CHANGEMENT DE COORDONNÉES
Les projections algébriques de la vitesse du point M peuvent être regardées comme des fonctions des trois coordonnées Xy y^ z ou af^ y\ z' Ae ce même points et diflléren liées par rapport à ces coordonnées; or, ainsi que nous Favons vu, il existe entre les caractéristiques D;r, D,, D», D;^', Dy, D./, les mêmes relations qu^entre les coordonnées x, j^, «, x', y^ z', et par conséquent dans les équations qui lient les projections </, u^ tv, i/, ^, ti/, de la vitesse eo aux coordonnées, on pourra substituer les caractéristiques aux coordonnées. On aura donc
D^i/— D/f/ = fl*'(D^n' — D,i')4-6''(D.ii — D,«')
= (D,«' — D.p)» -f- (D, a — D,«0* ■+- (ï>x'' — Pr'OS
Ces mêmes équations subsisteraient encore si l'on y remplaçait les projections algébriques u, y^ tv, ou i/, %/^ -kv* de la vitesse eo d^un poiut matériel, par les projections algébriques d'une autre grandeur relative au même point, et représentée par une portion de ligne droite, par exemple, les projections algébriques du déplacement absolu de ce point sur les deux systèmes d'axes. Appelons (, y?, ^, X'i ^> Ç 1®^ projections de ce déplacement absolu sur les axes des x^y^^ z ; négligeant les équations qui donneraient les relations entre les deux valeurs successives des différences,
on aura
n^ Ç -h D/>î -h D, ç = D,Ç -h D^Tj 4- D,Ç;
or le trinôme D^^ 4- D^v? H- D. (f, somme des trois dilatations linéaires, est ce que l'on appelle la dilatation u du volume ^igÇ, et l'équation qui précède prouve que cette
dilatation, comme le déplacement absolu ^Ç* + >7* + ^9 conserve une valeur indépendante de la direction des axes coordonnés.
i62. Soient X, y^ z les coordonnées rectangulaires d^un point matériel, u une fonction quelconque des coordonnées or, y^ z^ et A^*^ u le paramètre dilTérentiel de la fonction h défini par Téquation
Si Ton substitue aux coordonnées rectangulaires des coordonnées polaires liées aux premières par les trois équations
ar=:rco«/>, j^ = rsin^cos^, 2r= rsin/^smç, et qu'on fasse cos^ = f , ou trouvera
A<«>« = -D;(ra)-|-^!— ^D;«-t.D f(i — y»)D «]l, puis si l'on pose tang - = e , ou ip = I tang -9 il viendra
A'»ii=iDVr«)-f-
équation qu'on peut encore écrire comme il suit,
,A(')« = D;(r«) +(^^-^tf j [D;(r«)-t-Dj(r«)].
163. Nous terminerons celte leçon par une courte revue des coordonnées curvilignes de M. Lamé, qui ont l'avantage considérable de gâiéralîser et de simplifier un
cooaDUMnÉBS cuaviLicMES. 367
irès-grand nombre des formules et des équations fondamentales de la Mécanique.
M. Lamé donne le nom de fonciion-de-pomt k toute quantité qui a une valeur déterminée et particulière en chaque point d'un espace limité ou indéfini, et change de valeur d'un point à un autre. Cette quantité ou cette fonction*de-point est évidemment exprimable à l'aide d'un système de coordonnées quelconques, rectilignes ou curviligDiis. On admet qu'elle varie d'une manière conti* nue, lors même qu'elle n'aurait de valeurs assignables que pour des points disséminés, et non contigus, tels que Ton imagine que doivent être les molécules matérielles des corps pondérables. On conçoit, en eflet, que Tinterpolation puisse déterminer une fonction qui reproduise pour chacun des points matériels la valeur qui leur appaj^tient. Ce sera alors cette fonction interpolaire qui représentera la fooction-de*point, et qui, parce qu'elle est nécessairement continue, donnera des valeurs nulles pour les points géométriques intermédiaires. D'ailleurs, quand on l'introduira dans les sonmiations de la physique mathématique, elle s'y trouvera toujours multipliée par un facteur analogue à la masse ou la densité, ce qui écartera Tinfluence des points géométriques pour lesquels ce facteur sera nul.
Une fonction-de-point égalée à une constante peut représenter une famille de surfaces dont cette constante sera le paramètre^ réciproquement le paramètre de toute famille de surfaces est une fonclion-de-point. Dans l'un on l'autre cas, chaque surface individuelle est le lieu géomélrîque des points de l'espace pour lesquels la fonction a une même valeur.
Une fonction de trois coordonnées et du temps t donne à chaque instant une nouvelle famille de surfaces, ou une fonction-de-poînt nouvelle, que l'on peut étudier isolé-
ment en regardant t comme constant. Mais une équation entre les coordonnées et le temps a une tout autre signification ; elle représente une famille de surfaces d^onde, dont t est le paramètre; alors le temps lui-même est une fonction-de*point fixe et déterminée.
Au point de vue de la géométrie, une certaine fonction* de-point particularise Tétendue à trois dimensions, comme une certaine surface ou comme une certaine courbe particularisent retendue à deux ou A une seule dimension. De même que la surface, de même que la courbe, la fonction-de-point peut être indifféremment rapportée â une infinité de systèmes coordonnés différents. Mais en chaque point de la courbe, la direction de la tangente et la grandeur de la courbure simple ou double; en chaque point de la surface, Torientalion du plan tangent, les directions des lignes de courbure et la grandeur de la courbure sphérique, sont complètement indépendantes du système de coordonnées auquel la surface et la courbe sont rapportées. Ces divers éléments caractéristiques restent invariables, lorsqu^on passe d'un système à un auli^. Â la fonction-de-point doivent correspondre des éléments tout aussi caractéristiques qui partagent la même indépendance; et nous en avons déjà indiqué plusieurs dans les paragraphes précédents.
164. Une fonction-de-point étant exprimée successivement i Taide de deux systèmes de coordonnées rectilignes et orthogonales, nous avons prouvé que les premières dérivées partielles de F, D^F, D^'F, D./F relatives aux nouvelles coordonnées a/, j\ z'sont liées aux dérivées partielles D^^^, D^, D, relatives aux premières variables, comme les coordonnées nouvelles x',^, jz' sont liées aux coordonnées anciennes x, /, z ; de sorte que dans les équations linéaires qui lient entre elles les anciennes et
COORDOMUÉES CURVILIGNES. 369
les nouvelles coordonnées, on peut substituer à chaque coordonnée la dérivée de F par rapport à cette coordonnée, nous en avons conclu que Ton avait :
i*» (D^F)^-h(DyF)'-h(D,.F.)'=(D,F)^-h(D,F)'-h(D,F)%
et, en effet, on déduirait immédiatement cette équation de Tidentité x^ -h j'* -H 2'* = x' 4-7' -H a', en remplaçant chaque ordonnée par la dérivée de F relative à cette ordonnée;
2" D'F-hD'F-hD',F = D'F4- D'Fh-D'F.
Ainsi toute fonction -de-point jouit de la double propriété que les deux expressions différentielles
\/(0,F)'H-(D^F/-h{D,Fj'=A(')F, D'F-h D'F -f- D'F =: A^F,
que Ton nomme les paramètres diilérentiels du premier et du second ordre de la fonction-de-point F, conservent les mêmes formes et reproduisent les mêmes valeurs numériques en chaque point, quel que soit le système de coordonnées reclilignes orthogonales que Ton ait employé. Ajoutons que toute fonction F qui contient trois coordonnées parmi ses variables peut être traitée comme une fonction-de- point; les expressions A^*^F, A^*^F que Ton calcule alors en laissant constantes les autres variables, sont partielles comme les dérivées qui les composent.
165. On conçoit que trois familles de surfaces représentées par des équations de la forme
puissent se rencontrer à angles droits et découper l'espace en prismes rectangles élcuientaiies qu'on peut supposer réduits à des points dont p^, pty fa ou f j , f| , fs seraient les coordonnées curvilignes orthogonales. Ces systèmes I. 24
3^o STATIQUE.
orthogonaux jouissent de propriétés très- remarquables que nous allons établir le plus brièvement possible, en suivant M. Lamé pas à pas dans ses Leçons sur les coordonnées cun^iUgnes^ page 7 et suivantes. Mais avant tout, et pour n'avoir à manier que des formules simples, symétriques et courtes, nous ferons avec l'illustre géomètre les conventions suivantes : La lettre u ou p' désigne une quelconque des trois coordonnées rectilignes J:, r, z-^ quand x, y, z seront les coordonnées courantes, u, v désigneront Tune quelconque d'entre elles. Avec l'indice / ou 7, p, ou py désigne Tune quelconque des trois fonctions Pu Pi 9 P« • L* lettre S, placée devant une expression contenant M, indique la somme de trois expressions semblables dans lesquelles u est successivement remplacée par .r, r, z. La lettre Z, placée devant une expression contenant l'indice i, représente la somme de trois expressions semblables dans lesquelles l'indice i est successivement égal à I, a, 3. Lorsque les deux lettres 1/, p», existent dans une expression précédée du signe S, elles désignent deux coordonnées quelconques x,^, 2, mais difierentes l'une de l'autre. Lorsque les deux indices i\ j existent dans une expression précédée du signe 2, ils désignent deux quelconques des indices i , 2, 3, mais différents l'un de l'autre.
166. Revenons maintenant aux conditions d'orlhogo* nalité des trois surfaces ,
et aux relations qui en résultent. Le plan tangent à la surface p, a pour équation
SD„pi(ii — k) = o> et si Von désigne par /i, le paramètre diflerentiel A^'^p,
cooRDonrnrÉEs curviligmes. 371
du premier ordre de la fonction |0., ou si Ton pose
S {DupiY = (I>xpi)*-h ( D^p,)»-t-(D,p,)> = h) ,
la normale à la surface fera avec les axes des x, j^ z des
angles dont les cosinus seront r j = 7- D„p,. D^ail-
ni au ai '
leurs les normales aux trois surfaces orthogonales pouvant être considérées comme trots nouveaux axes coordonnés rectangulaires, les neuf cosinus des angles qu'elles font avec les axes satisferont aux conditions des n°' 153 et 1S8; on aura, par exemple,
SD,p,D«py==o, 2p-(D«p,)' = i, :s^ D„piD,pi = o.
Si Ton désigne par drii l'élément de la normale à la surface Pi, et collectivement par du les trois projections de cet élément sur les trois axes, on a
du 1 dpi ^ I ^
-- = ----!-, ou D„ a = 7- D„ p. ; fl/î| ni au * fit '
multipliant par du^ faisant la sommation S et observant que
S(duyz= dn. 9 S -~ du-=.d p„ ^ ' du • '
on obtient la relation fondamentale
d^i dpi
fii dni
On peut donc dire qu'en tout point d'une surface p. la fonction hi donne la limite du rapport de V accroissement du paramètre p,-, quand on marche vers la surface infiniment voisine , à r épaisseur dni de la couche tra^ i^ersée. Ce rapport varie généralement, non*seulement
3y^ STATIQUE.
d^uue surface à une autre, mais aussi sur toute l'élendue d'une même surface.
167. Si Ton substitue ia valeur de {/ni dans l'équation 9 on obtient
fiu I dpi dfii hi du
du I dpi d Pi a du
dpi h ' du du * dût
OU
Si Ton désigne par F une fonction-de-point que l'on peut concevoir exprimée soit en coordonnées rectilignes x^j^ 2, soit en coordonnées curvilignes p, , px'i pif on conclura de la seconde des deux équations qui précèdent,
SD„p,DuF = h] SD^FDpU =h'Dp F;
en même temps, Téquation
' combinée avec l'équation identique
Pp.('>P,«)=D/..(Do^.«),
donne
T>pf^Dup^\=Dpf-l^,DuPj
Si Ton différentie par rapport à i/, c'est-à-dire par rapport à x, ovLjy ou z, Téquation
S Du Pi Da py = o , on a
S (D„ Pi D] Pj -f- D„ pj Dl Pi) = o ;
cooRDO^^ÉES curvilignes. 3^3
mais en faisant tour à tour, dans Téquation
SD„p,D.F=/i;D..r, F = D„py, F = D„p,, on trouve
SD, p, D* py = h] Dp . ( D„ py ) , s D„ pj D^ p, = //' D^ ( D« p, ) , et, par conséquent, en substituant,
h] Do . i D„ p^ ) -h a; Dr. . ( D„ p,} = G . Si Ton développe la relation
on aura
JjDp. D«py) = ^Dp//,D„p,~p
ji^P (D.p*)- y^l>P.'ï>«Py) = /jTl>Py^'/I>«P/ ~ p-D^.A,D.py, * y ' y
et, en éliminant I)^ (D„py) au moyen de Téquation
A;Dp.(D.py)^/i;Dp.(D.p,)=o,
n,^ (D. p.) = - Dp^. A,.D,p,— ^ D/,. A,D„ py,
équation dans laquelle les indices i et/' sont essentiellement différents, et qui donnera les dérivées par rapport aux pj des fondions D,»p,.
Si, désignant momentanément par \f une quelconque dfs coordonnées x, > , r, on différentie par rapport à v r équation
on trouvera
* SD.p, D«(D,p,) = //,D,A,,
^ restant le même dans les trois termes du premier mem^ bre ; or Téquation
donne généralement
D^.F = ^SD.p,D„F,
et , par suite, en faisant F = D^p,, on aura donc
ou bien en remplaçant p* par u, et développant le second membre,
1>P. (D. Pi) = i- ^D^^ hiDu p, -h Dp^hiD„p, -h Dp^ /i,D„p3). Cette équation, jointe à celle qui exprime Dp{D„pi) donnera toutes les premières dérivées des quantités D„p, considérées comme fonctions des coordonnées pi, pj, p,.
Reprenons l'équation
Dp.(D,p,) = - Dp/,D.p,— ^Dp./«,D.py.
Si on la multiplie successivement par D„p,, D». u,
Dû w, et qu'on fasse, . après chaque multiplication, la
sommation indiquée par S, en ayant égard aux relations
S (Du piY = h]^ SD„ p,D„ py = o,
on trouvera
iSDap,Dp.(D„p,)=:>i,Dp.//,,
SD, pil>p, (D. p,) = — -^ Dp^ //y ,
y Sn„pftD/5.(D„p,) = o. <»
COORDONNÉES CURVILIGiNES. 3^5
Dans cette dernière équation, les trois indices 2,;\ A' sont essentiellement différents et reproduisent dans tous les ordres possibles le groupe (i, 2, 3).
168* U s'agit maintenant d'évaluer les paramètres difTérentiels du second ordre des fonctions-de-point ou coordonnées pi. Nous avons déjà dit que les neuf cosinus r- D^jD/
des normales aux trois surfaces orthogonales devaient satisfaire à toutes les équations de condition qui lient entre eux deux systèmes d'axes rectilignes et rectangulaires ; ils devront donc, en particulier, vérifier les deux équations (n^ 158)
et Ton aura, par exemple,
I>, p, = -j^ ( D, pi D, p3 — Dy p, D, p j } ,
P;.pi= T-T- (DxpjD^pa — D, OjDxpa).
Egalant la dérivée par rapport à j^ de la première de ces équations à la dérivée par rapport à j: de la seconde, on a •
(D, p, D, p3 - Dj. p,D. p3)D, ^ = (D,p,D,p3~D,p,D,pj)D, '
-+- ^ (D^ p, D, p3 -hD^ p,D;^ p3 — D], p,D, p, — D. p,D^ P3) Ajoutant et retranchant le terme
appliquant quatre fois réquation
SD«p,D«F = /i'.DpF, dans laquelle oti fera tour à tour
pour ramener quatre trinômes à la forme d'un mon6me, et remplaçant la somme des dérivées secondes par le symbole A'^^\ on trouvera
= AT [^' P''^'" °' "^ *' ^^ ^"'p'^] ■^^' p'''' "''i A" ■
Divisant enfin par le produit h^h^h^^ substituant au quotient de la diiTérentielle d'une quantité par cette quantité la différentielle du logarithme népérien de celte même quantité, et remplaçant z par u, car évidemment en prenant pour point de départ un autre couple d'équation, on serait arrivé à des équations toutes semblables en jr ou en a: , on a
Or parmi les neuf relations
K ^P. ( D. pj) -f- /r D^ . ( D„ G, ) = o, il en est une qu on peut mettre sous la forme
donc, dans l'équation à six termes, en ne considérant que
