SID73 COS

X| Z| ^— Zj •+• • . . -|— Z/,..|

Mn7«-, cos7,,

et si Ton se rappelle que lorsque deux fractions sont égales, elles sont aussi égales à la troisième fraction que Ton obtient en divisant la différence des numérateurs par la différence des dénominateurs, on aura

Al —

colyi col7a — coty, coty^— coty,

Zn— I Z,|

cot7,, — col7„, cot7„,

Si dans ces fractions on multiplie à la fois et respectivement les numérateurs et les dénominateurs par sinyï, sinyisinytj siuyjsinys,. . . , siny«, , on pourra donner aux équations d'équilibre celte nouvelle forme

V — T sjpyi __ sin7,siD7, __ sin7,8in7,

A| — ijy -z T- — £j2 — : — i^i —. — ; = ...

gjn /5 \ «°17'~7») sin(7,— 7,)

un g -7.)

« sin7n aSiD7»,i __^ sm7^,

sin 7„«a — 7„,

sin

>in(7.:,-^)

La tension T,„ en chacune des extrémités de Tud quelconque des côtés r„ sera (n^ 138) la résultante d'une force horizontale ±: X, et des forces verticales Zj, Z) , . . . , Z„ transportées à ces extrémités. On a ainsi

Tm=± v^Xf-h(Z.-hZ,-*-...-hZ«)'

V sm'7« sin7,

La composante horizontale de la tension sera donc partout égale à ±: X, = =h X„.

Si Tune des extrémités du polygone est fixée, c'est-àdire si .r, et z^ ont des valeurs fixes déterminées; si de plus les lignes de jonction ou les côtés /"i , r,,..., r„ ainsi

PRINCIPE DES VITESSES VIRTUELLES. 3a I

f{De les forces Zi , Zf ,..., Z„ , X,, sont données, les angles 7i > 7t VI 7ii 1 ainsi que les forces Xi el Zi qui représentent la résultante du point fixe, seront déterminées par les équations suivantes,

Xi = — \kf Z, = — (Z, -h Z, H-. . .Z„),

Art

coi7»«, = — i

Z» -|— Z,i,i -|— . . . -f- Z? Z| Zf

61 les coordonnées des points de jonction ou des sommets du polygone par les équations

jr, = 4r, — /-, siny,, 2i=2i — r, C0S7,,

j-, = «, — r, sin7, — r, sinY, , Zj = r, — r, cosy, — r, cosy, . . .

Si les deux extrémités du polygone sont fixes, si par conséquent x^, z^, a:„, z„ sont des quantités données, X, et Zi , X„ et Zii deviennent des grandeurs inconnues, représentant les pressions supportées parles deux points fixes, et Ton déterminera leurs valeurs parles équations

Xi -h X« = o, Z, -+- Z, -f- . . . -h Zfc = o, r.Xi ra(X, -hXa)

V/Xf+Yf s/XÎH-(Z.+Z,r

v^x; -h{z. +Za4- . . . -^^n^^y

Vx;-i-z; ^xî-i-(z,+z,)

r,,.(Z,-hZ3 + .. -hZ,.)

s/XÎ-4-(Z.-f-Z,4- ...-4-Z.«.)

3a 2 STATIQUE.

Les angles y, , yi,..., y„ el les cooinloniiécs des poînls de jonction seront d'ailleurs déterminés comme précédemment.

141. Si le système donné de points est un cordon parfaiiemcnt flexible, de poids uniforme et de longueur invariable, la courbe suivant laquelle il s'arrondit dans le cas d'équilibre, ses deux extrémités étant fixes, prend, comme nous l'avons déjà dît, le nom de chaînette.

Appelons s la longueur d'un arc de chaînette, k le poids de Tunité de longueur, Q l'angle que la tangente au point (x, z) fait avec Taxe des z, on aura

les équations d équilibre établies dans les numéros qui précèdent

Y __Z«sin7«,sin7„ sm(7«., — 7«) deviendront

Y -. /• sin' Ô €Ù

dô

cl l'on en tirera

^ si»'Ô X sinô

dz = cosQds = .

A' sin'O

Si Ton prend le point le plus bas de la chaînette pour

origine des coordonnées, on aura en ce point ô=-; et si

l'on intègre les équations qui précèdent par rapport à 9

depuis -jusqu'à ff, on aura

# =r — colG,

A* 2 X- \5mô /

On CD tirera encore

sinO=— ^-— , co90 = y ^ , ,

Xi -i- kz X, H- Az

9 iH-cosô X, -+- H'+- v/a^X.z-f-^'z»

COt - = r-T — = TZ

2 smO X|

X, -H ^« — VaAX.i -h X»z'

et par conséquent, en posant — = n,

et en passant aux nombres

et nous retrouvons Téquation de la chainette sous sa forme habituelle.

Si Ton désigne par T la tension au point quelconque (jT, z)^ puisque la composante horizontale de cette tension est partout égale à Xi, on aura

TsinOrrX., T=-^ = X.Vn-cot^Ô,

sm 0

et, parce que i= — col»,

U en résulte que la composante verticale de la tension est égale à ks^ comme on pouvait le conclure du n^ 140, c^est-à-dire qu'il est égal au poids de la portion du cordon comprise entre le point {^r^j) et le point le plus bas. Si Ton appelle p le rayon de courbure de la chainette au point (or, j^), on aura, comme on sait,

dz^ lïF

mais on a pour la chaînette

^ a dx

dx dz

et cndiflférentiant

ds dx d^x

dz dz df '

OU en substituant pour 5 sa valeur

ds dx^ d'x

mais

dx ds . ^

et, par suite,

dx ^ rr ' n ï * ^* ak ds ih dz dz dz T dz

on aura donc, en substituant cette valeur de -t->

a^k^d^ d*x ' \dz) V

ds*

et, par conséquent, p étant le rayon de courbure dé la chaînette, on aura

Au point le plus bas, 6 = -^ donc

f = fl = -7- et Xi = p ^' ,

c*e8t-a-dire que la tension horizontale de la chainette est égale au poids d'une portion de la courbe dont la longueur serait égale au rayon de courbure du point le plus bas.

Si, reprenant l'équation

»= — û -h ifl I c** -f-e • )♦ on développe les expouentiellea en série, on aura