le cas général où les liaisons sont en nombre quelconque.

Supposons donc que les différents points se trouvent assujettis à une seule liaison. Soient dans cette hypo-thèse JC,j^, Zy x\y\ z\ etc., les coordonnées rectangulaires des différents points A, A', A". . . , P, P', P^ les

aya statique.

forces qui leur sont appliquées, réduites pour chaque point aune résultante unique; et enfin

l'équation de condition qui exprime la liaison donnée, L étant une fonction des variables x,y, z , x\y\ z\ etc. Nous disons que l'équilibre pourra s'établir au moyen de la liaison, sans que la force P s'évanouisse, et même en général quelle que soit T intensité de cette force. Pour le démontrer, commençons par imaginer que Ton fixe tous les points du système, à l'exception du point A qui a pour coordonnées a:, j*, z, et qu'en même temps on supprime les forces P', P". . . , appliquées aux points A', A''. . . .Les coordonnées x^j^ z demeurant seules variables dans l'équation L = o , la liaison exprimée par cette équation n'aura plus d'autre eflet que d'assujettir le point A à rester constamment sur une certaine surface courbe *, et si cette surface présente une résistance indéfinie , comme la résistance a lieu suivant la normale, il suffira, pour que la force P ne trouble pas l'équilibre, qu'elle soit ellemême dirigée perpendiculairement à celte surface.

Supposons maintenant que l'on restitue au second point A' sa mobilité primitive. L'équilibre sera troublé en général, et le système des deux points se mettra en mouvement. Mais il est clair qu'on pourra toujours empêcher ce mouvement parle moyen d'une nouvelle force F appliquée au point A' dans une certaine direction. La force P' étant choisie comme on vient de le dire, restituons encore au point K" sa mobilité primitive. Pour retenir ce troisième point à sa place, il suffira évidemment de lui appliquer une troisième force P' dans une direction déterminée. En continuant de même, on conclura définitivement que tous les points redevenus mobiles et liés seulement par l'équation L = o pourront être main-

ÉQUILIBHB D*DII SYSTÈME ▲ LIAISONS QUELCONQUES. a^S

tenas en équilibre à Taide de cerlaines forces P, P, P*.., appliquées à ces mêmes points suivant des directions données. Dans ce cas, la direction de chaque force sera perpendiculaire à la surface que son point d'application est obligé de décrire eu vertu de Téquation L = o, lorsqu'on fixe tons les autres points du système. De plus, rîutensité d^une force F pourra être choisie arbitrairement, mais les intensités de toutes les autres forces dépendront nécessairement de l'intensité de la première.

Pour appliquer ces principes a un exemple, concevons que le système donné se compose seulement de deux points A, A' sollicités par les forces P, P', et liés par une droite A A' de longueur invariable; auquel cas l'équation L = o sera de la forme

(x— ar')»4-(7--y)» -4-(*— a')»= coDSUnle.

Alors si Ton vient à fixer le point A', le point A ne pourra plus se mouvoir que sur la surface d*une sphère décrite du point A' comme centre avec AA' pour rayon; par suite, pour que le point A demeure en repos, la force P devra être perpendiculaire à la surface de la sphère, et par conséquent dirigée suivant le rayon AA', ou suivant son prolongement. Comme on peut faire uu raisonnement semblable à Tégard de la force P'^ il est permis de conclure que, dans le cas d'équilibre, chacune des forces P, P agira suivant la droite AA' prolongée dans un sens ou dans un autre. De plus, afin que la tendaoce de cette droite au mouvement reste la même dans les deux sens, il sera évidemment nécessaire que les deux forces P et V aient les mêmes intensités et agissent en sens contraires. Réciproquement, si les forces P, P sont égales et agissent en sens contraires, suivant la droite A A', il est clair qu'elles se feront équilibre aux extrémités de cette ligne. I. i8

148. Revenons maintenant au cas où plusieurs points A, A, A''^, . • . , se trouvent assujettis à une liaison repré* sentée par Téquation L = o. Soient toujours x, j^, z^ a/, y, js', • . . les coordonnées de ces points, P, P, P",.les forces qui leur sont appliquées, et désignons par X,Y, Z, X', Y', Z', etc., les projections algébriques des forces P, F, P'',.,. sur les axes des jc, des j' et des z. Chaque force devant être perpendiculaire à la surface que son point d'application doit décrire, en vertu de la liaison L = o, lorsque tous les autres points deviennent fixes, od aura nécessairement

\di) \lfy) \di)

\dx') \dy) \dz')

et par suite

dx dy dz

X, X\ etc., désignant des coefficients dont le premier dépendra de rintensîté de la force P, le second de l'intensité de P', etc. De plus, comme l'intensité de la force P est une quantité arbitraire, mais de laquelle dépendent nécessairement les intensités des forces P, F^, • . .^ il est clair qu'on pourra choisir à volonté la valeur du coefficient X, mais que la valeur de a étant donnée, celles de X', X'',. . . devront s'en déduire immédiatement. Pourdécouvrir-Ja relation qui existe entre X' et X, supposons que

ÉQUILIBRE d'un SYSTÈME A LIAISONS QUELCONQUES. 2^5

tons les points deviennent fixes, à Texception des deux points A et A'-, alors ces deux points restant seuls mobiles^ si la liaison L = o a pour effet de les maintenir constamment à la même distance l'un de l'autre, il faudra que les fi>rce8 P, P soient égales et dirigées en sens contraires, ou, en d'autres termes, que Ton ait

Or, dans la même hypothèse, Téqualion L = o se réduisant k la forme

(a: — j:')» -h ( j — / )» -h (« — »')» = consunte , on en conclura

dL dL dL dL

d£ ~ dx' df^ dy'

dL dL dz' "" dz '

te, les formules (3) donneront

dL dL

dx dy

dz

X'= V'^^, Y'= V^^, dx dy

Z'= X'''^, dz

et les valeurs de X, Y, Z, X', Y', Z', vérifieront les équations (4) s> ^^^^ A

Supposons maintenant que dans le cas où les points A, A' restent seuls mobiles, la liaison L = o n'oblige plus ces deux points i rester constamment à la même distance Fun de l'autre, on pourra joindre à la liaison L = o celles qu'on établit entre les deux points, en les unissant par une droite invariable, et fixant le milieu de cette droite. Cela posé, si Ton désigne par /?, ^, c les coordonnées du point milieu et par D la longueur de la droite, on aura

ay6 STATIQUE.

entre les six variables x, j, z^ ^\y^i «' •«* cinq éqaalioiis

L = 0, .r-+-jt'==2ii, j-h/=aA, z-4-î'=ar,

dont la dernière peui être remplacée par la suivante :

En vertu de ces équations au nombre de cinq, les positions des points A, A' ne seront pas complètement déterminées ; mais ces points devront décrire deux courbes correspondantes tracées sur la surface d'une même sphère, de manière à se trouver situées aux extrémités d'un même diamètre; et sur ces courbes, les cordes correspondantes, et par suite les tangentes menées par des points correspondants, seront évidemment parallèles. Si Von suppose

la courbe décrite par le point A en particulier sera déterminée par le système des deux équations

/(x, j, 3, 2û — x, 2A — ^, ar — «,...) = o,

De plus, si Ton décompose la force P en deux autres, Tune perpendiculaire i la courbe que peut décrire le point A, Tautre dirigée suivant la tangente à cette courbe, la force perpendiculaire étant incapable de produire aucun effet, on pourra en faire abstraction, et ne considérer que la force dirigée suivant la tangente. On pourra de même remplacer la force P' par sa composante suivant la tangente à la courbe que peut décrire le point A^ Cela posé, comme les points A, A' sont situés à Textrémité

ÉQUILIBRE d'un SYSTÈME ▲ LIAISONS QUELCONQUES, inn

d'une même droite invariable dont le milieu est fixe, et que les tangentes menées par ces points aux courbes qu'ils peuvent décrire sont parallèles, il est clair que les forces dirigées suivant ces tangentes, pour maintenir en équilibre les points A, A', doivent être égales et agir dans le même sens; ce qui exige que les forces P, F respectivement multipliées par les cosinus des angles que forment leurs directions avec la direction de Tune des tangentes prolongée dans un sens déterminé, fournissent des produits ^aux et de même signe. Or la tangente à la courbe que peut décrire le point A, prolongée dans un certain sens, forme avec les axes des angles qui ont pour cosinus

dx dy dz

• ^dx^-h df^-hdz^ ^dx^ -+- dy^ -f- dz^ * s\dx^ -f- dy'^ -f. dz" *

tandis que les cosinus des angles formés avec les mêmes axes par les directions des forces P, V sont respective* ment

par suite, les cosinus dés angles compris entre la direct tion de la tangente et celles des forces P, F seront respectivement égaux, le premier à

el le second à

XV/3?H-r^7-hZVig P' yjdx'' 4- df 4- dz^ '

En multipliatit. le premier par P, le second par F, et éga^

lant les produits, on trouvera

Xfùn -f- Ydj 4- Zdz yjdx -h Tdy -4- Z'dz

^dx^ -h df^ H- dt^ ydz^ 4- dj'^ •+- dz^

X^-h Ydx H- Z<fa = X'<ir -H"Y'4^ -k-Z'dz.

Si dans cette dernière éqaation on remet pour X, Y, Z, X', Y', Z' leurs valeurs tirées des formules (3), elle deviendra

^\dh^ dh ^ dL^Ï .,\dh^ dL , dL ,

D'ailleurs, en différentiant la première des équations (7), on en conclut

dL . dL^ dh ^ dh ^ dh ^ dh , -dx^-dy^-dz^-dx^^dr^-dz-,

donc, par suite, on aura généralement

On trouvera de même X = ï!'^ X = X"', . , , . Cela posé, les équations (3) prendront la forme

et Ton en conclura

i—\ (ik\ (^\ (gj , \^/ W/ W^J

Vr^x'j V/j [dzO Donc, pour quil y ait équilibre entre les forces P, Pî

ÉQUILIBRE d'uM SYSTÈME A LIAISONS QUELCONQUES. ^79

P^, . . ., dans le cas où leurs points d'application A, A', A",. • . se trouvent assujettis à la seule liaison L = o, il est nécessaire et il suffit que les projections algébriques de des forces sur les axes des coordonnées soient res* pectivement proportionnelles aux dérivées de la fonction L, prises par rapport aux variables x^ y^ z, x^, y\ z\* , , , Alors, si Ton désigne par n le nombre des points A, A', A^^-,.. , la formule (9) fournira 'in — i équations distinctes, qui seront précisément les équations d'équilibre. Ajoutons que les résistances opposées par la liaison L = o aux mouvements des points A, A', A"^, ...

seront employées à détruire les forces P, P, P', Donc

ces résistances seront égales et directement opposées aux forces dont il s'agit. Donc les projections algébriques de ces résistances sur les axes coordonnés seront respectivement égales aux seconds membres des équations (8) prises avec le signe — , c'est-à-dire aux quantités

, , r/L dL dL dh ilL rlL

119. Pour montrer une application des principes que nous venons d'établir, supposons qu'en vertu de l'équation L = o la somme des distances AA', A' A", A" A'",. • •> respectivement comprises entre les points A, A\ A'V . . , rangés dans un certain ordre, doive demeurer constante. Dans cetle hypothèse, Téquation L = o pourra être re* . présentée sous la forme

-f- ^(x'' — x')»-h(y'— y)«-f. (2" — 2')» -H . . . = constante ; et si Ton fait, pour abréger,

28o STATIQUE.

la formule (9) deviendra

ff t' f'

En égalant les trois premières fractions entre elles, on trouve

JT— JT y — y z — »

et l'on en conclut que dans le cas [d'équilibre la force P est nécessairement dirigée suivant la droite AA'. En galant les trois fractions suivantes, on trouve

et comme on a nécessairement ou devra avoir évidemment

ÉQUILIBRE D^UN SYSTEME A LIAISONS QUELCONQUES. tkSl

OU, ce qui revient au même,

X' jf'^ — jt' Y' /'—y Z' «''-.»'

Cette dernière équation exprime que la force P' forme avec les deux droites ÂA', A' A'' des angles égaux. De plus, comme en prenant pour plan des xy celui qui renferme ces deux lignes, on a 2=10, z'=:o, z" = o,..., et par conséquent Z' = o, il est clair que la direction de la force P est comprise dans le plan de ces mêmes droites , elle est donc dirigée de manière â diviser Tangle des droites AA', A'A'' en deux parties égales.

On se trouverait conduit aux mêmes conclusions par la géométrie, en observant que la force P' doit être perpendiculaire à la surface que le point A' est obligé de décrire quand il demeure seul mobile. En effet, dans cette hypothèse, il ne reste de variable que les longueurs A A', A'A'^, dont la somme doit être constante. Le point A' décrit donc alors un ellipsoïde de révolution dont les points fixes A^ A''' sont précisément les deux foyers; et la force P^ devant être normale à Tellipsoïde, et par conséquent à Tell ipse génératrice, divisera nécessairement Tangle formé par les rayons vecteurs menés aux foyers en deux parties égales.,

ISO. Considérons actuellement desforces P, P^, P'', . . . dont les points d* application A, A', A", . . . soient assujettis k des liaisons quelconques. Soient toujours x, j", 2, x', j'j z\. , , les coordonnées de ces points-, X, Y, Z, X', Y', Z' , ... les projections algébriques des forces P, P', . . . sur les axes coordonnés , et supposons que les diverses liaisons soient exprimées par les équations

(11) L=:0, M = 0, NrrrO,...,

aSa STATIQUE.

L^ M,N, . . . désignant des fonctions des variables x^y^ z. x\y\ r'. ... Si l'équilibre a lieu en vertu des liaisons données entre les forces P, P', P", , . . , on pourra, sans troubler cet équilibre, substituer à la première liaison L = o le système des résistances qu elle oppose au mouvement des différents points^ c'est*à-dire un système de forces dont les projections algébriques sur les axes seraient (n^ 118) des quantités de la forme

rZr dy d%

On pourra ensuite supprimer la seconde liaison, pourvu qu'on la remplace par un systèmeéquivalent de forces dont les projections algébriques sur les axes seraient de la forme

^M ^M JM ^M dVi

En continuant de même, on finira par supprimer toutes les liaisons dont chacune se trouvera remplacée par le système des résistances qu*elle oppose au mouvement des différents points. Alors ces points étant devenus libres et indépendants les uns des autres, il devra y avoir séparément équilibre entre la force et les résistances appli* quées à chacun d'eux. Or, Téquilibre entre la force et les résistances appliquées au point A fournira les équations

^ ^ d\. d\l rfN

^^ , rfL rfM rfN

dy ' dy dy

,, , r/L rfM ^N

dz ^ dz dz

ÉQUILIBRE d'v» SYSTÈME À LIAISONS QUELCONQUES. ^83

OU, ce qui revient au même,

dh </M <fN

x = :^-7:H-fx

dx dx dx

, „ ^ dh //M rfN

('") i ^^^dj^'^d^^-^'dp-^'"'

^ ^dh dM dm

dz ^ d% d%

On trouvera pareillement, en considérant Féqullibre des forces appliquées au point A',

^, , dh dtà dfi

__ rfL dM c/N

^, ^rfL rfM . dîi

^ ^^dF^^d^^'d?-^ •' \

Si n désigne le nombre des points A, A', A'',« . . et m le nombre des liaisons L=o, M = o, N=:o,..., Zn sera le nombre des équations (i a), ( i a'), . . . , et lorsqu'on aura éliminé entre ces équations X, (a, v, . . . il restera 3 /» — m équations d'équilibre. Les variables Xyj, z , x\y\ z',. . . étant elles-mêmes au nombre de 3 /i et liées par ni équations, 3/} — m sera aussi le nombre des variables indé* pendantes.

Les 3 n — m équations indiquées, nécessaires dans le cas d'équilibre, suffisent évidemment pour Tassurer. En effet ces 3/1 — m équations expriment qu'on peut satisfaire simultanément par des valeurs convenables de X, |ui, v,. . . aux formules ( ta), ( la^) . . . . Or, dans cette hypothèse, la force P pourra être remplacée par des forces P{, P» , . . » dont les projections sur les axes soient respectivement

. rfL , r/L ^dV f/M rfM rfM

'^' ^rfT' ^^' ^T^' ^^' ^Tz'^"

a84 STATIQUE.

la force P^ par des forces F/ , F„, ... . dont les projections algébriques sur les axes soient respectivement

^dL .dL ^dh </M dfA dM

^d?' ^^' ^;^' ^d?' ^df' ^M'""

En conséquence, au système des forces P, P'^... on pourra en substituer plusieurs autres, savoir : i^ le système des forces P^^ P< v * • V^^ seront détruites par la liaison L = o ; a° le système des forces P„, F^,, . . • qui seront détruites par la liaison M = o, etc. Donc le système des points A, A',. • • sera dans le même cas que s^l n'était sollicité par aucune force. Donc il y aura équilibre.

121. La recherche des équations d'équilibre de plusieurs forces P, P', P'^, . . . dont les points d'application (x,jr, z)y {x\y, zf)^. . . sont assujettis à des liaisons représentées par les équations L=:o, M=o, • . . peut être réduite, comme on Ta vu précédemment, à Télimination des inconnues X, |ul, v,... entre les équations (la), (la^).... Or un moyen fort simple d'effectuer cette élimination est de recourir à la considération des vitesses virtuelles.

Lorsqu'un point matériel se meut sur un plan ou dans Tespace, les coordonnées x, jr, z ainsi que Tare s de la courbe décrite varient avec le temps t\ et si Ton suppose cet arc compté de manière à prendre un accroissement positif A5, dans le cas où l'on attribue au temps t un accroissement positif At, la limite vers laquelle convergera le rapport — 9 tandis que ses deux termes convergent

vers zéro, ou, ce qui revient au même, le rapport entre' les accroissements infiniment petits et simultanés de l'arc s et du temps t^ sera ce qu^on nomme la vitesse du point matériel à la fin du temps /. Donc si Ton désigne

par <ù cette vitesse, on aura

d> ^fl.T^-hày -hfh^ '^ fit Tti

De plus la direction de cette vitesse ne sera autre chose que la direction de la tangente menée par rextrémité de l'arc 5 à la courbe décrite, prolongée dans le sens du mouvement; d'où il résulte que les cosinus des angles ff, 6, y, formés par cette direction avec les demi-axes des coordonnées positives seront représentés par

dx ^ dy dz

cosa=: -T-» cos6=-r» coS7=-r-ds ds ' ds

Cela posé, si Ton imagine que la vitesse &> soit représentée par une longueur portée sur sa direction à partir de Textrémité de Tare 5, les trois produits

ucosa, fticosS, UC0S7,

exprimeront ce qu'on doit appeler les projections algébriques delà vitesse sur les axes dcsx^y, z^ et se trouveront déterminées par les équations

dx ^ dr dz

wCOSa=:-7-ï wCOS6 = — T-> wCOS7=--dt dt ' dt