COST
ces
cos donc
± (cos rds -h cos Qdd) = o , db ( cosr'^i!/ H- cos O'rfff ) = o, ou enfin
cosTd>4- cos Bdd = o,
cosT'd/-!- cos B'dd = o, et, par conséquent, en remontant à l'équation (i6),
. Pr/fcosr-h P'd!f'cosr'=:o,
PRINCIPE DES VITESSES YIRTl' ELLES. 7yi
et, parce que
Pdscostz^Fpy P' di cos i' = P'/;' , OD aara nécessairement dans le cas d*équilîbre
127. Réciproquement, si Féquation Pp-hl?'p'=o est satisfaite, il y aura équilibre. En effet, si l'on a
Pp H- P'p' = o, ou Fds cos/ -h P'fi/y cos/'= o,
et si, après avoir lié les points M et M^ par des droites invariables AM, AM' on applique encore aux points M et M' quatre forces R, — R, R', — R' égales deux à deux et opposées, choisies de manière à mettre en équilibre les forces P et P', on aura toujours
Pcos/ + Rco8T = o, Fcos/'-h R'cost'= o.
Et si , après avoir posé
Rcose H-R'cosO'= A,
on ajoute ces trois équations après avoir multiplié la première par dis, la seconde par ds'y la troisième par da^ ou aura
P«/*cos/ -h Fi/y cos r' + R (cosTiif -h cos ôi<r)
-h ïi'(CMT'd/ -h COSG'Jff) = Âdv,
Mais Tinvariabilité des droites AM , AM' entraînera toujours les équations
cosrds '^co/^Bd<f = Oi cos'r'</f' + cosO'^9:= o;
on a d'ailleurs, par hypothèse,
Pcosre&+ P'cost'ds'z^ o;
donc
Atiç = o,
«t, par suite,
rfff = o, ou X- = R cos 9 -h R' cos 0' = o.
Mais, d^uue pari, r/a, Tare que A est censé décrire, ne peut pas être nul, ou la somme A: des composantes des forces qui sollicitent le point A suivant la tangente à la courbe qu*il décrit, ne peut pas s'évanouir sans que ce point soit en équilibre; de l'autre, Téqnilibre du point A entraioe évidemment celui des points M et M' qui lui sont liés invariablement et ne sont plus sollicités par aucune force: donc on ne peut pas avoir Pp H- V'p'= o sans que les forces qui sollicitent les points M et M 'se fassent équilibre.
1^. Plus généralement, soient: M, M', M'\... des points en nombre quelconque, liés entre eux d'une manière complète j c'est-à-dire telle, que le mouvement de l'un d'eux détermine celui de tous les autres et qu'il n'y ait pour tout le système qu'un seul mouvement possible; P, P', P'^, . . . , les forces appliquées à ces points ; s'il y a équilibre dans le système, la somme des moments virtuels
sera nulle. Cette proposition ayant été démontrée pour un système de deux points, il suffit de prouver que si elle est vraie pour m points, elle sera encore vraie pour m + 1 points. Cela posé, désignons par M , M', M^, . . m les (m -f- 1) points considérés, et par P, P', P", . . . , les forces qui agissent sur eux ; on pourra appliquer à l'un de ces points, à M', par exemple^ deux forces égales et opposées, R, — R, et déterminées de telle sorte, que Tune d'elles, R, fasse équilibre à la force P, appliquée en tm autre point M du système : il suffira pour cela que la somme P^ + Rrdes moments virtuels des deux forces P, R, soit nulle. On pourra alors supprimer les deux
PRIffCIPE DES VITB5SE8 VIRTUELLES. QpS
forces P, R et ne pi as tenir ttompte du point M *, ainsi il ne restera plus que les m points M\ IVF, • . . , soumis à Taction des (m -f- 1) forces, — R, F, P', ... ; or la proposition étant supposée vraie pour m points, Téquilibre
donnera
— Rr+ Py -H P'y -h. . .= o;
mais on a aussi
Rr-HP;?=: O.
Ajoutant cette dernière équation k la précédente, ii en
résultera
Fp H- py + Fy -f.. . .= o.
Réciproquement, si Téquation
Fp -4- py -t- py^-- • • = o
est satisfaite, l'équilibre existera. La démonstration de cette proposition réciproque est entièrement semblable à celle qu'on a déjà donnée pour un système composé de deux points.
129. Enfin lorsque^ la liaison des points considérés M, M', M%... n'étant pas complète, le mouvement de Tun d'eux ne détermine plus celui de tous les autres , il faut encore, s'il y a équilibre, que la somme des moments virtuels Pp, F/;', . • • 5 soit nulle pour tous les mouvements que le système peut prendre. En effet, supposons qu'il y ait équilibre, et que, pour un certain mouvement, la somme des moments virtuels ne soit pas nulle. En rendant ce mouvement seul possible par de nouvelles liaisous, ou ne détruira pas l'équilibre préexistant; mais» puisque la liaison du système sera alors complète, l'équilibre ne pourra avoir lieu qu'autant que la somme des moments virtuels sera nulle ^ donc l'équation
{17) Fp -h py -H p'y + . . .= 2P/> = o
doit être satisfaite, lorsqu'il y a équilibre, quelles que soient les liaisons du système.
2Q6 SXATKjlJE.
Béijproqucmeiil, si la somme Pp -h P'/Z-h P"p" des monfien is viriuels est nulle pour tous les mouvements possibles, il y aura équilibre ; car si le mouvement avait lieu, on ne Tempécherait pas en liant les points de telle manière que ce mouvement fût seul possible; et il en résulterait que dans un système dont la liaison serait complète, la somme des moments virtuels pourrait être nulle sans qu il y eut équilibre, ce qui est contraire à ce qu'on a déjà démontré.
En résumé, quel que soit le système de points que Ton considère, on aura toutes les conditions de Téqtiilibre en égalant à zéro la somme des moments virtuels des forces pour tous les mouvements possibles ou compatibles avec les liaisons du système; c'est ce qu'il fallait prouver.
130. L'équation générale d'équilibre ou du principe des vitesses virtuelles n^ Iffî
prend une forme très-simple, lorsque l'intensité et la direction de la force qui agit sur chaque point sont seulement fonctions des coordonnées de ce point, et indépendantes des coordonnées des autres points. Désignons, en effet, par P la force dont X, Y, Z sont les composantes, qui agit sur l'un quelconque des points (x, j^, z) du système, et qui, par hypothèse, est fonction des seules coordonnées de ce point. Par tous les points de la ligne droite ou courbe que le point M décrirait sous l'influence des liaisons du système, menons une série de lignes représentant les directions successives de la force P, et construisons ou concevons une surface orthogonale ou normale a toutes ces directions. Appelons M {^g* 3o) le point dont il s'agit^ ou dont 1rs coordonnées sont x,y, z ; Ml une seconde position de ce point dont les
PRINCIPE DES. VITESSES VIRTUELLES. ap^
coordonnées sont a:+Ajr,^-rH A^, 2 + Az; m, m^ les poinls correspondants de la surface orthogonale, ;; la dislance M/n, p + Ap la distance Mi //i| ; menons par M^ un plan parallèle à la ligne //im, et soit N le point d'inlersection de ce plan avec celle des lignes P qui passe par le point M; Taugle M^NM sera un angle droit, et Ton
aura par conséquent cos M. MN = -7—- = — • D^ailleurs *^ ^ ' MM| As
les cosinus des angles que les lignes MN, MMi font
avec les trois axes coordonnés sont : pour la première
X Y Z , , ^x Ar As ,
TT^ Tc^ ;.' pour la seconde — ^ --^^ï — ; on aura donc P P P *^ As as As
aussi
cosM,MN = dz(-— -h
àS
Y Ar Z Az\
P aj ^p A#y'
par conséquent,
As "~\PA.f PA.V PA'/
et en passant aux limites,
X<te-hYûf^-+- Z<5& = ±P«//?.
Ce raisonnement et cette transformation s'appliquant évidemment à tous les points du système, Téquation générale d'équilibre deviendra
Si chaque longueur p, ou ce qu'on pourrait appeler le rayon de la surface orthogonale, est lui-même, comme P, une fonction des seules coordonnérs x, j^, 2, chaque pro^ duit Pdp et par suite la somme Zdb (Pdp) sera une différentielle exacte, et on pourra l'intégrer. C'est ce qui arrivera, par exemple, si chacune des forces du système émane d'un centre fixe et est fonction de la distance de son point d'application au centre fixe.
398 8TAT1QOB.
Dans ce cas, en effel, soient a^ b, c les coordonnées du centre fixe, d*oà émane la force P, r la distance du poiot d'application de la force P à ce centre, on aura
rdr=z (x — a)dx -k-(f — b) djr -^ (z — c)rf»,
Donc, en effet, si P est fonction de r, le binôme sera une différentielle exacte.
La même chose arrivera encore si les forces du système se réduisent à des attractions ou à des répulsions réciproques, fonctions de leurs distances mutuelles. Soient, en effet, x, ^, «, x\j\ z' les coordonnées de deux des points qui s'attirent ou se repoussent, r leur distance, et f (r) la fonction de r qui exprime l'intensité de Fatlraction ou de la répulsion ; si l'on a
X=f(r):^^-^', Yr=f(r)-L-Z!, Z = f (r)
on aura
et par suite
^dx-^Ydj -{-Zdz -h \'iLe' -hY' dy -hZ' dz' ^^[{x^x^){dT--dx')^(,Y^yXdx-dy)^{z^z')[dz^dz^)\
= ^^rdr=((r)dr, puisque
rdr= (*— x' ) (^ -/ùr') -*. [y-y )(dr-dy) -h (»— »'j(rf»-rfs');
PRINCIPE bES VITESSES VIRTUELLES. 299
Donc, en groupant les trinômes deux à deux, on les transforme en une différentielle exacte, et J'on aura évidemment
l[XdX'hYdx-\-Zdz)=zl((r)dr.
En général, lorsque la somme £ (X£{a:+T<^ + Zdz) est une différentielle exacte^ si nous représentons son in^ tégrale par U, U devra être une fonction des coordonnées x^jTj Zj, , .y dont les dérivées partielles seront
dV rfU„ dV„ dV^, ^U__.,
et Téquation générale d'équilibre ou du principe des vitesses virtuelles
l{\dx -h Ydy-^Zdt) = o, deviendra
/dV ^ dU ^ dV ,\
