L'équation

qui subsiste lorsqu'il y a équilibre pour tous les mouvements compatibles avec les liaisons du système, et qui renferme le principe des vitesses virtuelles, reprend trèsfacilement la forme sous laquelle ce même principe se

présente dans la démonstration d'Ampère. Soient ta = -j-

la vitesse virtuelle du point (j:,/, «), (P, w) l'angle com-

3oO 5TATIQUE.

pris entre la direction de cette vitesse et celle de la force P. Comme les cosinus des angles formés par les deux directions sont respectivement pour la vitesse

dx dx dt \ dx dy \ dy ds dt ds «•</(' ds (A dt

dz 1 dz ds M c//'

pour la force

on aura

-(f..)-ii(x^+vf

r.dz\

^ dx ^^dy ^dz ^ ,^ x

on trouverait de même, en désignant par a>' la vitesse virtuelle du point (x\y'^ z') ,

X'!?^ ^ Y' ^ 4-Z'^' =P'«'cos(P,«')»- • .»

dt dt dt V » /» »

et Téquation (iS) deviendra

(17) 2Pwcos(P,») = 2P/? = 0.

On appelle quelquefois tension d'une force la composante Pcos(P, (i>) de la force suivant la tangente à la courbe que son point d'application tend à décrire, et tra-uail virtuel de la force le produit P&> cos&i de la tension par la vitesse virtuelle. Le théorème renfermé dans Téquation P(k) cos (P, a>) peut alors s'énoncer comme il suit : pour que les forces qui agissent sur un système de points liés entre eux d'une manière quelconque se fassent équilibre , il faut que la somme de leurs travaux virtuels soit nulle dans tous les mouvements que le système peut prendre, ou qui sont compatibles avec ses liaisons.

PRINCIPE DES VITESSES VIRTUELLES. 30i

132. Si la somme des moments virtuels est nulle, c'est nécessairement parce que quelques-uns des moments virtuels sont positifs et les autres négatifs. Lorsque Tangle de la force avec la vitesse virtuelle est aigu, ou lorsque la composante de la force suivant la direction de la vitesse est dirigée dans le sens de la vitesse, le produit P cos (P, o)) et le moment virtuel Pco cos (P, co) sont positifs, la force P alors tend i produire cette vitesse, oh peut dire qu'elle joue le rôle de puissance. Au contraire, si rangle-(P, a») est obtus,si la composante est dirigée en sens contraire de la vitesse virtuelle, le produit Pcos (P, cd) et le moment virtuel P cocos (P, od) sont négatifs, la force tend à empêcher le point de se mouvoir et joue le rôle de résistance. Désignons par P les projections ou tensions des forces puissances, par /{ les projections on tensions des forces résistances, ces projections étant prises en valeur abso-

lue; appelons ;^' j- lc« vitesses virtuelles des points d'application des puissances et des résistances, Féquation des vitesses virtuelles pourra se mettre sous la forme

IP-Ç -— iR -r = o.

£Ù de

Il devient alors facile de prouver que si cette équation est satisfaite, l'équilibre aura nécessairement lieu. En effet, si quelques-uns des points du système, dont nous désignerons les vitesses virtuelles par y 9 avaient encore un mouvement, on pourrait les empêcher de se mouvoir, ou rétablir l'équilibre en introduisant des forces S d'intensité convenable, appliquées en sens contraire du mouvement; et puisqu' alors il y aurai t équilibre, on aurait

(il at dt

3oa sTATigvE.

ou bien, puisque par hypothèse 2P-~ — ^^T = ^»

Or, puisque tous les termes de la somme qui compose le premier membre sont de même signe et négatifs, chaque terme devra être séparément nul; c'est-à-dire

qu*on devra avoir généralement, soit 5= o, soit ^ = o^

mais par là même, et quelle que soit celle des deux hypothèses que 1 on adopte, le point auquel la force S est appliquée sera en repos; puisque «S =o signifierait qae pour le mettre en repos il suffit d'appliquer une force

ds nulle, et— = o exprimerait que sa vitesse est nulle. Donc

Téquation

^dp ^ tir

dt dt

entraine nécessairement l'équilibre du système, et nous retrouvons cette proposition fondamentale : Les' conditions d'équilibre d'un système quelconque de points dont les liaisons indépendantes du temps peui^ent être exprimées par des fonctions de leurs coordonnées , seront toutes données par la condition que In somme des moments ou travaux virtuels sera nulle dans tous les mou^ uements compatibles avec les liaisons du système.

PRINCIPE DES VITESSES VIRTUELLES. 3o3