A(')F=:SD'F
Lorsqu'il arrive que le système orthogonal est formé de trois familles de surfaces pour lesquelles on a A^'^p = o,
COORDONNÉES CURVILiaNES. 38 I
ie paramètre différentiel du second ordre de la fonctionde-point devient
* Pi
Lorsqu'une des trois familles de surfaces orthogonales p se compose de plans parallèles au paramètre p^ t= z y on a • '
les deux autres familles de surfaces sont cylindriques ; les fonctions-de-point px , p^ donnent un système de courbes orthogonales sur le plan des bases de ce^ cylindres; leurs paramètres différentiels du premier ordre. Al, /?,, sont indépendants de p^ ou de z ; et ceux dir second ordre sont donnés par les équations ^
et ces relations conduisent, par difTérentiation , à Téquation
17i. Pour nous faire une idée plus parfaite des coordonnées curvilignes ou sVirfaccs orthogonales, considérons un instant leurs lignes et leurs rayons de courbure. Soient pi une quelconque de ces surfaces; {x^jr, z) les coordonnées d'un de ses points M; (j/, j^ z') celles du point M' située sur la normale en M et centre d'une des courbures dont le rayon est Ri, on aura
DjPi n^pi n^p, h
X* — X r' — r z' — z Ri Soit M 1 un point infiniment voisin de M, situé sur la
ligne de courbure correspondante au rayon Ri ; et soient x-i- diXy j'-\- dij^ z -h diZ ses coordonnées; les quantités x\ y' y z\ Rt ne devront pas changer lorsque dans les équations qui précèdent on substituera les coordonnées de Ml à celles de M; c'est-à-dire qu'on pourra regarder a/, j^, s! y Ri comme des constantes quand on différentiera en r/i ces rapports égaux ou mieux les logarithmes népériens de ces rapports, ce qui donnera
dx (Dxp») d,x d, (Dy p,) d,y
D,p, jt' — j Dyp, r'—jr
^i(D»pi) dxz //,/i, I
Dg Pi z* — z /*, R,
ou, ce qui revient au même,
rf,(D,p,)=-^D,p,— ~ d,x,
En multipliant respectivement ces équations par les facteurs binômes
Dsp.rfi.r — D^p,,r/,3,
Dxpi^iZ — D,p,^,x, Dj^ydyX — Dxp,</,r,
et les ajoutant on ferait disparaître les coefficients -4-' et ~ • Rien n'empêche, en outre, de poser
Dxpir/,7 — D^p, ^, s ^Xrfjj;,
Dx PidiZ — D, p, //, X = X djj- ,
D^p, r/, X — Dgpidtjr = \diZ'y
COORDONNÉES CtRVILIGNES. 383
x-hdt x^y -i-d^y^z -^ dfZ étant les coordonnées d'un second point M» irès-voisîn de M, et qui servirait en quelque sorte d'intermédiaire entre M et Mj. Ces dernières équations, additionnées deux fois après avoir été multipliées la première fois par D^ p^ , D^ pi , D.^i , la seconde fois par d^ x, d^ y^ d^z^ donnent
ï>x pi d^x-^ D^p, r/j/ -f-Dxp.rfjS = o, d^x d-iX -\- d^y d^y -h rf| z rf, s = o .
La première de ces nouvelles équations montre que le point Ms est situé sur le plan tangent à la surface |0 en M;
la seconde que les deux directions MM| , MMs sont perpendiculaires entre elles ^ donc si le point Mj est situé sur une des deux lignes de courbure, le point M, se trouvera sur Tautre. D'un autre côté, si Ton effectue la multiplication indiquée par les facteurs binômes et l'addition consécutive, on trouvera, en remplaçant les facteurs binômes par leurs valeurs simplifiées, "kd^x^ 'kdiy^ Xd^z^
</axrf, (D,p,)-|-</j/rf,(D^p,) -h</iZ^,(D,p,) = o,
relation qui exprime la condition nécessaire et suffisante pour que la direction correspondante à un déplacement tangentiel di soit celle d'une ligne de courbure, le déplacement pareillement tangentiel d^ s'opérant dans une direction perpendiculaire à la première. Les normales des surfaces p, et pf sont perpendiculaires entre elles et tangentes à la surface ps; si donc d^ correspond à dpi^ df correspondra k dp^^ et Ton aura
di (D.,p,) =Dp,(D„p) rfp,, d,u=iDp,udpi = -rrl^u^z dp,.
Les valeurs de d^x ^d^ (D,pi), rf,>', d^ (D^jOi), etc., tirées de ces relations et substituées dans ré(]uatioii qui précède,
384 STA^TIQUK.
conduisent à l'équation de condition
^^'SD.p,D,.(D.p.)=o.
Or nous avons vu n° 167, p. 874^ que la somme S esl identiquement nulle; donc les directions /iio» et dpi sont celles des deux lignes de courbure de la surface p^ en M; donc, et c'est le théorème important connu sous le nom de M. Dupin : Dans tout $jstème onhogonal les surf aces de deux des Jamilles conjuguées tracent ^ sur une surface de la troisième famille , toutes ses lignes de courbure.
Dans Tordre de diflérentiation que nous représentons par di , et qui a lieu suivant la direction dpi on a
dki du I dpi
d, h, = -—dp-,, dy w = -— d^y = — -j-dp:,; doi dpj ' /ij du *
la substitution de ces trois valeurs dans les trois équations qui donnent rf| (D,pi), rfj (D^p,), r/, (D.p,), les fait rentrer dans la formule unique
Do,(D.p,) =-Dp,A.D,p. — ^~ D..p,.
Or Téquation
D,^. ( \yupi)= j Dc^ hi D„ Pi — Il Dp hj D. pj
donne
Egalant les deux valeurs trouvées de Dp, (H^pi), on a
telle est donc la valeur de la courbure clxerchée. Si Ton désigne parTÎ, le rayon de courbure de la surface p^ qui
COORDOVIfÉES CUayiLIGHES. 385
correspond à la seconde direction dp^. on aura de la même manière
L'équalion
-i- = j^Dp.«,.
que Ton peut mettre sous la forme
devient, quand on y substitue pour 7^ Dp^ Af, -r^ Dp^ /is,
leurs valeurs ^ > -5- »
Ri Ji\
expression remarquable de la somme des deux courbures de la surface jOi , ou de ce que Gauss a appelé sa courbure sphérique.
On trouvera dans les Leçons de M. Lamé et dans le tome n de nos Leçons de calcul différentiel et intégral divers exemples de systèmes de surfaces orthogonales.
