TREIZIÈME LEÇON

ApplieatioDB dœ équations générales d*équilibre soua leun deui formes principales. — Applications des équations primitives. — Équilibre d*un point. — Équilibre d*un corps solide. — Équilibre d'un polygone funiculaire. — Forme d'équilibre de la chaînette. — Chatnelte des ponts suspendus. — Cordon sans pesanteur enroulé sur une surface. — Applications de réquation des vitesses Tirtuelles.— Nombre des équations d'équilibre. — Cas d'un corps solide.

133. La théorie que nous venons de développer est si importante) que nous croyons devoir nous étendre sur ses applications aux divers cas de la statique, et présenter ces applications «ous deux formes, en faisant servir à la recherche des conditions d'équilibre et les équations primitives avec les indéterminées i, fx, v,.*** que nous remplacerons pour plus de symétrie par Ai, Xf, Xg,..., et les équations transformées par la considération des vitesses virtuelles.

Premier cas. — * Équilibre itun point Mj. — Si le point est libre dans Fespace, Téquation L^ =: o est une équation identique 0 = 0, et Ton doit avoir nécessairement

X|Z=o, Y, = 0, Zi = o.

Si le point est assujetti à rester sur une surface dont réquation est L, =: o, on devra avoir

et les équations d'équilibre seront X, Y. 2, v^XÎ+Y:-I-Z?

et elles expriment, comme on le savait déjà, que la forco P, est normale à la surface L, = o.

Si le point est assujetti à rester à la fois sur deux surfaces Li = o, Lt = o, ces deux surfaces seront les liaisons du système; une seule des coordonnées reste indépendante ou arbitraire, il n'y aura plus qu^une équation d'équilibre, et cette équation sera

ou, en multipliant par -^»

as ils a$

et elle exprime que la direction de la force P| est située dans le plan normal k la courbe que le point mobile peut décrire.

134. Deuxième cas. — ÊqidUbre d*un corps solide, — Si tous les points du système sont liés inyariablement entre eux, les équations qui établissent les liaisons sont celles qui expriment que les distances mutuelles de trois des points du système sont invariables, et que les autres points sont toujours k la même distance des trois premiers. Soient (xi, ji, z^)^ (x,,j,, je,), (jr,, j,, z») les trois points auxquels on rapporte tous les autres, les 3/1 — 6 liaisons seront

L, = (x, — ar,)' -f- (/i — rO' 4- («. — *,;* — r' = o,

L, — (x, — Xyf -h (jr, —/s)' -h [z, — ZyY — r' = o, Ls = (^1 — ^^y 4- (r» — Ja)' -h (2, — «s)' — cj = o, L4 = (:r, — X,y -h {y^ — J«)* -h («1—^0' — ^\ = O»

Ls = (.r, — X4 )« + [y, -- ^4 )» 4- ( », - «4 )' — c; = o,

VRIHCIPE DBS VITESSES VIRTUELLES. 3o5

U^» = (^1 — j^«)' 4-{r. —XnY H- («. — 2«)' — c]^, = O,

L,„-m = (x, — j:„)' -*- CTs — r„)' + (zj — z„y — cj^^ = o.

On aura donc

X, = a>, (x, — X,) -h 2^( X, — Xj) -f- 2>4(x, — X4)

Y,= 2^,(^1 — rO -h 2^,(7,— j,) + 2X4(7, — Ji)

-h 2^, (ri — r») -!-•*. + 2>,„,g(7, — j«),

Z, = 2>,(a, — zO + 2>,(z, — Z3) -h 2X4(2, —z,}

X,= — ^.>i(x, —X,) -4- 2X,(Xj— Xaj-h 2>s(.ra--X4)

^ -♦-2X.(j:, — Xs)-h...-t-2X,„„,(*,— X,),

X, = — 2X,(X, Xi) — 2X3(Xj X3)-h 2X«(X8 — 3:4)

H- 2Xb(j?, — Xj ) -t- . . .4- 2).3«,(a:3 — x„)

X4 = — 2X4(x, — X,) — 9X(Xa—Xt) — 2Xfl(x3 — X4),

X„ = — 2X3„» (x, — Xn) — 2X3;>., (xj — x,) — 2X3^, (or, — xj,

Y, = — 2X3„^3(/, —y^) — ^l^^j{y, — 7„) — 2X3„«(/3 —rn), Z« = 2X3»,i(2, — «„) — 2X8„,(Z, — Zn) — 2X3«.(»j — «,).

Or si entre ces 3/t équations on élimine les 3/i — 6 indéterminées X|, Af, . . . , X,„,, on trouvera

X, -h X, 4- . . . -h X. = ZX = o, Yi + Y, -h . . . 4- T„ = 2 Y = o, Z, -f-Z,-h ..-hZ, = 2Z=o,

(Y.«, — Z.r.) -4- . . . -f (Y„z« — Z„r,) = 2(Yz-~Z7) = o, (Z.x, — X,z,)H-...-|-(Z„x„ — X„z«) = 2(Zx — Xz)=ro,

(X,7. — Y,x,)-h... + (x,r„— Y,r.)=3;(Xr-Yx) = o.

Telles sont donc les équations d'équilibre, et ce sont bien celles que nous avons déjà établies.

i35. Si l'un des points du système invariable est fixe, et qu^on le prenne pour origine des coordonnées, les '^n — 3 liaisons seront

L, = X, = o, Lj=j, =o,

Lj =: », = O,