X^ IX

Pour de très-petites valeurs de j7, c'est-à-dire tout près du sommet ou du point le plus bas, on aura

X = - — y X' = 2az,

3a6 STATIQUE.

Près de ce point la chaînette se confond donc avec une parabole dont le paramètre est a.

\ 42. Il est intéressant de chercher les conditions d'équilibre d'une chaînette liée à un pont horizontal qui lui est suspendu par des tirants verticaux très-rapprochés Tun de r autre. On peut communément négliger le poids de la chaîne et des tirants, et ne tenir compte que du poids beaacoup plus considérable du pont. Appelons k le poids d'une longueur du pont égale à Tunité, on aura

Si Ton substitue ces valeurs dans l'équation d'équilibre (nMiO)

T — 7 si"7i'»-tsi"7ii V

A.| — li^ , . - — — Au ,

on aura

ksin'O dx

JO

d'où, en posant toujours -rT = ^)

d^ j , ^ cotOrfO

dx='^a . ,-y dc = arcot9 = — a — r-rr- • sm^O sin'O

Si Ton prend pour origine des coordonnées le point le plus bas A (^g. 32) de la chaînette pour lequel 9 = -i

et que Ton intègre par rapport à Q depuis ~ jusqu'à 0,

on aura

X = fl cet 0 , z = - cet' 0 ,

et, en éliminant 9,

équation d'une parabole. Ainsi donc la chaînette d'un

PRINCIPE DES VITESSES VIRTUELLES. S'i^

pont suspendu, lorsqu'on néglige le poids de la chaîne et des tirants^ est une parabole dont le paramètre est a a. Soient Xiy 2|, — Xt, z^ les coordonnées des deux points de suspension; oi) pourra regarder r^, Z| et ^1 + ^1 comme des grandeurs connues, et Ton aura, pour déterminer les trois inconnues X| , x^ , Xi les trois équations

• . *i Al

/ étant la longueur du pont comprise entre les points de suspension. On trouve alors

JT»

ces équations serviront à déterminer les longueurs des tirants, la position du point le plus bas, et la compo* santé horizontale de la tension de la chaîne. La tension au point {Xy z) sera donnée par Téquation

sin ô

La composante verticale de la tension sera égale, comme on Ta déjà vu, au poids de la portion de chaîne comprise entre le point (x, z) et le point le plus bas de la chaîne.

143. Reprenons les formules des n®* 138 et 139 qui expriment les conditions d'équilibre d*un système quelconque de forces appliquées aux sommets d^un polygone funiculaire, et appliquons-les au cas où toutes les forces P, , P| , . . . , P„.i partagent en deux parties égales les angles (lu polygone. Puisqu^à chaque point ou sommet (^myy'm'i ^m) I» foicc P^ cst U résuluntc des deux leu-

SKins T^.f , T^, et qu'ici la force P., fait des angles égaux avec les deux cordons, on devra avoir

La tension sera donc la même à tous les sommets du polygone, et égale à celle que les deux forces égales P^ et P„ exercent k ses deux extrémités.

Si Ton désigne par a„ Tangle du polygone au point (x^jXmy ^m)) oïï aura, puisque P^ est la résultante des tensions T^ et T,»»i ,

P-, T, T„sin« I

«j — = , P«i = =r 2Ta, COS - qe.

Sina . 1 .1 2

8in -a sin — a

Si les deux côtés r„ et r„^i sont égaux, et qu on appelle pm le rayon du cercle qui passerait par le point (x^^y^^z^) et les deux sommets les plus voisins du polygone, à droite et à gauche, on aura

r„ = 2p«cos-a, et par suite P^ = =

144. Considérons encore le cas où les points de jonction, les sommets du polygone, sont assujettis à rester sur une surface dont Péquation serait L = o ; c'est comme une liaison nouvelle ou une nouvelle condition d'équilibre. Dans les équations déjà établies^ il faudra remplacer les composantes X^, Y«, Z« par les quantités

En outre des tensions subies par les côtés du polygone, cl qui ont la même valeur qu'auparavant, il faudra tenir compleen chaque point jrB.jj'rt,, z^ d'une pression nornlalc à la surface L = o. Si Ton désigne cette pression par N«, on aura

et, si l'on appelle «,„, A^, c^ les angles que la normale fîit

PaildCIPE DES VITESSES VIRTUELLES, ^29

avec les axes coordonnes,

cosaM =

cos6« =

V(D,.L)' + (D^.L)' + (D..Ly'

v/(D,^L)»4.(D,.Ly4-(D,,L)»

l,D,^L=N»,cosii^, ^«D,^L = N«cos^«, X,D,^L=N«cosi?«.

Il faudra donc dans les équations des n°* 139, 140, 141 , i^emplacer X„, , Y« , Z^ par

X« — N«cosa«, Y« — Nwcosiai, Z«— •Nwcosci».

Les mêmes modifications s'appliqueront au cas d'un cordon pesant, parfaitement flexible et de longueur invariable, qui serait assujetti à s'appuyer sur une surface L= o. Si Ton fait la substitution relative à X„ , Y^, Z„ dans les équations du n? 139, on aura pour les équations d'équilibre ;

Xi — N, cos<», =i T, cosQt, ,

Xj — NiCOSfla = — T,cosai -hTaCOSa,,

X3 — N3 coa ^s = — Ti cos a» +Ts ces a^ ,

X, — N„ cos fl, = — T»-., ces a„i ,

Y| — N| cos 6, s=:T|C086, ,

Yj — Na cos ^j = — T| cos 61 + Ta COS 6a ,

Yi — N3 COS ^3 = — TjCOsSa H- T3 COS 63 ,

Yn— N, COS Ô« =: — T^, COS 6^, ,

Z| — N, oos Cl = T| C0S7, ,

Za — Na COS Ca = — T| COS71 •+■ Tj COS^a, Zj N3 COS f , = — T2 cos 7a + Tj COS73 ,

Z„ — N„ cosr;,:=: — T„, ros7„l, .

33o STATIQUE.

On tire de ces équations

T«cosafl,=(X|-hX,-h. . . -f-X«) — (N,cosû,-»-...-+-N«cosa«'i, T«cos 6«=:(Y, -I- Y, -h . . . -f- Y») — (N, cos 6,-f-. .. +N,cos^«), T«cos7„=(Z, 4-Z,4-. . .-f-Z«) — (N.cosc, -+-... -h N„cosc,).

145. Pour trouver les équations d'équilibre d'une chaînette assujettie à reposer sur une surface donnée, il faudra dans les équations qui précèdent, en désignant par Al le poids de Tunité de longueur de la courbe, faire

X«=o, Ym=o, Z,=irftf,

dx dy dz

cosa« = — F cos€«=-~» cos7«=— î N,=:N4r,

N étant la pression supportée par une longueur de la courbe égale à Tunité, dans la supposition que cette pression est partout égale à celle qui s'exerce au point {x^j^ z). Les équations du numéi*o qui précède deviennent alors

T^=X,— /Ncosûi/i," T^=:Y.— /Ncosirfi,

ds "^ ds *'

T ^ = Z| + A /rfj -^flicoscds,

V — T ^' V — T ^•^' «7 — T ^*' dst dsx dsix

X|-f-X« — yNcosaW!r=o,

Y|-hY„~/Ncos*rfj=o,

Z, -f-Z„ — J"Ncoseds=o.

Diilérentiées par rapport à 5, les trois premières éciuations donnent

djdx ^^__j.. ^^ tILI — Ncos^

ds ils ds^ ' ds ds ds^

d'Tdz ,^d'z , ^^

—••7- 4-T-— - :r=:/— NcOSr.

as ds ds^

PRIHCIPE DES V1TB9SBS VIRTUELLES. 331

Si l'on niuliiplie respect! vement ces équations par

dx dr dz » i • ^ -^ ,

— > —-» —1 et qu on les ajoute en ayant égard aux équations

\di) ~^\dl) "^ W "^'^ ^J 'dF'^dJ'dP'^didF^^'

on aura

ds t àz -. f dr , djr dz\

-r- = A --- — NI COS a -7- 4- COS 6 H^ -H COS C "7 ) = o,

dt ds \ ds ds ds)

Mais puisque a, h^ csont les angles que la normale fait avec les axes, on a

dx dy dz

cosa -; — h C08 6 -r- -h cosc -p = o ,

ds ds d%

on aura donc

ds ds

Si Ton prend pour origine des coordonnées le point de la chaînette où la tangente est horizontale, et si Von appelle To la tension en ce point , Fintégraliou donnera

1 46. Si le cordon est sans pesanteur et étendu sur une surface courbe de forme telle que le (il puisse la suivre partout ou la toucher en tous ses points, il faudra dans les équations du paragraphe précédent faire A=o, ce qui donnera T = T» , c'est-à-dire que la tension sera la même en tous les points \ on a en outre •

33a STATIQUE.

dT et, parce que — = o,

T-— 4-NcoSflf = o, T-rr-hNcosô=o, T-r--hNcosc=o, ds^ ds* ds*

1Û^ ds^ __ ds*

cos a *^ cos b cos c

c'est-à-dire que le rayon de courbure coîacide avec la normale à la surface. On aura enfin, puisque

ces' a -+- cos' h -h cos'c = i ,

et, comme en appelant p le rayon de courbure de la courbe ,

il viendra

fd^xy (d^ry {dHy^

la pression normale N est donc inversement proportionnelle au rayon de courbure, ce qui s'accorde avec le résultat déjà obtenu n^ 143.

147. Nous nous arrêterons moins longtemps aux applications du principe ou de Téquation des vitesses virtuelles, parce qu'elles sont beaucoup plus connues.

Nous avons vu que pour un système donné de points matériels soumis à Paclion de certaines forces, le nombre des équations d'équilibre est nécessairement égal au nombre des variables indépendantes, c^est-à-dire au nombre des coordonnées variables dont il faudrait déterminer la valeur pour rendre chaque point entièrement fixe.

Considérons d'abord un point isolé : sMl est libre, SCS trois coordonnées pourront varîer indcpcndammeut

Tune de Tautre, il y aura donc trois équations d^équilibre. Si le point est assujetti à rester sur une surface, Tune des coordonnées sera fonction des deux autres , et le nombre des Yariables indépendantes se trouvant réduit alors à deux, il n'y aura plus que deux équations d'équilibre. Enfin si le point est assujetti a rester sur une courbe, deux coordonnées seront fonctions de la troisième, qui pourra être regardée comme seule variable indépendante, et il n'y aura qu^une équation d'équilibre.

Considérons encore un système de forme invariable, et du reste libre dans Tespace, on fixera tous ses points en en fixant trois pris à volonté. Les positions absolues de ces trois points dépendront de nepf coordonnées ou variables liées entre elles par trois équations de condition exprimant Tinvariabilité de leurs distances mutuelles. Il restera donc en tout six variables indépendantes, et, par suite, il n'y aura pour un système de forme invariable, mais libre dans Tespace, que six écpations d'équilibre.

Si Tun de ces trois points devient fixe, ses trois coordonnées deviennent constantes, les six variables indépendantes se réduisent à trois; par suite il n'existe que trois équations d'équilibre pour un .système de forme invariable assujetti à tourner autour d'un point fixe.

Enfin si le système est assujetti à tourner autour d'un axe fixe, il n'y aura plus qu'une seule variable indépendante, et par suite qu'une équation d'équilibre.

Après avoir déterminé quel est, pour un système donné, le nombre des équations d'équilibre nécessaires et suffisantes, nous allons montrer comment on peut déduire toutes ces équations du principe des vitesses virtuelles.

Lorsqu'on connaîtra un mouvement compatible avec les liaisons du système ou que le système puisse prendre, il suffira évidemment de calculer les valeurs particulières

334 8TATIQVE.

, ilx dy dz . . -Il

des composantes — > -^j ~9 des vitesses virtuelles relatives au mouvement en question, et de les substituer dans la formule

(i) 2{Xi/r-+-*Y^/-+-Zrfz) = o

pour obtenir une équation d'équilibre. Si donc Ton connaît d'avance autant de mouvements distincts compatibles avec les liaisons du système qu'il y a de variables indépendantes, on en déduira immédiatement toutes les équations d'équilibre dont on a besoin.

Le nombre de ces mouvements virtuels devra évidemment être 3n — m, si. n désigne le nombre des points donnés et m le nombre des liaisons auxquelles on les suppose assujettis.

148. Pour montrer une application de la formule (i), concevons que les liaisons établies entre différents points M, M', M",... permettent d'imprimer à ces mêmes points un mouvement commun de translation parallèlement à l'axe des x. Ce mouvement de translation sera un mouvement virtuel, dans lequel les vitesses virtuelles u, &>', (ù'\ . . . seront égales entre elles ; et si, pour fixer les idées, on suppose le mouvement dirigé dans le sens des x positifs, on aura évidemment

dx dT' (lr^__ dy df __ dy"

Tt-^'^'dr "*' lî'"Tt~~dF ""'

dz dz^dz^ di~~ dt 'dî ' *

par suite 9 la formule (i)« donnera

et comme, par hypothèse , la vitesse commune o) n'est pas nulle 9 on tirera de l'équation (2).

De même, si un mouvement commun de translation ^ en vertu duquel les différents points acquerraieut simultanément des vilesses égales et parallèles à Taxe des j^, ou à Taxe des z, est virtuel, c'est-à-dire compatible avec les liaisons données, la formule (i) entraînera Téquation

ou la suivante

Concevons maintenant que, «ans troubler les liaisons établies, on puisse imprimer au système des points A', A"^ A"', ..• un mouvement général de rotation autour de Taxe Aes x\ et supposons, pour fixer les idées, que ce mouvement soit direct : la courbe décrite par le point {Xyy^ ^), dans le mouvement virtuel dont il s^agit, sera un cercle dont nous désignerons le rayon par r, et dont les équations seront

(6) * = consunte, *» +/' = r*.

Or, si Ion différentie ces équations par rapport au temps,

on trouvera

, . dx Hy dz

D'ailleurs, dans un mouvement de rotation direct autour de l'axe des x, le point (a:, y^ z) sera porté du côié des z positifs ou du côté des z négatifs, suivant que l'ordonnée j^ sera elle-même positive ou négative, et parconséquent le coefficient différentiel -7 sera une quantité

de même signe que j. Cela posé, on tirera de la seconde équation (7)

336 stÀTiQtjfe.

Ajoutons que si Ton nomme 5, 5', . . . les arcs de cercle décrits par les difterents points à la fin du temps t \ r, r',... les rayons de ces mêmes cercles, et A^^ As',. . . les accroissements infiniment petits que prennent les arcs 5, s'^. . , pendant l'instant Af, on aura évidemment

^s As* 1 As I as'

r r' ' r At / M

.et par suite

I (is I ds'

ou plus simplement

donc les vitesses virtuelles des différents points seront proportionnelles aux rayons des cercles décrits. Si Ton appelle u la vitesse du point situé «à Tunité de distance, pour lequel r = i, h sera la vitesse an§;ulaire du sys- • tème, et Ton aura

(10) to = «r, »' = «/•', »"=:«/•",.. .

Cela posé, les équations (7) et (8) donneront dx dy dz

on trouvera pareillement

dy dy , dz'

puis on tirera de la formule (1)

[(jï-2Y)-+-(r'Z'.-z'Y')-H...J«=^o, et comrae^ par hypothèse, la quantité a n'est pas nulle,

PRIBCIPE DES TITE5SBS VIRTUELLES. 33^

on trouvera déGnid vendent *

De même, si un mouvement général de rotation en vertu duquel chacun des points M, M', M",.--» décrirait autour de Taxe des j- ou des z un arc de cercle proportionnel à sa distance à cet axe élftit virtuel, C*est-à-dire compatible avec les liaisons données, la formule (i) entraînerait l'équation

(12) (sX — xZ) -^ (s'X'— x"l) + . . . = 2(Xz — Zx) = o,

OU la suivante

(i3) (xY— rX)4-(x'Y'~j'X') + ... = 2(Y^-Xj) = o.

Les équations d'équilibre ainsi trouvées, (3), (4), (5), (il), (la), (i3) sont précisément, comme on devait s^y attendre, celles qu'on obtient en égalant à zéro les soipmes des projections algébriques des forces P, P, P",. . ., ou de leurs moments linéaires sur les aices des x, ^, z. Ajoutons que chacune des sommes ainsi calculées coïncide avec Tune des projections algébriques de la force principale ou du moment linéaire principal*

149. lorsque les points M, M', M'', • . . , composent un système invariable de forme, mais entièrement libre dans l'espace, les six mouvements généraux de translation pa* rallèlement aux axes coordonnés et de rotation autour db cesaxes sont compatibles avecles liaisons dece système. Par saife la formule (i) entraine les six équations (3), (4), (5), (il), (12), (i*3). D'ailleurs, dans la même hypothèse, celles desyariablesa:,^, *,x', j', z', x",y, z",x"',y", z"',..., que l'on peut considérer comme indépendantes, se réduisent évidemment à six. En effet, puisqu'on suppose les points M, M^ M'^, . . ., liés invariablement les uns aux ï. 22

338 9TÂT1QUE.

a&tres, la position de chacun d'eux sera coinpléleineul déterminée dans Fespace, si Ton connaît la position des trois premiers, c'est-à-dire les coordonnées x^ y^ z^ •^^ y\ ^\ ^"i j\ ^"' De plus les trois points M, M', W étant liés eux-mêmes par trois droites invariables, les neuf coordonnées dont il s'agit seront assujetties à trois équations de condition, en vertu desquelles trois de ces coordonnées deviendront fonction des six autres. Donc il n'y aura eilectivement que six variables indépendantes^ et les six équations qu'on obtient en égalant à zéro les sommes des projections algébriques des forces données ou de leurs moments linéaires sur les axes des x^jy z suffiront pour assurer l'équilibre. En d'autres termes, il suffira pour l'équilibre que la force principale et le moment linéaire principal s'évanouissent: ce que nous savions déjà.

Si un système invariable de forme était retenu par un point fixe, les mouvements de translation dirigés parallèlement aux axes cesseraient d'être des mouvements virtuels, puisqu'ils ne pourraient avoir lieu sans rompre les liaisons établies. Mais, en prenant le point fixe pour origine des coordonnées, on pourrait encore imprimer au système des points M, M\ M",. . «, un mouvement de rotation autour de l'un quelconque des axes coordonnés. Par suite, la formule (*]) entraînerait toujours les trois équations (ii), (i2),(i3)^ et ces équations,dont le nombre serait précisément égal à celui -des yariablcs indépendantes, suffiraient pour assurer l'équilibre.

Si le système iuTariable était retenu par deux points fixes, un mouvement virtuel ne pourrait être qu'un mouvement de rotation autour de l'axe fixe passant par ces deux points, et la formule (i) ne fournirait plus qu'une seule équation d'équilibre relative à ce mouvement vir* tuel. Si l'on prenait l'axe fixe. pour axe des 2, l'équation unique d'équilibre serait celle qu'on obtient en ajoutant

les projcclions algébriques des moments linéaires des forces sur cet axe, et égalant la somme à zéro, c'est«>àdire TëquatioD (t3). Il est d'ailleurs facile de voir qu'il n'existe dans le cas présent qu'une seule variable indépendante.

Si le système invariable pouvait recevoir, non-seulement un mouvement de rotation autour de l'axe des z^ mats encore un mouvement de translation parallèlement k cet axe, ces deux mouvements virtuels fourniraient les équations (5) et (i3), qui suffiraient pour assurer l'équilibre i^

Enfin si les points renfermés dans le plan des ay sont assujettis à n^en jamais sortir, le mouvement de rotation autour de Taxe des z et les mouvements de translation dirigés parallèlement aux axes des x^ y fourniront pour le système invariable trois équations d'équilibre, savoir les formules (3), (4)) (>*^)* Comme dans la même hypothèse le nombre des variables indépendantes sera égal à trois, les équations dont il s'agit suffiront pour exprimer les conditions d'équilibre.

Les conséquences que nous venons de déduire du principe des vitesses virtuelles s'accordent donc évidemment avec les résultats auxquels nous étions déjà parvenus par la considération directe des projections algébriques des forces et de leurs moments linéaires.

150. Concevons maintenant que les points M, M', M'' étant assujettis à des liaisons quel'conques , les forces P, P', P' qui sollicitent ces mêmes points, se réduisent à des poids. Admettons en outre que Taxe des x soit vertical et que les .r positives se comptent dans le sens de la pesanteur, on aura dans ce cas

34o STATIQUE.

et la formule (i) donnera

(Ix dx' dx"

(l4) p:if-KP'î^-hP"~--|-...=rO.

^ ^' (U dt dt

D'ailleurs si Ton nomme \ Tabscisse du centre des forces parallèles P, P', P'^ respectivement appliquées aax points M, M', M'^. . ., c'est-à-dire, en d'autres termes, l'abscisse du centre de gravité du système, ou aura

et par snite

^ dx ^ (br? ,^ ^, , #/ Ç

P^-^hF -7- -4-...= P-f-P'-l-.. -/• di dt ^ ' dt

Donc la formule (i4) pourra être réduite à

Or il résulte de cette dernière équation que dans tout mouvement compatible avec les liaisons du système, la vitesse virtuelle du centre de gravité, étant projetée sur l'axe des x, donnera une projection nulle. Donc pour qu'il y ait équilibre entre différents poids, il est nécessaire et il suffit que dans cbaquc mouvement virtuel la direction primitive de la vitesse du centre de gravité soit horizontale, ou, ce qui revient au même, que l'ordonnée du centre de gravité soit un maximum ou un minimum.

151. Nous avons vu que dans le cas ou toutes les forces du système sont soit des attractions ou des répulsions émanant d'un centre fixe, soit des attractions ou des répulsions maténelies exercées entre les divers points du système, la somme 2 (Xdx -f-Yr/^-hZrfz) était la différentielle //U d'une fonction U des coordonnées de ces

PRimCIPE DES VITESSES VIETVELLES. 34 1

points; comme dans le cas d'équilibre on doil avoir

on devra avoir aussi

(16) dV = o,

et il résulte de cette dernière équation que Téquilibre correspond à une valeur maximum ou minimum de la fonction U. Mais il y a entre le maximum et le minimum de cette fonction une différence essentielle sur laquelle il importe d'appeler Tatteution.

On dit que l'équilibre d'un corps ou d'un système de points est stable lorsque, eji écartant tant soit peu les points de leur position d'équilibre, ils tendent à y revenir. . On ditau contraire que l'équilibre, est instable^ lorsque écartés de leurs positions d'équilibre les points non-seulement ne tendent pas à y revenir, mais tendent à s'en écarter de plus en plus, de sorte que le corps finisse par chavirer. Enfin l'équilibre est indifférent^ le corps est asiatique^ si , lorsqu'on écarte les points de leurs positions d'équilibre, ils ne tendent ni à y revenir, ni à s^en éloigner davantage. Cela posé, les équations fournies par le principe des vitesses virtuelles, ou, ce qui est la même chose, par la condition du maximum ou du minimum de la fonction U, sont communes aux deux états d'équilibre; mais le maximum convient à la stabilité et le minimum à l'instabilité, comme on le prouve en dynamique par le calcul des variations. Dans le cas de la pesanteur ou des corps pesants, Tordonnée du centre de gravité est, comme on l'a vu plus haut, la quantité qui devra être un maximum ou un minimum lorsque le système sera en équilibre, et réciproquement \ de plus, le maximum de l'ordonnée répondra au cas de l'équilibre stable, son minimum à l'équilibre instable ou instantané. En résumé, la condition d'équilibre

34^ STiLTIQDfl.

d'un système quelconque de corps pesants oonsûte en ce que le cenure de gravité du système entier soit le plus bas ou le plus haut possible : s*îl est le plus bas possible, Féquilibre est stable ^ s'il est le plus haut possible, Téqui* libre est instable. En d'autres termes, si, quand on écarte infiniment peu le corps de sa position d'équilibre, le centre de gravité monte, l'équilibre est stable, le corps y reviendra ; si le centre de gravité descend, Féquilibre est instable, le corps s'en écartera de plus en plus ; si le centre de gravité ne monte ni ne descend, le corps restera dans la seconde position qu'on lui a donnée, il est asiatique.

152. Appliquons enfin le principe des vitesses virtuelles au cas où des forces invariables de direction comme d'intensité, et toujours appliquées aux mêmes points, agissent sur un système de points assujetti à des liaisons quelconques et mobile dans l'espace. L'équation générale d'équilibre

devra encore être vérifiée pour tous les mouvements pos* sibles du système. Mais puisque dans tous ces mouvements les forces exercent leur action avec les mêmes intensités et dans les mêmes directions, X, Y, Z peuvent être regardées comme des constantes, la somme sous le signe £ s'intègre immédiatement, on a

telle est donc ici la fonction qui dans le cas d'équilibre devra être un maximum ou un minimum.

Si toutes les forces sont parallèles, qu'on prenne la direction commune pour axe des x, et qu'on admette que la force centrale du syslème n est pas nulle, on a

FHINCIPE DES VITESSES VIUTUELLES. 343

el£X;r est la qaantilé qui dans le cas d^équilibre doit être un maximum ou un minimum. Mais comme eu appelant l l'ordonnée du centre des forces parallèles on a

^ = Tx •

^ devra être a son tour un maximum ou un minimum; c'est-à-dire que dans Vétat d'équilibre dun système sou» mis à des forces parallèles^ le centre de ces forces pon rallèles, compté à partir. d'un plan perpendiculaire à la direction des forces^ ileura être le plus bas ou le plus haut possible ^ c'est ce qui a lieu^ par exemple^ pour la chainette.

Si toutes les forces sont parallèles à un même plan, au plan des xj par exemple, on aura Z = Of et, sous la condition que la force centrale ne sera pas nulle, U = 2 (Xx -+- Y^) devra être un maximum ou un minimum. Si Ton projette toutes les forces sur le plan des xy^ et qu'on appelle Xo, Jo les coordonnées du point central des projections dans ce plan, on aura (n^ 99)

'^•"" (2;X)»-h(sy)» '

lY(2X;g-H;Yj)— 2X(2Xj'-lYx) •^•"" (2X)»-4-(2Y)»

Si.maintenant on choisît le système des coordonnées de telle sorte que l'axe des x devienne parallèle à la direction de la forée principale ou centrale du système,

» = v^(ZX)*-h(ZY)», on aura

,Y=o, ..= — j3r^^=ix'

et puisque dans le cas d'équilibre U doit être maximum ou minimum, il en sera de même de x^. Ainsi dans le cas

344 STÂTlQUe.

d^ équilibre de plusieurs forces parallèles à un plan y la distance du point central des projections des forces sur ce plan à un second plan invariable perperidicU" laire à la direction de la force principale, défera être un maximum ou un minimum.

Continuons de prendre pour axe des x une ligne pa* rallèle à la direction de la force principale, que nous sup* posons n'éire pas nulle, et désignons par x^^y^ les coordonnées du point central des forces projetées sur le plan des 3cy\ puisque %Y = o, R = SX, ou aura

Si Ton appelle x\^ z\ les coordonnées du point central des forces projetées sur le plan des zx^ on aura de même

Z(Xx-hZ«) , ï(X? — îx)

Désignons enfin par x\^ y\^ z\ les coordonnées du point central de toutes les composantes des forces données parallèles à la résultante principale R, on aura

. 2Xa:

et, par suite,

U = 2:(Xjr-+-Y^--+-Zz)=R(^a-4-x, -u.;) = Rx,, '

Xi étant Tabsciase du point central de trois forces égales et* parallèles appliquées aux points (xo, y^, o), (x\y o, 2 J, (x\^ y\^ z\)^ les deux premières dans le même sens, la (roisième en sens contraire. 11 eu résulte que la dislance de ce point central à un plan perpendiculaire à la difaction de la force principale sera, dans le cas d'éifui" libre, un maximum ou un minimum.

Comme on a

'^ di fit

on en conclut que si Ton applique la force principale du système au point central dont Tabscisse est x^ le moment virtuel Je cette force centrale sera égal à la somme des moments virtuels des forces données, et sera nul comme elle dans le cas d'équilibre.

QUATORZIÈUË LEÇON.

Du changement de coordonnées dans les questions de mécanique. — Transformation des coordonnées rectilignes et rectangulaires en coordonnées rectilignes et rectangulaires — Expressions dÎTorses qui ne Tarient pas dans le passage d'un système à Tautre. — Paramètres différentiels du premier et du second ordre. — Conditions que doit remplir une fonction de deux on trois coordonnées rectangulaires pour dcTcnir indépendante de la direction des coordonnées. — Expression du paramètre du second ordre en coordonnées polaires. — Coordonnées cnrrilignes de M. Lamé. — FoncUons-de-point. — Conditions d'orthogonalité. — Constance des paramètres. — Lignes et rayons de courbure des surfaces orthogonales.

153. Soient x, y y z les coordonnées rectilignes d*un point M relatives à trois axes rectangulaires; x\ y\ z' ce que deviennent ces coordonnées quand on fait tourner d^une manière quelconque le système de ces trois axes autour de Torigine; (a, i, c), (fl', V^ </), {al\ b^^d^y les cosinus des angles que les nouveaux axes font avec les anciens; et par conséquent (a, a', a"), (i, b\ V)^ (c, </, d') les cosinus des angles que les anciens axes font avec les nouveaux; on aura

X* ^ ax •\- hy -h c» ,

(i) ^ X = ax' -h fl'y-f- a** z\

x=bj/ •^by^b'^z',

z =1 ex' -^ c'y -H c"z',

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