CHAPITRE XIX
268. Retard de la rotation terrestre dû aux marées. — La durée de la rotation terrestre est l'unité de temps qui nous sert à évaluer la durée des mouvements des corps célestes ; c'est elle qui constitue notre montre. Mais nous ne sommes pas certains que la marche de cette montre soit invariable : si elle retarde, les mouvements célestes paraîtront s'accélérer. Or, l'explication de certains phénomènes astronomiques paraît devoir être 'précisément cherchée dans un ralentissement de la rotation terrestre. C'est ainsi qu'on a observé depuis longtemps que la Lune subissait une accélération séculaire de lo" ou, pour parler plus correctement, qu'à la fin de chaque siècle, la longitude moyenne de la Lune surpassait de lo'^ la valeur qu'elle devrait avoir si le moyen mouvement de l'astre était resté constant. D'après Laplace, cette accélération aurait été due à la variation séculaire de l'excentricité de l'orbite terrestre, et le calcul lui avait fourni la valeur théorique de 12". Mais Laplace avait omis un facteur 2, de sorte que la véritable valeur calculée ne serait plus que de 6" : il resterait donc avec l'observation un désaccord de 4", qu'on peut imputer à un ralentissement de la rotation terrestre.
L'action des marées est-elle capable d'expliquer ce ralentissement? A priori^ il n'est pas douteux qu'un semblable effet doive avoir lieu; car le frottement des marées absorbe nécessairement de l'énergie, qui ne saurait être empruntée qu'à la force vive de rotation du globe.
Quant au mécanisme du ralentissement, on en rend compte de la façon suivante : par suite du frottement, la marée est en retard sur le passage de la Lune au méridien, et la protubérance formée par les eaux soulevées ne se trouve pas dans le même méridien que
INFLUENCE DES MARÉES SUR LES MOUVEMENTS DES CORPS CÉLESTES. /pi
la Lune. Il s'ensuit que la résultante de l'attraction lunaire sur ce bourrelet ne passe pas par l'axe de la Terre, et possède par rapport à cet axe un moment qui tend à ralentir la rotation.
Mais cette explication très simple suggère les réflexions suivantes : c'est parce qu'il y a décalage de la marée qu'il existe un couple retardateur. Or, nous savons que le frottement n'est nullement la cause principale de ce décalage et que son influence est même, pour ainsi dire, inappréciable. Dans ces conditions, on peut donc se demander d'abord si, alors nicnie qu'il n'y aurait pas de frottement, l'action de la Lune sur le bourrelet ne va pas avoir une résultante ne rencontrant pas l'axe et ne va pas tendre à faire varier la vitesse de rotation de la Terre.
La réponse doit être négative.
Considérons, en effet, un élément du bourrelet; on peut l'assimiler à un petit prisme de base di et de hauteur ^ Quelle est la valeur du couple agissant sur cet élément? Si nous supposons que nous imprimions au globe terrestre une rotation virtuelle o'i/, le travail du couple sera égal au produit de O'J; par la valeur du couple; d'autre part, l'expression de ce travail sera Ç</t.oW. On aura donc pour l'action de la Lune sur l'élément du bourrelet
<h étant la longitude du lieu, et le couple total sera
Je dis que la valeur moyenne de cette intégrale est nulle. En effet, supposons d'abord que W se réduise à une composante isochrone quelconque réelle; nous savons (pie cette composante est (.le la forme
h étant la colatitude et s un nombre entier pouvant j)rendre les
valeurs o, i ou 2.
Ainsi donc, cliacun des termes de W satisfait à une équation de
la forme
d\\ __ si d\\
"fÂT ~ T di '
On aurait, par conséquent, si W se réduisait à un seul terme.
d<\i ■ h J dt ^
Or, on a
et, l'intégrale du second membre étant une fonction périodique du temps, la valeur moyenne de sa dérivée est nulle. Par suite.
Nous avons, en effet, démontré (§ 136) que la valeur moyenne de l'intégrale
étendue à la surface libre de l'Océan tout entier, était rigoureusement nulle.
Supposons maintenant que W se compose de plusieurs termes; et, pour fixer les idées, réduisons ces termes à deux seulement, le raisonnement qui va suivre s'étendant sans peine au cas d'un nombre quelconque de termes. Soient W, et Wo ces deux termes et ^, et ^o les termes correspondants de ^. Nous aurons
La première et la quatrième intégrale du second membre ont leur valeur moyenne nulle, d'après ce qui précède.
Je dis, de plus, c[ue la deuxième intégrale (de même que la troisième) a également sa valeur moyenne nulle.
Supposons, en effet, que l'on ait
Wi~ COS([a,iî-^5i(|/), \V2 r^ COS( [X^t -;- 52 l]/).
La marée partielle ss serait alors proportionnelle à cos ([j-o i -I- a)^ de sorte que notre deuxième intégrale se présenterait sous la
forme d'une somme de deux termes, le premier proportionnel à une ligne trigonométrique de ([j., — [^-2)^5 le second à une ligne trigonométrique de ([jl, + [j.o)Z. Comme nous supposons que les deux composantes Wj etWo sont distinctes, ni ij., — ^2 ni [J-i + pa ne sont nuls; par suite, les valeurs moyennes de ces deux termes sont bien nulles.
Ainsi donc, le moment de la résultante de l'action de la Lune sur le bourrelet des eaux soulevées a toujours sa valeur moyenne nulle, de sorte que, s'il n'y avait pas de frottement, il ne pourrait y avoir aucun changement dans la durée de la rotation de la Terre.
Voyons maintenant si l'action du frottement suffît à expliquer l'avance séculaire résiduelle de 4" que présente la longitude moyenne de la Lune. Un déplacement de 4" de ^^ Lune sur son orbite correspond à une rotation d'environ i 20' de la Terre; au
bout d'un siècle, la Terre devrait donc retarder de — — sur une ' I j
montre dont la marche serait restée invariable.
Si nous envisageons un intervalle de 2000 ans, ce retard sera
de : ; et, par suite, le mouvement de rotation de la lerre,
supposé égal à i à l'époque zéro, sera devenu
i5. 100.060.24.60.60 soit environ
Pour nous rendre compte, d'autre part, de l'influence des marées, comparons leur force vive avec celle de [a rotation terrestre. En admettant pour les molécules un déplacement de 5'"
effectué en 6 heures, on trouve à peu près -• io~*^ pour le rapport
des forces vives. Or, d'après M. Hougli, il faudrait environ 20 ans
pour que l'effet du frottement réduisit les mouvements à -• Si
nous adoptons ce chiffre, onvoitquau bout de 2000 ans, le retard
produit serait de - io~'-, tandis qu'il devrait être ro"''.
L'action de lu Lune par linterniédiaire des marées est donc plus
454 CINQUIÈME PAUTIK. — CHAPITRIi) XIX.
de 100 000 fois trop faible pour rendre compte du phénomène observé.
Mais nous n'avons considéré dans tout ceci que les marées océaniennes. Si on fait intervenir le noyau terrestre, rien n'empêche de lui attribuer la viscosité nécessaire pour obtenir l'augmentation voulue de la durée du jour sidéral. C'est là l'hypothèse que Darwin a soumise au calcul.
269. Action sur la Lune du bourrelet soulevé par les marées. — Nous venons de voir que l'action de la Lune sur le bourrelet soulevé par les marées pouvait produire un retard de la rotation terrestre. Il ne s'agit, bien entendu, que du bourrelet du noyau solide, puisque le bourrelet liquide ne peut avoir c[u'une action négligeable.
Inversement, cette action de la Lune aura une réaction, et l'attraction du bourrelet solide sur la Lune produira une perturbation séculaire dans le mouvement de cet astre.
Pour étudier cette perturbation, nous appliquerons la méthode générale de détermination des perturbations planétaires. Nous exprimerons toutes les Cjuantités en fonction des éléments
0 = \/a{ 1 — e'^) {i — cost),
les trois autres variables conjuguées étant
/, longitude moyenne,
C7, longitude du périhélie changée de signe,
8, longitude du nœud changée de signe.
Si nous désignons alors par ù la Ibnction perturbatrice, les équations différentielles du mouvement seront
d\. clQ.
'di ~ 777'
dt dm dQ do, 'dt ~~ d%'
INFLUKXCE DES MAKÉES SUK LES MOUVEMENTS DES CORPS CÉLESTES. 4^5
PoLir former û, considérons le potentiel W générateur des marées : W est une fonction du temps t et des coordonnées x^y^ z^ rapportées à des axes mobiles entraînés par le mouvement de la Terre. Nous pouvons décomposer W en composantes isochrones, sous la
lorme
NY = S C/, e>'i^
les \k étant purement imaginaires, et les Ca- ne dépendant pas du temps, mais seulement de x^ y^ z- : ce sont des polynômes sphériques du deuxième ordre en x, y et z. Chacune de ces composantes isochrones produira dans le nojau solide une marée JX/tC'/'^, telle que l'on ait (§ 261)
R/, = io£/,G/,;
et la marée totale sera
Le potentiel V" dû à l'attraction de ce bourrelet sera
Ra est une fonction sphérique du second ordre; nous aurons donc, à la surface,
V;,= i^R,.; d'où
V" = — S R/, e'>-kt =8x2: î/, Q, e>.A^
Mais ce qui nous intéresse ici, c'est le potentiel du bourrelet sur un point extérieur à la distance /■ du centre; son expression, en ce qui concerne chaque composante, sera
VX = -^ Ra /-5 = 8 7:s/,C/, /-5,
les coordonnées x, jk, ^ qui entrent dans la fonction sphérique Ra étant remplacées par les coordonnées du point potentié. Par conséquent, notre fonction perturbatrice sera
Q = S Y"/, e>kt = 8 7r/-5 :i: £/,G/, e>-i«,
à condition d'y remplacer x^ y, z par les coordonnées du corps troublé.
270. Nous considérerons à l'exemple de Darwin deux satellites, l'un produisant les marées, et que j'appellerai Soleil dans le cas des marées solaires, Diane dans le cas des marées lunaires; l'autre qui sera le corps troublé, c'est-à-dire la Lune. Pour étudier l'action sur la Lune du bourrelet soulevé par les marées lunaires, nous ferons le calcul comme si Diane et la Lune étaient deux astres distincts, coïncidant par hasard à l'instant considéré. Ainsi, Q sera fonction, non seulement de /, longitude moyenne de la Lune, mais encore de /', longitude mojenne de Diane. On aura donc
dQ
et il faudra faire 1=1', après avoir différentié seulement, et non pas dans Q.
Soient D Diane, L la Lune, O le centre de la Terre, M le point de la surface terrestre dont les coordonnées par rapport à des axes mobiles liés à la Terre sont .3;, y, z; /-la distance OM.
Désignons par yîl, S l'ascension droite et la distance polaire de la Lune, par L, /, H, ot, 0, 9 ses éléments elliptiques. Soient, de même. M', ù' ; L', /', H', ra', 0', 9' les éléments correspondants de Diane; ^', j»', z' et r' les coordonnées et la distance de son centre ; et a- l'angle DOM.
Le potentiel du corps troublant (Diane) au point M de la Terre est
K( 3 cos^u — i)/-2
On a donc
D'ailleurs, si nous considérons maintenant le point M comme étant le centre du corps troublé (Lune), on a
COSC7 =: coso coso'-f- sio 0 sin o' cos(7R — JR').
En substituant cette valeur pour coso-, W se trouvera décomposé en trois groupes de termes : les termes semi-diurnes, les terme diurnes et les termes à longue période, sous la forme
INFLUlîNCrî DES MARÉES SUR LES MOUVEMENTS DES CORI>S CELESTES. 4^7
S est un entier pouvant prendre les valeurs ±2, ± 1 , o, et les U sont des fonctions de /• et 0, dont les valeurs sont, à un facteur constant près,
sin^o sin^o'
siiT2o fin 2 5'
3cos-o — I ocos'^o' — I ^0 = -, ' Uo = ^^7^
L'expression de ;'~^W peut s'écrire de deux manières différentes. Nous avons, d'abord,
et, dans chaque produit, le premier facteur dépend uniquement des coordonnées d, JR, r de la Lune par rapport à des axes fixes, tandis que le second dépend des coordonnées 0', yî\', /' de J^iane par rapport à ces axes.
Mais nous pouvons également écrire
(JL) étant la vitesse de rotation de la Terre; et, sous celte forme, on voit que le premier facteur dépend seulement de 0, /■, ]^ — L<:>t, coordonnées de la Lune par rapport à des axes mobiles entraînés parla Terre, tandis que le second dépend de 0', /-', .R' — to^, coordonnées de Diane par rapport à ces mêmes axes. Par conséquent, le premier facteur dépend de x, j', z et le deuxième de a?', y', ;', c'est-à-dire seulement du temps et pas de x, y, z.
Remplaçons maintenant r, 0, .R ; /•', 3', .R' par leurs valeurs en fonction des éléments elliptiques de la Lune et de Diane. Nous aurons
M étant une fonction de L, H, 6 tandis que cp est une combinaison telle que
OÙ /;?, /), q sont des entiers.
De même
M' étant une fonction de L', H', 6'; et es' une combinaison telle que
Il vient alors
/-5 W = S MM' e''(?-¥'' = S M eAcp-.s-to/) M' e-/(cp'-.îwn.
Le premier facteur de la seconde expression dépend seulement
de x^ jK, z. Quant au second facteur, il dépend de x' ^ y', z', donc
du temps seulement : M' sera une constante, mais cp', au contraire,
varie, puisque
n' étant le moyen mouvement de Diane. A un facteur constant près, l'exponentielle relative au corps troublant se mettra donc sous la forme
giisu) -r>i'/i')t
et l'on aura, par suite,
X/^. :=: i( sio — m' n').
Il en résulte que l'expression de la fonction perturbatrice sera
O = S 8 7:£/,MM'e''?-?'^
271. Nous supposons que nous avons affaire à un noyau visqueux; par conséquent, nous aurons (§ 261, 263)
avec
