QUINZIÈME LEÇON
Moments d'inertie d'un système de points. ~ Définition. — Ellipsoïde des moments d'inertie. — Axes principaux et moments principaux d'inertie, -r- Moments d'inertie maxime et minime. <— Moments d'inertie calculés snccessiTement par rapport à divers axes. — Moments d'inertie d'un corps continu. — Cas où le corps est de révolution. — Applications diverses.
172. Au premier rang des quantités dépendantes du choix des axes coordonnés, et qui jouent un rôle important dans les questions statiques de Télasticité comme dans les questions dynamiques du mouvement d*un corps solide autour d'un axe ou d'un point fixes, il faut placer la quantité qu'on a désignée du nom de moment d* inertie^ et que nous allons apprendre à calculer. Soient M, M',. . . un ensemble de points matériels dont les masses soient m, m!. . . \ concevons qu'après avoir multiplié chaque masse m par le carré d^ de sa distance à un axe ou droite quelconque OA, on fasse la somme Z md^ de tous ces produits : cette somme est précisément le mcAnent d'inertie du système de points matériels donnés. Ce moment varie nécessairement avec l'axe par rapport auquel il est déterminé, mais il varie suivant des lois générales faciles à établir.
Pour plus de simplicité, prenons pour origine des coordonnées le point O, c'est-à-dire un des points de Taxe fixe; désignons par x, y^ z les coordonnées d'un point quelconque M, par d la dislance MP, par rie rayon vecteur OM mené de Torigine au point M ; par X, fji, v, i
MOMENTS d'inertie. ^87
les angles que fait Taxe OA avec les axes coordonnés et le rayon vecteur r^ on aura évidemment
C0S^=-9 CO%u.z=i<-y COSV=-9
- xcos^ -h r cosu-f-scosv
COS J = i- >
r rcos^= xcosX -+- j COS fi -4- « COS V, <fa=r»sin*^ = r»(i — cos'J) = x*-f.j»-+-«"
— (xcOSÎl-hJCOSfAH- »C08v)%
1/» = X»(l — C0$U)-4-r'(* COS»pi)-h2'(l — cos*v)
— Q,xy COS \ COS fA — 2X2 COS îl COS V — 22JC0S f* COS V ,
rf' = X* sin»> 4- 7* sîn'fA -+- z' sin* v
— ax/ cosX COS p — a AT cosX cosv — asj cospcosv,
ou enfin, en vertu des équations connues,
COS* \ -h cos' fi 4- cos' V =r 1 , 8in*> = cos* f* -f- cos* v, sîn* fi = cos*X 4- cos^ V , sin' V = cos* X -f- cos' fi,
rf' = (jr» 4. Z>)C0S»X -f- (»» 4- X») COS' fi + (x' 4- J"') cos» V
— 2X)r COsX COS fi — 2ZXCOsXcOSv — 29/ OOSfiCOS V.
Cela posé , si Ton fait, pour abréger,
A = Im (/» 4- z% B = Im (z' 4- x'), C = "Lm (x» 4- r')»
G = î/wx% H = 2«rS I = 2mz%
on trouvera
2«/f'=sK= Acos*X4- Bcos'fi -h Ccos*v
— sDcosfiCosv — aEcosXcosv — aFcosXcosfi,
OU
K=Gsin»X-h Hsin'fi + IsiDS
— 2DcosfACOSv — 2EcosX cosv — 2F cosXcosfi.
Les quantités A , 6, C étant ce que devient R quand on fait tour à tour
COS X = I , COS fA =: o , cos V = o , COS X =: O , COS fA = I , cos v = O , COSX = o , COS fA = o , COS V = 1 ,
sont précisément les moments d'inertie relatifs aux trois axes des x, desj^ et des z,
1 73. Concevons maintenant que par rorigiiie on mène divers axes analogues à OÂ, et que sur chacun de ces
axes on porte une longueur k = -=^y Rétant le moment
d^inertie correspondant; on aura, en appelant ^, yî, ^ les coordonnées de Textrëmité de Tune quelconque de ces longueurs Ar,
E ji "C
