COORDONNÉES CURVILIGNES

les seconds termes, «on peut, en vertu de cette dernière relation, supprimer l'un et doubler l'autre; doublons celui du premier membre, en supprimant celui du second, multiplions par D^jOi et faisons la sommations, il restera, après les réductions que les équations S(Du|Ot)' = A/, SD„pyD„|0/ = o, SD^ piDp,(D^ Pi) = hiDpjhi permettent

d'opérer.

OU

^='".{'ar)

Pareillement si l'on double le deuxième terme du second membre de l'équation à six termes, en supprimant celui du premier, que Ton multiplie par Dupi^ ^^ qu'on fasse la sommation S, on arrive à

Avec un autre couple d'équations au départ, on aurait trouvé de même

Ces trois équations, qu'on peut mettre sous la forme donnent les paramètres différentiels du second ordre des

fonctions pi , Pi^ Pit à Taide de cci^x du premier ordre ei de leurs dérivées.

169. Soit maintenant une fonction-de-point F exprimée à l'aide des coordonnées curvilignes pi ^ p*^ Pz^ ^t cherchons comment s'expriment ses paramètres dilTérentiels â l'aide des mêmes coordonnées. En désignant toujours par u Tune quelconque des coordonnées rectilignes, on aura

D„F=2DpFD«p,;

élevant au carré, faisant la sommation S, et réduisant à l'aide des relations souvent rappelées, S (D„p;)' = /*/, SD„ Pi D„ py = o , il viendra

Eu diflfércntiant D„F par rapport à w, on aura

D;F = 2[D;F.(D«pi)»4-Dp.FD;pJ

Toutes réductions faites , la sommation S des deux membres de cette dernière équation donnera

ou bien, en développant le Z, mettant hih^h^ en facteur commun, remplaçant les tractions par leurs va-