Reprenons les équations

leâ deux dernières donnent

b^c^^b^i^ ^oT-^a' a*b"^a''h*

abc ab'c" — ab''e -»- be* a" — hc" n' >4- ca'h"—ca"y

mais on a d'une part de Tautre

donc

On arriverait encore à ce résultat, en observant qae les neuf quantités a, hy c, a'^ h\ c\ d\ W^ d* représentent les projections algébriques de trois longueurs égales à r unité, mesurées sur les ^xes des x,y, z^ et projetées sur les axes des x\y\ z'. En effet, le volume qui a pour côté ces trois longueurs se réduira simplement à Tunilé, et l'on sait que ce volume est représenté au signe près par la somme ou résultante

ab'e" -^ gb^c' H- a' b"c — a' bc'' -^ (i"bc'^a" b' c.

Ajoutons que le double signe ± devra se réduire à + , ou que Ton aura

ab'c"^ab"c' + n'b"c - n' bv" -f- a" bc' — a" b' c = i ,

si Ton admet que pour obtenir le second système d'axes

CHAMGEMEMT DE COORDONRéBS. SSp

coordonnés, en faisant tourner le premier autour de To-* rlgine, les mouvements de rotation exécutés de droite h gauche dans les plans coordonnés autour des demi-axes des coordonnées positives, seront pour Tun et Tautre système d^axcs des mouvements directs^ ou pour Fun et pour 1 autre des mouvements rétrogrades. Cette somme ou résultante étant égale à i, on aura

Ces équations devant évidemment rester vraies quand on remplace a, &, c par vl^ V^ c^, ou par o^, Vy cf^ on aura de même

n' =z ô" c -- bc"', b' = c''a--ca'\ c' =z a" b-^ab", a"= bc' — b*c, b''= m' - c'a, c"z=zab* -^a' b.

159. Soient maintenant x^, j^^ Z|, x', , y, , z\ les coordonnées d^un nouveau point Mi , relatives au premier et au second système d'axes coordonnés, on aura

y, = ax, -h bf^ -H rz, ,

y, = «' -r, -h b'yy -4- r' 2, , •

z', =r /i"x,-f <^''ri-<-<^^i»

d'où Ton conclut, comme nous Tavons déjà vu,

x' ./, + y 'y, + z' z, = xj-, -+-rri -^ **i y

c'est-à-dire que la transformation des coordonnées n'altère pas la valeur de la somme xXi + j^i -4- ^^f . Dans le cas particulier où les deux points M, Mi se confondent, la somme des produits devient une somme de carrés, et Ton a, comme nous le savions,

On tire encore des équations qui donnent les valeurs

de J^i, /i, Zif X,, y,, z\ joinies aux valeurs précé* deutes de a, 6, c, a'j b\ c\

yz\ —y, z'=a(xzx —y, z) H- h{zx., — z,x) H-c (jr>-, — x,^ ), s' X, — z, *'=/i'(r«i-'Ji*) + ^'(«^i — *i^) -f-^^V/i— ««^«r)»

d*où Ton conclut

//o/ic /a transformation des coordonnées h*alt^re pas la valeur de la somme

Cette somme, en eflet, représente une quantité indépendante de la direction des axes coordonnés , savoir le carré de la surface du parallélogramme qui a pour c6tés les rayons vecteurs OM, OMi . On arriverait immédiatement à Téqualion qui exprime Finvariabilité de celte somme, en combinant les deux équations

avec Téqualion identique

= (x*-+-j'-Vz^)(x»H-jj4-2j) — (xx, -hyj.-f-zz,)'.

Quant aux trois binômes zji — z^ y^ xz^ — XiZ, yzx — y\X^ ils représentent les projections algébriques de Taire du parallélogramme dont il s* agit, successive* ment projetée sur les trois p)ans coordonnés des yz^ des zx et des xy, ou, ce qui revient au même, les projections algébriques d'une longueur mesurée sur une perpendiculaii^e au plan du parallélogramme, égale à Taire de ce

CHÀNGEMEAT DE COÛBDONNÉES. 36 C

parallëlogramme, et successivement projetée sur les axes des Xj des y et des z. Ajoutons qu^en partant de cette simple remarque on pourrait déduire immédiatement les équations qui expriment les différences^' z\ — j\ -z ',..., en fonction des différences yzi — 2,7,... des équations qui lient les nouvelles coordonnées x'jj'y z' aux anciennes x^j^z.

Concevons que Ton considère, en outre des points M, M|, un troisième point Mt dont les coordonnées relatives aux deux systèmes d^axes rectangulaires soient respectivement x%9 jty Zj, x\ ,j', , z\^ on aura encore

cl de ces équations jointes à Téqualion

x'* 4- /' 4- -'' = Jc^' +7' 4- z\

et à celles qui donnent la valeur des différences I ' z\ — )', «',... en fonction des différences j^Zi — z^y^,,. on tirera

donc la transformation des coordonnées ne change pas la "valeur de la somme

Celte somme représente effectivement, au signe près, le volume du parallélipipcde construit sur les trois rayons OM, OM 1 y OMt ; et d'ailleurs son signe dépend uniquement des positions respectives des trois demi-axes OM, OM, , OMj . Elle sera positive, si le mouvement de rotation exécuté autour du demi-axe OM, par un rayon

36a STATIQUE.

mobile passant de la posiiioa OM à Ja position OM| est un mouvement direct ou de droite à gauche, tel que nous Tavons déjà défini.

160. Considérons une grandeur qui puisse être rcpré* sentée par une droite, une force par exemple, ou le moment linéaire de cette force. Les projections algébrîqur-s de cette grandeur sur trois axes rectangulaires dépendront uniquement de la longueur de la droite, et de sa direction ] et si la grandeur en question se confond avec un rayon vecteur r mené de l'origine des coordonnées à un certain point il/, les projections algébriques de cette grandeur seront précisément les coordonnées du point M, Donc les relations qui subsistent entre les coordonnées rectangulaires d'un ou de plusieurs points rapportés à un ou à plusieurs systèmes d'axes coordonnés, subsisteront aussi entre les projections algébriques d'une ou de plusieurs grandeurs diverses projetées sur ces mêmes axes. Ainsi, en particulier, si Ton nomme X, T, Z les projections algébriques d'une certaine force P sur trois axes rectangulaires x^j^ z^ et X', Y', TJ les projections algébriques de la même force sur trois autres axes rectangulaires des x\y\ z^\ si d'ailleurs les neuf coeflGcients rt, i, c, ô', h\ c/, a", V\ d^ représentent Jes cosinus des angles formés par les demi-axes des coordonnées positives a/, j^, z' avec les demi -axes des coordonnées positives x, ^, 2, on aura

Y'=û'X-f-6'YH-rZ, Z' =fl*'XH-A"Y-hc"Z,

X" + Y" H- Z'» = X' -h Y» -h ZS X==aX'-+-fl'r4-/7"Z',

z =cX'-f-^'Y'-+-f"Z'.

CHINGEMEHT DE COORDONNÉES. 363

11 y a plus : si, en supposantla forcePappHquée au pointM dont les coordonnées sont jr, y^ z, ou xf^y, z\ on nomme L, M, N, L', M', IS' les projections algébriques du moment linéaire de la force P successivement projeté sur les axes des a:, y^ z et sur les axes des x'i J^^ ^t on aura encore

L'=éiL-+- i'M H-cN,

L'14. M" H-N'^ = L' -h M' -+- N' , L = i7L'-4-fl'M'-f-a"N',

Ces équations pourraient se déduirexlirectcment de celles qui donnent les diflférencesj^z', — y\ «'...5 en effet, pour obtenir les valeurs de L', M', K', il suffit de remplacer dans ces équations les projections algébriques x\^y\^ z\ ou Xi^yx , Zi de la distance r^ comprise entre Torigine des coordonnées et un certain point il/|, par les projections algébriques X', Y', Z', ou X, Y, Z de la force P, et d'avoir égard aux valeurs connues des projections du moment linéaire

L=jZ— *Y, M=«X— ^Z, N=^Y — ^X, L'=yZ' — z'Y', M'=*'X'— x'Z', N'=yY'— /X'.

L'équation L'» -h M'* 4- N'« = L« 4- M» 4- N% quand on y substitue pour I/, M',. . . leurs valeurs, devient

(j'Z' — z'TY H- (z'X' — x'Vy -h (x'Y' — y'yi'Y

= (jZ-2Y)'H-(zX-:rZ)'-h(xY— rX)%

ou, ce qui revient au même,

(x"-+-/' 4- »") {^"H- Y'^ -4-Z'') -~ (.r'X' 4-/ ï' -h 2'Z')' ^ (x> 4- J' -f- *') (X ^ Y' -h Z') - (Xx- -f- Y/ -4- Zz)».^

Cette dernière équation, et par suite celle qui précède, pourra être écrite à priori quand on a établi Tégaiité

X'x' -hT' j' -4- ZV = Xx -f- Yf -h Zz,

à laquelle on parvient immédiatement en remplaçant les projections algébriques de la dislance Ti par les projections algébriques de la force P dans Téquation

161. Supposons maintenant que le point matériel ilf ayant reçu un mouvement virtuel, on désigne par r/, i^, tv, u\ f^, If/ les projections algébriques de la vitesse virtuelle Oi) de ce point sur les deux systèmes d^axes x^y^ z, a/, y\ 'Z'- II y aura entre ces projections la même relation qu'entre les coordonnées et qu'entre les projections X, Y, Z de la force R, c'est-à-dire que Ton aura

u' = au -^ bo -h Cfv, v' = a'u -4- b'v -\~c' H», «'' = «"«-4- b"p -h c"w^

« = oa' -h rt'p' -4- c^tv',

Les projections algébriques du moment linéaire de la vitesse 0) sur les deux systèmes d*axes sont d'ailleurs

yw — ««;, zu — Xiv^ xv — yu\

cl Ton aura encore

y\v^ — z'c' = a(/«' — «p) -f- ^(«tt — a:fv)-|-c{jpp — ja), z'a' — j/r«/=a'(j«' — zr) -f- ^'(za — xw) -f- c'(^v — j^a), x' v' — y u' •=. a!' [y {,K' — zc ) H- A"(ïw — .r«/) -f- c''(xi' — /«),

=r:(/«v — Zf)^ -f- (z/i — .rwj^-j-^jrv — ^«)*» * jr'rt/ -h y* V* 4- z'cv' = x« -i- j«' -h zw.