COS7. -

Xi-f-Xj Xi -f- A.J

cos a, =

cos 6, =

T, v/{X. -+- X,)' 4- {Y,-hYO' -h (Z, -h Z,r'

Y,+Y. Y. -fY,

"" tT "" v/(X. 4- X,r-4- (Y. H- Y,;» 4- (Z. h- Z,)' '

X,=— (X,4-X3...-hX„), Y. =-(Y,4-Y3-f-...-+-Y,),

Z, = — (Z, -hZ,4....4-Z„).

L'ensemble de toutes ces équations suffit à déterminer les directions des lignes de jonction ou des côtés /'t , r,, . . . , r„i, ainsi que les forces Xj, Yi, Zi qui mesurent la résistance du point initial de la portion de polygone, quand les autres forces sont connues. Si Ton assigne en outre les longueurs des côtés et les coordonnées Xi, >i, «i du point initial, on déterminera les coordonnées des autres points à Taide des équations suivantes, qui sont une conséquence

PRINCIPE DES VITESSES VIRTUELLES. iiy

du principe des projections :

X2 = ^, — r, cosa,, 7, = j, — r, cos6„ 2, = z, ~ r, COS7,, x.v=jr,-— Ticosa, — r,cosaa, fi=jri — ''icosê, — rjCOsSj, Zj==.. ,

-r,=jr, — r,cosai — r^cosai — ... — /•/i-iCOSa;,.,, ^.=..., s^=..,.

Si les deux extrémités sont fixes ou si leurs coordonnées (^nji» ^1)1 (-^«9 Jî> ^f) sont données et constantes, les deux forces Pi, P„ appliquées à ces extrémités, ou leurs composantes Xi, Y|, Zi,X„, Y^, Z„ qui mesurent les résistances des deux extrémités fixes, devront être comptées parmi les inconnues du problème; on n'a plus a déterminer les inconnues x„,j^„, z„ qui sont alors données, mais elles sont remplacées par les trois inconnues X„, Y„, Z„. On a alors, toujours en vertu du principe que la projection algébrique de la somme est égale à la somme algé> brique des projections,

jr, — ^n = r, cosa, -f- r,cosa, -f- • • • -f-''ii-i cosa„, , ri — /#, = n cos6, -h r^ cosê, -h ... -H r^i cos6«, , 2, — z„ = r, COS7, -h rjCOS7, -h ... -h r^^ cosfn-i ,

et en substituant pour cosai, cos Si, cpsyi , cos^t, cosëi , . . . leurs valeurs, on a pour déterminer X,, Yj , Zi les équations

VXJ-hYÎH- ZJ VIX. -h X.)' -h (Y. -t- Y,y -h iZ. -h Z,;2

r,,(X, -hX.,-f- ..-f-X„,)

v/x;VY;+2f v'(x. -1- x,)'-+-(Y, + y,)' -<- (z, 4-z.)'

\/ix.7-+- . . . +x7Ii)'+(YH^7";"-hy^'",)>H-(Zi+ . • -hZ„-i)' ' ^' ^"'

3l8 StATIQVE.

V^Xy^YÏ+Z; v^(X,-f-X,VH-(T.-+-T0'4-(Z.4-Z,)*

r„.fZ^^^Z,-f-...-^Z^.) ^(X,-4- . . . +X.,)»-h(Y.-f- . . .•+-Y.,)'H-(Z,+ . . .H-Z^.)'

Xm , Y„, Z. , seront données par les équations

An ^ — [ X| -f- X| -+- . • . + X|»»| ),

Y« = — (Y. -hT,4-, . . 4-T^O.

les angles «i 9 êf, /i , «i ,. .., seront exprimés comme précédemment an moyen des forces Xf , Y| , Zi , X| , . . . .

Si le pol]^ne est fermé, il faudra faire dans les équations qui précèdent

et Ton en déduira les valeurs de X, , Y| , Z| , ainsi que les angles «i , S| , 71 , «i^ . . « yn^f Les composantes de la force exercée au point de jonction des lignes r^ et /*„ seront

X -hX*=: — {X, 4- X,-f-. . . H- X.^.), Y. 4- Y, = - (Y, -|-Y,H-. . . H- Y...), Z, 4-Z. = — (Z,-|-Z,+...H-Z..).

140. Si les directions de toutes les forces, à rexception de celles exercées aux deux extrémités du polygone, sont parallèles, et qu^on prenne pour axe des z une ligne parallèle à la direction commune, on aura

Xj = Xs = . . . = X,^i =0, Yj := Y, = . . . = Y,H-i = o. Ces valeurs, substituées dans les équations dn n^ 138,

PRINCIPE DES VITESSES VIRTUELLES. Sl^

ramènent les équations d'équilibre aux suivantes :

•^1 — ^t *3 — J"3 __ ^ ^n— I "*" ^m ___ Xi Xa

ji — rt "^ri - ^'3 r—i — r» "~ t;^ "" X'

Xi Zt -+- Zj

Xa — Xf Z% — ï, .

X, Z.+Z,-hZ,

J^j ^"^ ^4 Zj ■■■■ S4

X| Z| -f- Zj -ï- . • . -+- Zj|i

X, -+- X„ = o, Y, -f- T„ = o, Z, -h Z, H- . . . -h Z, = ov

Il résulte des premières équations que tous les points du système doivent être situés dans un même plan vertical» Si Ton prend ce plan pour plan des z.r, on aura

ri =r> = • • • = J"» = o> Y, = Y„ = o ; si Ton désigne en outre par 71 9 71 ^ • • • 9 7n-t « 1^^ angles que les lignes r^ , r, , . . . , r..i font avec l'axe des z, on aura

.ir, — X, =■ r, sin 71 , Xj — x^ = r, siny, , • . . ,

4r,^-, — «„ =r r,^,sîn7,^-„ z, -*- 2, =3 r, COS71 , 2j — Z3 =r r, COS79 . . . ,

Les équations d'équilibre deviendront alors

sin7i COS71 X, Z, -f- Z,

sin7, COS73

X, Z.-f-Za-f-Zs