APPLICATION DES PRINCIPES GÉNÉRAUX AU PHÉNOMÈNE DES MARÉES
Pour avoir Hq, il nous suffit d'ajouter"^^ Ainsi
Ho= (u'clm-i-- fu"dm-i-— ( (x^-^Y-)dm. Posons
G est le potentiel dû à l'attraction de la partie invariable limitée par la surface d'équilibre S, plus le potentiel dû à la force centrifuge : c'est donc le potentiel qui engendre la pesanteur. Nous avons alors
Ho = / G dm H — / n" din^
nos intégrales s'étendant uniquement au volume t" du bourrelet, parce qu'on a pu supprimer également la partie constante du moment d'inertie.
Considérons le premier terme de Hq. Soit Gq la valeur de G sur la surface d'équilibre S; c'est une constante sur cette surface. Prenons un pointa une distance "Q de sa position d'équilibre comptée positivement vers le bas; comme ^ est toujours petit, le potentiel
sera devenu
G = Go+^C,
g étant l'intensité de la pesanteur, qui est constante si nous négligeons l'aplatissement.
Le volume total du bourrelet étant nul, on aura, puisque la densité est I dans -",
/ Go dm = / Gi) dz ^: Gq I dz = o.
Le premier terme de Ho se réduit donc à »■ / t^ch.
Pour évaluer r/-, prenons sur la surface S un élément do- et élevons sur cetle base un petit cylindre que nous découperons en petites tranches de hauteur «i^ (J^o- 2). Nous aurons
dx = d(j d^,
gJ-C d- = gj\h ç ^^ = f Jr,' d^.
5o PREMIKIIE PARTIE. — CHAPITRE 11.
Donc, le premier terme de Hq sera- /^-«r/o-, d'y étant un élément de la surface d'équilibre S et (^ la valeur correspondante de l'abaissement vertical dû à la marée.
a do- b
Occupons-nous maintenant du second terme, celui qui correspond à l'attraction du bourrelet sur lui-même. Nous pourrions considérer deux éléments de volume 'C^di^ X^drs' et calculer l'intégrale double
r étant la distance des deux petits cylindres, c'est-à-dire des deux éléments f/o-, d<y' de la surface. Mais il est plus commode de décomposer en fonctions sphériques.
On sait qu'une fonction quelconque Ç à la surface de la sphère peut se décomposer en fonctions sphériques, sous la forme
A.,, étant un coefficient et X„ une fonction sphérique d'ordre n. Si X„ et X^ sont deux fonctions sphériques d'ordre différent, on a la relation générale
l'intégrale étant étendue à tous les éléments <:/o- de la sphère.
Nous pouvons supposer de plus que nous ayons choisi nos fonctions de telle sorte que
\l dij = i.
Si nous considérons chaque élément de masse ïi^i^/o- comme concentré sur la surface, nous pourrons admettre que II" est le potentiel dû à l'attraction d'une couche superficielle dont la densité serait — "Ç- A. l'intérieur de la sphère. II" satisfait à l'équation de
Laplace
An" = o.
APPLICATION DI<:S PRINCIPES GÉNÉRAUX AU PHÉNOMÈNE DES MARÉES. 5l
On peut d'ailleurs le décomposera l'inlérieuren fonctions sphériques sous la forme
TT ' V C j.ll Y
r étant la distance au centre rapportée au rajon pris comme unité. Sur la surface, on aura, d'après un théorème connu,
c'est-à-dire, en faisant /" = i,
