Zx— X«)-|-2,2X

Ai= »

^ 2(Y5-Z/)-z,zY

Enfin la pression commune aux deux points (Xj ,/i , Zi)^ (X| , ^t , z^)le long de la ligne qui les unit ou le long de Taxe des z, est

^r ^1 -f- ^j -^ • • « ^n ^ïs 2/4*

137. Si le corps solide est â^ppuyë contre plusieurs plans ou contre plusieurs surfaces courbes, il ne pourra rester en équilibre qu'autant qu'aux points de contact la pression exercée par lui sera normale au plan ou à la surface. Si Top désigne par (a'. S', /), (afy &"^ /)•••» les angles que les normales au point de contact (^r!/^ ^)t (x!\y\ ^')9 . . . font avec les axes coordonnés, les trois composantes des pressions seront

Vcosa', *a'cos6', VCO87'; V cos a", V cosC^, V COS7'' . . . ,

X', X"..., étant des constantes indéterminées dont on choisi ra le signe de telle sorte que la pi*ession qu elles expriment ait pour elfet d^appuyer le corps contre la surface. On peut évidenfiment remplacer tes surfaces appuyantes par les pressions prises en signes loniraireset

PEUICIPE DBS TrrBSaBS VIRTUBLLES. 3ll

considérer de oouTeau le Bystème ciwnroc libre. Les conditions d'équilibre sont alors

SX— lVcosa' = o, 2T— 2Vcos6' = o, 2Z — 2Vc087' = O, 2(Y« — Zy) — tk'{z cos6' ^ jr cos7') = o, X(Zpp — Xs) — 2>'(;roos7' — icos«') es o, 2(Xy^Y«)-.2V(rcos«' — «cose'jaro.

S'il n*7 a qu'un seul plan appuyant, que nous prendrons pour plan des xjr^ on aura

C0S7' = cos7"s= I ; cosa' = cosa''...= cos6' = cosS'^.. . =t o ; et les équations d'équilibre deviendront

2(y»— Z7)=— 2Vj, Z(Za:X2)=:2V^, 2(Xj — Yx)=o.

Les indéterminées V, X'',.*-) <{ui expriment les pressions aux points de contact, doivent avoir le même signe, le signe positif si. le corps est si lue du côté des z négatifs, le signe négatif si le corps est situé du côté des z positifs. Dans la première hypothèse, les conditions d'équilibre sont d'abord que l'on ait

2X = o, 2Y = o, 2{X/ — Yd:) = 0}

en second lieu, que les valeurs de X', X^. . . , déterminées par les équations

2Z= tk'y Z[Yz — Zf) = — 2V J, 2(Zx — X«)= 2>'*,

soient toutes positives. Si le nombre des points d'appui est de plus de trois, ou si les trois points d'appui sont situés sur une même ligne droite, trois seulement des constantes V, ^"j"", dans le premier cas, deux seulement dans le second, sont déterminées par les équations qui précèdent; les autres resteront indéterminées ou arbitraires.

3ia STATIQUE.

1 38. Troisième cas. — Équilibre d'un système flexible. — Soient Ml Mt 9 MfMs, MsM^^..., (fig» 3i) des lignes droites de longueur invariable qui peuvent tourner librement autour de leurs extrémités, de manière à former un polygone flexible ou mobile autour de ses angles ; on applique aux points Mi , Mt , M^ . • . > des forces Pi , Ps , Ps . . . ^ et Ton demande les conditions de leur équilibre. Les liaisons sont ici

L, = (x, — x^y -f- (ri — rO' ■+- (»• — ^Y -- r\ = o.

Les composantes des forces Pi , Pt , . . . suivant les axes des coordonnées seront donc

Xj = — 2X,(:c, — jr,)+2X,(j:, — -3:3),

X||„i - — — 2 Am 2(X|,3 — ■ J?„| j -\r 2>||.| (Xm., — — Xn]t ^»-— 2An— I (X„| — X„),

Y, =2X,(ri — Ja)»

Y, = — 2X,(/, — jr,j4-2>,(r, — J3),

Zj = — 2X,(«, S3) 4- 2>3(«3 Zj),

Ai^ = — ^X„ . I («rt . , — z„).

Si entre ces 3 n équations on élimine les /t — i indéterminées Xi , X, , X3 , . . . , X„.] on obtient les 2 n +- i équations d'équilibre

X, 4-X,-H. . .-f-X, = SX = o, 2Y = o, 2Z = o,

■JPi

Ja

.-hY„.

Les trois premières équations expriment évidemment que les forces du système transportées en un même point de Tespace doivent se faire équilibre.

Les normales aux surfaces Lj=o, Lj=o,..., L„i=:o^ ou les tensions edectives le long des lignes ou côtés r, , /'i,... , r;i.i9 sont, d'après les principes déjà établis :

Au point (xj , yi , ^, ) suivant î^ ,

= 2X. r. == v/xyTYfTzy = T. , au point (Xf , y^ , z^) suivant r\y

= ^2>./-. = — v/x;-i-Y;-f-zî =-T..

au point (Xt,j^tf ^t) suivant /'s,

3l4 STATIQVE.

au point (x^^j^, z^) suivant r, ,

au point (X| , j^, 9 2») suivant r^ , J

au point (x„,jr„, z„) suivant r„^,, = — v^{X,+X,-h...-HX,-,)»4-(Y,-hY,4-...+Y»-,)»+(Z,-hZ,H-...-HZ,i-.|'

=-vx:+y:4.z:=-.t..

La tension T,„.i en un point quelconque de jonction des côtés ou en un sommet quelconque [x^,y^^ zjj du polygone, le long de la Dgne r,„^|, sera par conséquent la résultante de toutes les forces Pi, Pt,.-*) ^m-i transportées parallèlement à elles-mêmes au point {x^^y^^j z^)^ mais appliquées en sens contraire \ la tension T^ suivant r^ sera la résultante des forces Pj, Pt,-.., P». transportées parallèlement à elles-mêmes i ce même point (x^,^..! ^«)* Les tensions T,„ et T^^i exercées au point [x^^Jm^ *■•) auront donc toujours pour résultante la force P^, c està-dire que la force P„ sera en équilibre avec les tensions -T«et-T..

139. Désignons par^x,, 61, 7,, a,, ë^^ 7ii*'-% ^n-i^ 6„,, 7„.i les angles que les lignes /'i, /,,. . ., r„i font

I PRINCIPE DES VlTB9«iEa VIRTUELLES. 3l5

avec les axes coordonnes; on aura

jr, — «1 = r,cos«„ j, — j^, = r, ços6|, a, — *,:^ r, cos 7,, j, — X, = rscosoc,» ^, — /, =; r,cos6>y 2, — Z| = rjcosy,,

' Ces valeurs, substituées dans les équations des para-

graphes précédents, donnent

X| r= aXi ( j?, — «3) = 2^, r, cosai =:T, cosai ,

X,= — 2>, (x, — «,) 4- aXa (.r, — or,) = — T, COSa» +TaOOSa,,

X, = — aX, ( j?j — ^8 ) -+- 2>, ( j:, — X4 ) = — T, cosa,-|- T» cos «3,