Cas d'une sphère sensiblement incompressible. — Dans ce

cas, m est très grand par rapport à /; ; 0 est infiniment petit et l'on

peut négliger [B ainsi que n^(j\ mais ino est fini ainsi que /?7 [B. Si

nous posons

les composantes des pressions ont poui^ expressions

du P.r.c ^ p -^in-j^,

^ l' du dv

P.rv = /M -7- -+- -7-

dy dx

et l'on a pour l'équilibre

dp dN

-y h n Ùi.U = -r- •

dx dx

Les équations qui délerminent les coefficients deviennent alors, puisque, d'autre part, y = « ,

l a = ni'ik H- loB),

(il) y a^ 7?î[i = 1+ ^(Â + 2B + 2C),

1 m[i + 4n(A + B) = ^(A ^2Bh--aG).

On peut satisfaire à ces équations en prenant

£ étant fourni par la relation

et la hauteur de la marée à la surface aura pour expression

R = ioe\V.

Posons

et

11 viendra

Remarquons que le coefficient /.' est inférieur à un, car en considérant, comme nous l'avons fait, les jjressions comme positives,

442 CINQUIEME PARTrE. — CHAPITRE XVIII.

on a

Si la sphère était entièrement incompressible, on aurait n = o et, par suite. A' = i ; on retrouverait bien pour la hauteur de la marée l'expression

qui convient à une sphère liquide.

La hauteur de la marée est donc plus faible j)our une sphère solide que pour une sphère liquide.

2G2. Marées dune couche liquide recouvrant un noyau solide élastique. — Nous considérerons seulement la marée staticpie, en négligeant, à cause de la différence des densités, l'influence du bourrelet liquide; mais il faudra tenir compte du bourrelet solide, d'où provient le potentiel V". En désignant par R' la hauteur de la marée liquide absolue^ nous aurons donc, V étant constant.

Nous avions, d'autre part, pour la marée du noyau,

k VV /- W

d'où

Mais donc

ff-

-R = V"+AW.

La marée observée sera la différence R' — R de la marée liquide absolue et de la marée du nojau ; elle sera donnée par

^(R'-R) = (i-/OW.

Si le noyau était un solide invariable, on aurait k = o, et la

marée relative, égale dans ce cas à la marée absolue, serait — •

Dans le cas général, la marée relative est donc égale à la marée

sur noyau invarial:)le multipliée par i — k\ elle est, par suite, diminuée.

263. Marées dans le cas d'un noyau constitué par un fluide incompressible et très visqueux. — Supposons maintenant qu'au lieu d'une sphère élastique, nous ayons un noyau sphérique formé d'un lluide visqueux. Soit v le coefficient de viscosité.

En posant toujours mo :=/», o étant infiniment petit, les composantes des pressions seront

^ d du

d 1 du dv \ ^■'-' = ^'d't\d}^d^)'

et l'on aura pour l'équilibre

dp du d\

dx dl dx

En supposant une marée isoclirone, on aura

\ étant purement imaginaire, et, par suite,

du

—r- = KU.

dt Alors les équations du problème seront

dp , dW

dx dx

Nous retrouvons donc exactement les mêmes équations que dans le cas d'un noyau solide incompressible, avec celte seule différence que n est devenu purement imaginaire. Pour avoir alors les expressions du coefficient /.• et de la hauteur de la marée, po-

3,8vX

— - — = i [iïW'r,.

11 viendra

/{ = : = —r—. = cosr, e'

I — i langTj cosr, — f ^in r,

De même, à un facteur constant près, nous avons

W = e^i, d'où, pour la marée du noyau,

GR = cos-r] e'0+>^'.

Si l'on compare celte marée à celle d'une sphère entièrement liquide, on voit donc que l'amplitude est multipliée par le coefficient de réduction cosTi, et qu'il y a une différence de phase égale à T|.

Si nous imaginons maintenant cpie ce noyau visqueux est recouvert d'une couche liquide, la marée relative de cette couche sera donnée par

On a

I — /.- = e"i(e^'0 — cos-rj) = — i sin r^ e'A = sinrj e ' ' .

Donc

^(R — R ) = sinT] e ' ' ' Le coefficient de réduction est ici siurj et la différence de phase

Le cas d'un noyau constitué par un solide imparfait, à la fois élastique et visqueux, a été également traité par Darwin : le coefficient n est alors complexe.

SIM. Résultats numériques. — Pour c[ue la viscosité du noyau produise un effet sensible, c'est-à-dire, par exemple, pour que (x soit de 45", il faudrait que l'on ait un coefficient de viscosité égal à 3i3. lo'** s'il s'agit d'une marée semi-diurne et à 83oo. lo'" s'il s'agit d'une marée semi-mensuelle.

Or, le coefficient de viscosité de la poix est seulement de I ,3. lo^.

Au contraire, si l'on suppose le noyau constitué par un corps élasticjue, le calcul donne pour la réduction de la marée apparente une valeur très notable. En attribuant au noyau terrestre la rigidité du verre, on trouve que la marée, comparée à la marée sur noyau invariable, deviendra 0,398; elle deviendrait 0,6^9 pour une rigidité égale à celle de l'acier.

MARÉES DU NOYAU INTERNE l>U GLOBE. 445

26o. Dans loute la théorie précédente, nous avons négligé l'inertie et la force centrifuge composée. On est en droit de le faire lorsque la période d'oscillation contrainte est beaucoup plus longue que la période d'oscillation propre. Or, il s'agit ici d'une sphère entière et nous avons vu, par l'analyse des travaux de M. Hough, que, dans le cas d'une mer liquide, les périodes d'oscillations propres sont d'autant plus courtes que la profondeur est plus grande. Pour la sphère tout entière, les périodes d'oscillations propres seront donc très courtes. 11 est, par suite, légitime de traiter les marées du noyau, même à courte période, comme des marées statiques; et comme, d'ailleurs, des courants permanents ne peuvent prendre naissance dans cette masse rigide, les marées du noyau seront des marées statiques de la première sorte.

266. Comparaison des résultats avec les observations. — La théoine des marées semi-diurnes ou diurnes de l'écorce terrestre n'était pas, jusqu'à ces dernières années, assez a\ancée pour qu'on pût en tirer des conclusions précises. Dans ses recherches antérieures sur ce sujet, M. Darwin a donc du s'adresser aux marées à longue période, en particulier aux marées semi-mensuelles.

Supposons c|ue la marée théorique soit donnée par

A COS( jJl^ -i- £ j,

et la marée observée par

xX co^dxt -\- e) -\- y X ë\n ( [j. t -\- z) :

X donnera la diminution d'amplitude (t\. y le retard de [)iiase; par suite, X mesurera l'élasticité et j^ la viscosité du noyau.

En traitant un grand nombre d'observations par la méthode des moindres carrés, Darwin a trouvé

, 37=: 0,675, erreur probable : d=o,o5f)

y = o,o.>.0, » dzOjOS")

Nous ne sommes donc pas surs du tout que le noyau terrestre présente une viscosité quelconcpie. Le coefficient de réduction est exactement celui que fournirait la rigidité de 1 acier, résultat qui est peu favorable à l'hypothèse d'un noyau interne fluide.

Si l'on tient compte uniquement des marées de l'Inde, on

obtient

jK = o,i55,

ce qui corresjoondrait à une rigidité bien supérieure à celle de l'acier.

De plus, il faut remarquer que Darwin a fait porter ses comparaisons sur les marées statiques de la première sorte. Or, d'après les travaux de M. Hough, le frottement serait assez faible pour qu'on doive prendre les marées statiques de la deuxième sorte, qui sont notablement plus faibles que celles de la première. On trouverait alors que la marée observée est, au contraire, trop grande. Il est difficile d'en tirer une conclusion bien certaine ; toutefois, l'observation des marées océanicjues à longue période semblait prouver que le noyau terrestre est beaucoup plus invariable que l'acier, et qu'il n'y a pas de marée interne du tout. Les mêmes calculs repris par Darwin avec des données plus récentes ont conduit à d'autres conclusions, la rigidité du globe semblant voisine de celle de l'acier. Depuis, Heckert a opéré d'une autre manière. Il a observé à Potsdam, au fond d'un puits profond, les déviations d'un pendule horizontal sous l'influence de la Lune et du Soleil. Les résultats des expériences correspondent à une réduction d'un tiers, c'est-à-dire que les marées du nojau terrestre seraient les mêmes que si le globe était en acier. Nous remarquerons ici que le calcul des paragraphes 256 et suivants a été fait en regardant les marées comme statiques et négligeant la force centrifuge composée. Cela était légitime parce c[u'il s'agissait de la vérification des expériences de Darvin et des marées à très longue période. Il semble qu'en ce qui concerne les marées à courte période observées par Heckert, l'influence de la force centrifuge composée ne sont pas non plus très grande.

267. Relation générale entre la marée océanique et le potentiel perturbateur lorsqu'on tient compte de la déformation de la Terre. — En supposant le nojau terrestre constitué par un solide invariable, nous avons établi au pai^igraphe I3i la formule générale

da

dans laquelle N représente la composante du déplacement suivant la normale intérieure à l'élément de surface dn d'un volume liquide quelconque.

Lorsque nous considérions un volume liquide limité par une portion du l'ond de la nier, la valeur de N sur cette partie de la surface limile était constamment nulle. Il n'en sera plus ainsi, puisque nous admettons que le fond lui-même est soumis à des marées. Vojons alors quelle conséquence on peut tirer de la formule générale.

Pour conserver les notations employées dans les précédentes Parties, désignons par ^ la marée observée et par Ç la marée du globe solide, ces quantités étant comptées positivement vers le bas, dans le sens des z positifs. La dénivellation absolue de la surface de la mer, comptée positivement dans le même sens, sera alors X^-\-X^ et nous aurons, avec les notations du présent Chapitre, les relations de concordance

Représentons toujours par V" l'accroissement de potentiel dû à la déformation du globe solide, les mers conservant leur profondeur, et par FI" le potentiel provenant du bourrelet liquide de hauteur^. Nous aurons, à la surface libre,

X"-ç = gii + t!)-^ V"+ II" -H w.

Considérons alors l'intégrale

ch

étendue à tous les éléments de la surface d'un \olume li(pinle limité par une courbe quelconque tracée sur la surface libre, par le fond et par la surface latérale d'un cône ayant pour directrice cette courbe et pour sommet le centre de. la Terre ; cette dernière surface n'existe d'ailleurs pas lorsque le volume liquide considéré com[)rend un bassin océanique tout entier.

Ce cas est le seul c[ui nous intéresse, et nous aurons à distinguer deux [)orlions dans l'intégrale. Nous aurons, iruiic pari, à la surface libre,

et, d'autre part, au fond,

Comme d'ailleurs o est constant sur une même verticale (§ 137),

on a

ch

Remplaçons z> par sa valeur; les termes en ^ 77 et H" ^ étant les

dérivées de fonctions périodicpes auront des valeurs moyennes nulles (§ 136), et il restera la relation

dtj

Or, la marée du noyau solide pouvant se traiter comme une marée statique, nous avons (§ 2o9) pour chaque composante isochrone

r^W'- V"; ^ et TTy sont donc constants, et nous pouvons poser

D'où la formule générale

l'intégrale étant étendue à tous les éléments de la surface libre.

Si le noyau terrestre était constitué par un solide parfaitement élastique, il n'y aurait pas de différence de phase entre la marée du novau et le potentiel (§ 261) ; par conséquent, le coefficient a serait réel. On retombe alors sur la formule ordinaire

dt

Mais, si le noyau terrestre présente un certain degré de viscosité, la constante a ne sera plus réelle, et sa partie imaginaire représentera la mesure de la viscosité. Considérons alors deux composantes isochrones imaginaires conjuguées, de telle sorte que W

dX,

et -77 soient de la forme dt

W = Wo + Wo = ^0 e' + Po e-'-^,

d^ d>:o d^Co :>, , —

di^lâ ^117 =''''' -^'i''

^0, (^0 ainsi que yo? yo étant respectivement imaginaires conjugués. Nous aurons

Or, nous avons

[e2>-'] = [e-2Xf] =0.

Il reste, par conséquent,

[w^]=Po>+^To=2èîl(po>),

en désignant parle symbole <;fl(X) la partie réelle de la quantité complexe X, Mais

On a donc finalement

<îîi(i+a) y

Nous obtenons ainsi une relation à laquelle doit satisfaire a; Wq représente la composante en e'-^ du potentiel, et ^0 la composante en e~^^ de la marée correspondante.

Si donc on avait observé 'C, en tous les points, on pourrait calculer la précédente intégrale et reconnaître ainsi si le noyau terrestre présente de la viscosité.

45o CINQUIÈME PARTIK. — CHAPITRE XIX.