Rëciproquement, si réquaiion (i 5) subsiste dans

un mouvement virtnel quelconque, il est certain qu'il y

aura équilibre. En effet, dans cette hypothèse, Téqua-

tion (i5) sera satisfaite par tout système de valeurs des

quantités

dx dy dz dx^

dt dt^ dt^ dt '

qui seront propres à vérifier les équations ( 1 4 )• P^i" suite, si au moyen de ces équations (i4) on élimine de la formule (i5) m de ces quantités, toutes les autres pouvant être choisies arbitrairement^ leurs coefficients devront se réduire à zéro. Or, pour effectuer l'élimination, il suffira d^ajouter k la formule (i5) les équations (i4) respective* ment multipliées par des facteurs indéterminés

et d'égaler ensuite à zéro les m premiers coefficients de

dx df dz dx' dt dt dt dt '

Les facteurs ^, /x, v, . . . étant choisis de manière à remplir ces conditions, cVst-à-dire de manière à faire disparaître les m premiers termes de Téquation

\ dx dx ilx J dt

(^ ^ dL dM dH \ dr

\ tiy ^ dy dy ) dt

(^ . dL rfM d^ \ dz

1^, ^ d-L r/M r/N \ dx' \ dx' ^ d£ dx' 1 dt 4- = o,

les coefficients des Zn — m derniers termes devront être encore séparément nuls. En conséquence, on pourra réduire à zéro les coefficients de tous les termes, c'est-à-dire

satisfaire aux équalious (i^)t (i^)- • • ^u ii*' ISO, par des valeurs convenables des facieurs X, |ui, v, . . . D'où il résulte qu^il y aura équilibre dans le système des points

1S4. Dans ce qui précède, nous avons admis que les résistances opposées aux mouvements des divers points par les liaisons établies entre eux pouvaient croître indéfiniment, et au delà de toute limite. Concevons maintenant que ces résistances ne puissent dépasser certaines limites sans que les liaisons se trouvent rompues; alors il ne suffira plus pour Téquilibre que Ton puisse déterminer les coefficients X^ fi, v^ . . . de manière à vérifier les équations (12), (12'),. . . dun^MSO, il faudra encore que les valeurs de X, |ui, V, . . . , tirées de ces équations cl substituées dans les produits

fournissent des nombres dont les racines carrées ne dépassent pas les limites des résistances que la première, la deuxième, la troisième,... liaison peuvent opposer sans se rompre au mouvement du premier point. Il sera de même nécessaire que les racines carrées des produits

ne dépassent pas les limites des résistances que les diver-

ses liaîsous peuvent opposer au mouveiuent du deuxième point, et ainsi de suite.

125. On nous saura gré de donner de Vëquation fondamentale du principe des vitesses virtuelles une démonstration^ sinon plus générale, plus élégante et plus simple que celle donnée par Cauchy, et que nous venons de développer longuement, du moins plus directe, moins abstraite, et à ce point de vue plus élémentaire. Nous l'avons rédigée sur les indications qui nous furent données par Ampère, k qui la gloire en revient.

Définitions, — Soient P, P', P', . . . des forces appliquées à des points M, M', M'^... liés entre eux d'une manière quelconque; supposons que l'on communique à ce système de points un mouvement infiniment petit et compatible avec la liaison du système, de manière que les points M, M', M",..., soient transportés en N, N', N",... : les droites infiniment petites MN, M'N', M"W, ..., décrites par les points M, M', M'^, . . . , sont ce qu'on nomme les- 'vitesses virtuelles de ces points. Les projections /i, p', //, ... des droites MN, M'N', WN\ . . . , sur les directions des forces P, P, P", . . . , sont les vitesses virtuelles des points M, M', M'^, . . . estimées suivant les directions de ces forces. Enfin, en multipliant respectivement les forces P, P', P'', . . . par les projections p , //, />", . . . , on forme les produits P/>, P'/?', F'p",... qui sont ce qu'on nomme les moments virtuels des forces P, I^, P'', . . .. Ainsi, le moment virtuel d* une force P est le produit lie cette force par la vitesse virtuelle de son point d application estimée suiv^ant la direction de lajorce.

Si Ton nomme ds\^ petit arc MN parcouru par le point d'application de la force P, (P, s) Tangle de la force avec la tangente à ce petit arc, p sera égal à dsco& (P, 5), et le

moment virtuel Pp de la force P sera Pfls cos (P, j). Mais I. 19

apO ST4TIQI7E.

P cos (P^s) est aussi la projection de la force P sur la tangente à Tare 5, ou sur la direction de la vitesse virtuelle, donc le moment virtuel Vp (Tune force est encore égal au ptyyduitdela vitesse virtuelle de son point d'application par la projection de la force sur la direction de cette vitesse. 11 s'agit maintenant de prouver que lorsque des forces P, P, P',..., appliquées à des points M, M', M'', . . . liés entre eux d'une manière quelconque se font équilibre, la somme de leurs moments virtuels P/?, P^//, Vp"^.., est nulle) et, réciproquement, que les forces P, P, P'^... sont en équilibre lorsque la somme de leurs moments virtuels est nulle pour tous les mouvements que le système peut prendre.

126. Considérons d'abord le cas de deux points M, M' liés entre eux de telle sorte que le mouvement de Tun des points détermine celui de l'autre ^ désignons par P, P les résultantes des forces appliquées à chacun des points; nous disons que si les deux forces se font équilibre, la somme Vp + V p' sera nulle. En effet, unissons les points M, M' par des droites inflexibles AM, AM', à un troisième point A, qu'ils entraînerontdans leurs mouvements; appliquons aux points A, M d'une part, A, M' de l'autre, suivant les droites AM, AM', deux forces égales et directement opposées + R, — R, -4- R', — R' : ces forces, évidemment, ne troubleront pas Téquilibre, s'il existait, et ne changeront rien à la somme des moments virtuels, puisque les moments virtuels égaux et opposés des forces introduites se détruisent. Si donc la somme des moments virtuels était nulle avant l'introduction des forces, elle le sera encore; et si elle est nulle après l'introduction des forces, c'est qu'elle l'était auparavant. Comme les forces introduites sont arbitraires, on pourra choisir la force R de manière à faire équilibre à la force P, et la force R' de manière à équilibrer la force V \ or, ce choix fait, il

PamCIPE DES TITBSSES VIRTUELLES. 2g l

devient très-facile de prouver que la somme des moments virtuels des six forces, et par conséquent la somme des moments virtuels des deux forces P, V! est nulle. En effet, appelons r, t' les angles que les forces P, P^ font avec les tangentes aux arcs décrits par les mobiles M, M'; t, r' les angles que font avec ces mêmes tangentes les forces auxiliaires R et R^; enfin, 9, ff les angles que font les forces — R^ — R' avec la tangente à l'arc suivi par le point mobile auxiliaire A. Pour que la force R fasse équilibre à la force P, il faudra et il suffira que la résultante de ces deux forces soit perpendiculaire à la courbe décrite par le mobile M, ou, ce qui revient au même, que la composante de cette résultante suivant la tangente soit nulle, ou enfin que la somme Pcos/ -f- Rcosr soit nulle; on devra donc avoir

Pcos/-h ROOST = o.

On aura de même pour l'équilibre des deux forces P' et R'

P' cos/' -h R' cos r' = o, et enfin pour Téquilibre des deux forces — R, — R'

Rcos© + R'cosô' = o.

Ajoutons ces trois équations, après les avoir respectivement multipliées par les différentielles ds^ d/^ da des arcs décrits par les mobfles M, M', A ^ il viendra

^ j P*cos/-+-P'<i>'cos/'H-R(cost£/^-f- cos9i/<t) 1 -+• R' {cmr'd/ 4- cosô'rfff) =0;

mais les droites MA, M'A sont invariables; et^ par consécfueni, si Ton appelle x^ y, «, a/^ y\ z\ Ç, >3, Ç les coordonnées des points M, M', A, et c, d deux quantités constantes, on aura

(x-.Ç/-h(/-«)'+(z-Ç)»=cS

et, en différentiant,

(a:—i)idx-^di)-hir^n){dr'^dr.yh(z-K){dz-^di:)=o,

OU, ce qui revient au lùème,

\ c ds c ds c ds)

\ c ao" c dd c dfr ]

fx^^ijdx' y^r^dy zf^ï^dz'x

\ c' ds'^ d ds!^ e d^)

-4- dfs I — — -\ — ■— H -— __ = o.

\ r tfff e dd c do)

Mais on a évidemment

\ c ds c ds c ds I

-^\</ ds'~*~ </ 'dP^~ë~d7r

\ C an c dtr c dd j

~\ c^ dd^ t>' dd^ c' dd)