CHANGEMENT DE COORDONNÉES
ei les neuf cosinus seront liés entre eux par les équations
ac -hfl'r' -l-«"c"=o, ^c H" b'c' -H ^»"c''= o,
flfl' -h ^^' H- ce' = o, aa" -f- *^" -h ce" = o,
«'û"-h^'6"-hc'c"=:0.
134. Si l'on nomme (xi,j^i, z.), {x\^j\^ z\) les coordonnées d'un nouveau point Mf relatives au premier et au second système des coordonnées, on aura
x\ = axt -f- 6j, -h «, , et par suite
Jonc la transformation des coordonnées n altère point la valeur de la somme xx' -hjy'-h zz\ Et en effet cette somme représente le produit des rayons vecteurs menés de l'origine aux points M, Mi par le cosinus de rangle que ces rayons vecteurs comprennent entre eux, quantité indépendante de la direction des axes coordonnés.
155. Soit maintenant F une fonction quelconque des coordonnées primitives x, j', z-^ si Ton passe du cas
OÙ ces coordonnées sont prises pour variables indépen* dentés au cas où l'on prend pour variables indépendantes les coordonnées x\ y\ z\ on aura, en vertu des équations qui lient les anciennes coordonnées aux nouvelles :
D^F = a D,F 4- b D^F 4- c D,F = (a D, -f- h D,-|- c D,)F, DyF =a'D,F-^ 6'D^F-hc'D,F = (fl'D,4- A' D^4- c'D,)P, DyF =fl''D,F-+-^''PyF4- ^D,F= (fl''D,-i-^''Dy-+-c*D.)F.
Réciproquement, on aura
D,F = flDyF H- a'D/F -+- ii"D,/F =r (nD^-f- «'D/ -f <i''D^)F, D^F=^D^FH-^'DyF-h^^D..F=(ôD^+^'D/-i-rDy)F, D,F = cD^F + c'D/F-+-</'D^F = (cD;/-hc'Dy4-c''D./)F,
et Ton en conclura
(D^F)> H- (DyF)» -h (D,/F)" = (D,F)« -h (D^F)» ^ (D.F)'.
On peut écrire plus simplement ces équations sous la forme symbolique
Dj|/ = fl D, H- ô D^ -h c D», D/ = fl'Dx H- ^'D^ H- c/ D,, Dy = «''D, -h h^T^y -h c" D.,
D, = /i D,/ •+• fl'D/ -h a" D/,
D, =cDxfH"r'D/H-c"D^,
(D,0*-l-(Dy)«-|-(D,0*=(D,)'-+-(D,)'4-(DO'.
Donc <ian5 les transformations des coordonnées rectangulaires, les relations gui existent entre les anciennes coordonnées x^j y z et les nouvelles x\ y, »', existent pareillement entre les caractéristiques D,, D^, D., D,/, Dy, D.', qui indiquent des différentiations effectuées par rapport aux coordonnées anciennes et nouvelles^ considérées tour à tour comme variables indépendantes.
CHANGEMENT DJS GOORDONl^ÉES. 349
Si l'on dtfférentie respectivement par rapport à x*^j\ zMes équations qui donnent D^F, D^'F,D./F en fonction de D,F, D^F, D.F, en tenant compte du principe qu on peut intervertir Tordre des diiTéreuti allons, on aura
D^, F = aD,DyF -h bD^ly^Y + cD,D^F, D^F = fl'D,D^F + ^'D^DyF -+- ^I>,DyF, D]. F == u'^D.D,/ F 4- h" D^ D,/ F 4- c'' D, D/F ; ajoutant membre à membre, il viendra
D^,F+D*,FH-D;.F = D,(flDyF-ha'D^F4-û''D,/F)
H-p^(^D^F-+-*'DyF-f-rD,.F)H-D,(rDyF-4.c'D/F4-r"D,/F),
et en substituant aux trois trinômes du second membre leurs valeurs D;fF, D^F, D,F,
ou simplement, en négligeant F et ramenant IVquatîon à la forme symbolique,
Donc si une fonction des trois coordonnées rectangulaires X, y y z est différentiée deux fois de suite par rapport à chacune de ces coordonnées^ la somme des carrés des trois dérivées du premier ordre et la somme des trois déris^ces du second ordre ^ cest-à-dire les deux sommes
offriront des Dateurs indépendantes de la direction des axes coordonnés. La racine carrée du premier trinôme et le second trinôme sont ce que M. Lamé appelle les paramètres diflTérentiels du premier el du second ordre de
35o «TOUQUE.
la fonction F, et qu'il désigne par les caractéristiques Aij ùfj que nous reinplacerous par A^^^ A^*^
156. Des équations qui expriment x, ,y,, z\ en x, , y,, 2i et Dy , Dy , D^ en fonction de D,, D^ , D., on lii-c
r, D^F-hy,DyF-hz. D,/F = j:, D,F-hr. D^F -h 2, D,F;
donc une transformation des coordonnées rectangulaires n'altérera pas le produit symbolique,
L'équation précédente subsistera encore, si en nommant toujours Xj jTy z ofi x\ y\ z^ les coordonnées du point M, on désigne celles du point Mj, non plus par Xi, y^^ z,, ou a/, , y, , <, mais par x -4- x» , j 4.^, , z-^-z, ou x'-Hx, , ^'-f^y,, «'-hV, . Alors si AFest Taccroissement que reçoit la fonction F quand on passe du point M au point Mi , on aura, en vertu du théorème de Tajlor ramené à une forme symbolique
p^ ^p^*,0,-+.r,IV-+-*.D, p__ ^*, 0*'-+-./, Dj'-h*. Dir'p
:r,1)x4-r,DrH-t, Di X, D*'-+-y|Dr'-h«',D«'
Donc la caractéristique A, considérée successivement comme fonction des caractéristiques Dj^ , D^, D,, D^, Dy, D,/, sera représentée tour à tour par les deux expressions symboliques qui précèdent^ et pour passer de la première expression à la seconde, il suffira de chercher ce que devient la première quand on opère la transformation des coordonnées: nous avons d'ailleurs prouvé que le trinôme exposant de e ne change pas de valeur dans le passage d'un syslème à Tautre.
Ces formules s'étendent évidemment au cas particulier où Ton passerait d'un premier système de cooixlonnées au
CHANGEMENT DE COOKDOMNÉES. 35 1
second) en faisant tourner, seulement dans leur plan les axes des x et des j- autour de Taxe des z\ alors c, c* se* raient nuls, ainsi que a"^ b^\et les équations qui lient x\ y h Xy jr et réciproquement, pourraient s'écrire comme il suit:
x' = JTCOSa -hj^sinot, /'=/cosa — ;rsina, X =x'cosa — j^sîna, j^ =rj'co8 a H-.c' sin a,
x" H- 7'> = x» H- jS x' j/,-+-/j', = jtj:, 4-/r.,
D^ = cosa Dx -f- sin a D^. , Dy= cosaD^ — sina D, , Df = cosa Ds' — sina Dy, Dj = cosa D^/ -4- sina Dy ,
(D^)'-f-(Dy)' = (D,)'-+.(D^)', D^-hD; = D^ + D;.
157. Ces préliminaires posés, on déterminera sans peine les conditions que doit remplir une fonction de deux ou de trois coordonnées rectangulaires, pour devenir indépendante de la direction des axes coordonnés. Il suffira pour cela de prendre pour point de départ une proposition évidente par elle-même et dont voici Téiioncé.
Lemme. — Si une équation entre plusieurs variables indépendantes .r, y, z, et plusieurs paramètres ou constantes arbitraires a, &, c,..., doit subsister quelles que soient les valeurs réelles attribuées à ces variables et à ces paramètres, elle continuera de subsister, quelles que soient les variables x, j)^, z,. . ., quand on établira des relations entre ces variables et les paramètres a, &, c,..., en transformant ces paramètres ou quelques-uns d'entre eux en fonction de x, j^, z. On conçoit, en effet, qu'une équation qui se vérifie indépendamment des valeurs attribuées à diverses quantités, subsiste par cela même dans le cas où Ton établit entre ces quantités des relations quelconques. Cette proposition entraine le théorème suivant :
Tbéorèmb I. — Soient or, y, z plusieurs variables in* dépendantes, tx x\y\ z\. . ,^ des fonctions qai, renfer^ mant avec ces variables certains paramètres a, £, c,..., se réduisent à x, j-, z, . . . pour des valeurs particulières de ces paramètres^ puis, supposons que des relations convenables établies entre les paramètres a, by c, et les variables indépendantes a:,j^, z,. . . puissent faire évanouir toutes les fonctions x\y\ «',..., à Texception d'une seule, de x^ par exemple, en réduisant celle-ci à une fonction déterminée R de x, j", £,•••; si l'expression f(x\y^ -»',.••) considérée comme fonction de x^y^ «f..., conserve la même forme, quelles que soient les valeurs attribuées aux paramètres a, i, c, . . ., en sorte que Féquation
soit identique, on aura encore identiquement
Cela posé, les différents points de l'espace étant rapportes à trois axes rectangulaires x, j^ z, considérons Tun des points auxquels appartiennent les deux coordonnées x, y^ et concevons que Ton fasse tourner les axes des Xyj autour de l'axe des z \ les deux coordonnées x, ^ se trouveront remplacées par' deux coordonnées nouvelles x\j' liées aux premières par deux équations linéaires et de la forme
.r' =r x cosa 4-ysina, j'rrr/cosa — xsina;
pour qu^une expression de la formey( j/, y ) devienne indépendante de la direction des axes mobiles, il faudra que Ton ait constamment
on
fixcosa H- jsina, jcosa — xsin a) =/(x, y),
CHAlfGEMElIT DE COORDONNÉES. 353
quelles que soient les valeurs non-s3uIement de x et de /, mais encore de l^angle oe. D^ailleurs pour faire évanouir^', il suffira d^aduiettre entre a, x et y^ la relalioti exprimée parTéquation
y cos a — JT sin a = o, d^où l'on lire
cos a sin a . i , i^
donc, lorsque Ton aura, quel que soit jr, j,
on aura aussi
et, par suite,
On arrive ainsi au théorème suivant :
Théorème II. — Pour qu^uue fonction y (x, j) de deux coordonnées x, j' d*un même point M, relatives à deux axes rectangulaires, conserve la même valeur, tan« disque l'on fait varier les coordonnées, non eu changeant la position du point M, mais en faisant tourner les deux axes dans leur plan autour de Torigine, il est nécessaire que f{^^ y) se réduise à une fonction du rayon /• mené de Torigine à la projection du point donné M sur le plan des xy^ et même à une fonction de r qui ne varie pas quand on y remplace r par — r.
On démontrera encore facilement le théorème qui précède en substituant aux coordonnées rectangulaires X, jr on xf, y deux coordonnées polaires r, a ou r', 14', dont la première r serait toujours le rayon vecteur mené de Forigine à la projection, la seconde u ou n désignant
l'angle formé par ce rayon vecteur avec le demî-^axe des x ou des X* positives. Alors, en eflet, on aurait entre Xy y et i\ M ou a/, j^ et r', li les équations
x = rcostt| j = r5in«, .r' = rcos«', ^' = rsinw';
en outre,
tt' = u — a
Cf. ayant la même signification que ci-dessus, et, par suite,
y(rcostt', rsin a') =/(rcos a, rsina),
d'où il résulte que la fonction/*(jr,j) =y(rcosi/, rsinu), ne varie pas quand on fait varier m, et se réduit, par conséquent, à la fonction J[±f\ o) dans laquelle elle se transforme quand on fait m = o, ou u=7r, le double signe pouvant être réduit arbitrairement au signe + ou au signe — .
Supposons maintenant que Ton fasse tourner autour de Torigine, d'une manière quelconque, les trois axes rectangulaires des x, desj^ et des z : les trois coordonnées T, y^ z d'un point M se trouveront remplacées par trois coordonnées nouvelles a/, y', z', exprimées au moyen des premières par les équations
x' = /m: -4- A/ + rz ,
a'« +y -H z'» = jr> -f- ^ ' -h z\
dans lesquelles les neuf coefficients a, £, c, a', &', c\ a"^ V\ cf' sont liés entre eux pai six équations, de sorte que y trois étant donnés, on puisse calculer les six autres. Pour qu'une expression de la forme y*(2r',j', z') devienne indépendante de Ja direction des axes mobiles, il faudra
CBANGEMBKT DE COORDONNÉES^ 355
que Ton ait constamment
quelles que soient les valeurs non-seulement de x^y^ z^ mais encore de trois des neuf coefficients a, b^ c, al^ V^ c\ aP ^ V^ c^, dont on pourra disposer de manière à faire évanoui rj)^', z'. D^ailleurs, si l'on nomme r le rayon vecteur mené de Torigine au point donué M (jc, /, z), on aura
Or dans le cas dej^' = o, 5' = o, celte dernière équation donne
régalîlé f{x^y^ z)^=f[x^^y^ z') entraine donc les suivantes :
/(r, o, o)=/{— r, o, o), et Ton arrive ainsi au théorème suivant :
Théoheme III. — Pour qu'une fonction des trois coordonnées x^j^ z d'un même point M, relatives à trois axes rectangulaires, ne change point de valeur, tandis que Ton fait varier ces coordonnées, non en changeant la position du point, mais en faisant tourner le système des trois axes rectangulaires autour de Torigine, il est nécessaire quej (x, j^, z) se réduise à une fonction du rayon vecteur r mené de l'origine au point donné, et même à une fonction de r qui ne change pas de signe quand on y remplace r par — r.
On démontrera facilement et immédiatement le théorème qui précède^ eu substituant aux coordonnées rectangulaires X, y^ z ou x\ y\ z' des coordonnée» polaires
/', u, u OU r, u\ (^' liées aux premières par les équations
X = rcos a , jr = r sin u cos p , z = r sin // sin c, ar'=rcos«', j'=r8intt'cos«^, z'=rs\nu's\n»\
En effet, Téquation
deviendrait alors
/*(rcosM', rsina'cosp', rsinit'sin/) =:?/*(r cos II, r sin I» cos t'y rsin/isini');
et comme, la direction dos nouveaux axes étant complètement arbitraire, on peut en dire autant des variables ou angles u', u\ la fonction /'(x,j^, z) ne devra pas varier avec II' et u' ou avec u et i^, et devra, par conséquent, conserver la valeui*y(±r, o, o) qu'elle prend quand on fait u = o ou IX = TT.
Lorsque les fonctions de x^jr ou de x^y^ z désignées pary(x, j^), J (x^jr^ z) sont des fonctions entières composées d'un nombre fini ou inGni de termes, les fonctions y(r, o), f[r^ o, o) sont elles-mêmes des fonctions entières de r, et même des fonctions entières de /*, c'est-àdire deic'-+-^', ou a:'-h/' + 2', on peut donc encore énoncer les théorèmes suivants :
Théorème IV. — Pour qu'une fonction entîèrcy(ar, r) des deux coordonnées x,j^ d'un même point relatives à deux axes rectangulaires, ne change point de valeur, tandis que Ton fait varier ces coordonnées, non en changeant la position du point, mais en faisant tourner les deux axes dans leur plan autour de Torigine, il est nécessaire et il suffit que f{x^ y) se réduise à une fonction entière de r*= x* -*-^'.
Théorème V. — Pour qu'une fonction entière/(ar,^, z)
CBAMGEMEl^iT DE COOHDOJNNÉES. 357
des trois coordonnées jr,j^, z d'un même point relatives à trois axes rectangulaires, ne change point de valeur, tandis que Ton fait varier ces coordonnées, non en changeant la position du point, mais en faisant tourner le système des trois axes coordonnés autour de Torigine, il est nécessaire et il suffit que/* (x,j^, z) se réduise à une fonction entière de x* -k-y^ -h -z*.
Nous avons vu que si Ton nomme jc, ^, z ou x\j\ z' les coordonnées d'un même point relatives à un premier et & un second système d'axes rectangulaires, les caractéristiques D;^/, Dy, D,/ s'expriment en fonction des caractéristiques D,, D^, D. de la même manière que les nouvelles coordonnées x\j\ z' s'expriment en fonction des anciennes x,y, z, on pourra donc, dans les théorèmes qui précèdent, remplacer les coordonnées x,y, z par les caractéristiques D,, D,,, Df , et énoncer le théorème suivant :
TetOBÈME VI. — x^j ou x,j^, z étant deux ou trois coordonnées rectangulaires et D^^ D^ ou D^, D^, D,, les caractéristiques qui indiquent des différentiations relatives à ces coordonnées, pour qu'une fonction entière de ces caractéristiques ne change point de valeur, tandis que l'on fait tourner les deux axes des x et des j* dans leur plan, ou les trois axes des x, des j", et des z dans l'espace, autour de leur origine, il est nécessaire et il suffit que cette fonction se réduise à une fonction entière de
(D,)»-h{D^/ ou de {D,)^H-(D,)»-|-(D.^
