i)B„X„ = -4tt^= — 47rSA„X
Nous aurons donc, en égalant les coefficients des fonctions sphériques de même ordre,
ce qui détermine les coefficients du développement de W" en fonction de ceux du développement de X^.
11 est alors aisé d'exprimer H,, en fonction des coefficients K,i. Effectivement, on a, d'une part,
puisque toutes les intégrales de la première somme sont égales à i, et que toutes celles de la seconde sont nulles. D'autre part, on a de même
fil" dm = fw'ld^ =^\„Bn fxidrs ^^(\^n^,^ A,,B„) Cx^X^di
.^ J^ in -+- I
Il en résulte que
Or, :^' est la pesanteur à la surface. Le volume de la Terre étant — , si D est la densité moyenne, la masse sera '^ — ; il faut la diviser
52 PREMIERi: PAltTIE. — CHAPITRE II.
par le carré du rayon pour obtenir g\ par suite,
4tcD
Donc, finalement,
lorsqu'on suppose g constant, c'est-à-dire en négligeant l'aplatissement.
Remarquons que, la fonction sphérique d'ordre zéro étant une constante, son coefficient Aq devra être nul. En effet, l'invariabilité du volume des mers impose la condition
qui peut s'écrire, puisque AoXq est une constante,
2 t AoA„ j XoX„ <ia = o.
Toutes les intégrales pour lesquelles n yé. o étant nulles, il reste simplement
A 5 / f/cT = o,
d'où
Ao= o.
Nous verrons plus tard que A, est généralement très petit. C'est le terme en Ao qui est le plus important. Comme D = 5,5, on a sensiblement
/5 5 I (6) Ho=27tA?(2i__^
Le second terme est donc environ 9 fois plus petit que le premier. Nous pourrons souvent le négliger, c'est-à-dire négliger l'attraction du bourrelet sur lui-même, l'ordre de l'erreur commise de
ce fait étant environ — •
29. Expression du potentiel des forces perturbatrices. — 11 nous faut étudier maintenant les quantités Q qui définissent les forces extérieures. Nous savons (§2) que SQo^ représente le travail
APPLICATION DES PRINCIPES GKNERADX AU PHENOMENE DES MAREES. o3
virtuel des forces extérieures lorsqu'on fait subir aux paramètres q des déplacements virtuels oq.
Les forces extérieures qui interviennent ici sont d'abord l'attraction des astres : Soleil et Lune. Mais ce ne sont pas les seules; comme nos axes de comparaison, au lieu d'être fixes, sont animés d'un double mouvement, il faut également considérer les forces fictives correspondantes : force d'inertie d'entraînement et force centi-ifuge composée de Coriolis. Le mouvement de rotation des axes est le seul qui introduise une force de Coriolis, et nous avons déjà tenu compte de cette force par l'adjonction du terme H, ; il n'j a donc pas lieu de la compter dans les forces extérieures.
Quant aux forces d'inertie d'entraînement, il faut distinguer celle qui est due au mouvement de rotation des axes : c'est la force centrifuge ordinaire dont on a également tenu compte par le
terme '^-^- Il reste donc à considérer uniquement la force d'inertie
d'entraînement dans le mouvement de translation des axes autour du centre de gravité de l'ensemble formé par la Terre et l'astre attirant; et cette force peut aisément s'adjoindre àlaforce d'attraction elle-même.
En eflet, soit P le potentiel des astres au point considéré de masse dm\ appelons — Pôle potentiel des forces fictives en ce point, de telle sorte que
(7) ^ Q ô^ = 5 Ç ? dm — 0 r Po dm = 0 f (P — Pq) dm.
Le potentiel P peut se développer suivant les puissances croissantes des coordonnées a:, y, z du point considéré :
P = A-i-Ba--t-Gj'H-Dz-t- Ex-^^. ...
Les composantes de la force réelle seront
dP , dP , dP , —f—dm., —r- dm., —^ dm.
dx dy dz
Quelles seront celles de la force fictive? L'accélération d'entraînement est l'accélération prise par le centre de la Terre sous l'ac-
, , , . dP dP dP
tion dos astres; ses composantes seront les valeurs de -;— > — r-? — r-
^ dx dy dz
relatives à ce centre, c'esl-à-dire pour x =y ^ z ^ o.
Par conséquent, les composantes de la force d'entraînement
sont
B dm, C dm, D dm,
et son travail virtuel oPo di7i sera
oFo dm = ( B 0J7 -H G 0^ -l- Do:;) dm.
11 en résulte, le choix de la constante étant arbitraire, qu'on a (8) Po= A -hB^f + Cj'-h D^.
Po n'est donc pas autre chose que l'ensemble des termes de degrés o et 1 de P.
Calculons P. On a
Y- étant la masse de l'un des astres attirants et r la distance du centre de cet astre à l'élément dm de la surface terrestre.
Fis. 3.
Considérons, par exemple, la Lune; soient O le centre de la Terre et a le rayon OM {fig- 3). Nous avons, en appelant pla distance OL
et CD l'angle MOL,
/■^ = a-i-f- p2 — lao cosu.
Déveloi^pons - suivant les puissances croissantes de - :
I I acosœ a- {"t) co?,'^ o — i) r p p- 1 ps
D'où, en négligeant les termes en —,
. . p 'V^ \^ "V^ [jt.acoscp ■^ [Jia^fS cos-cp — i)
^^' ~ Z^ "p '^ Zmk p2 ^ ^ '^i
Les trois termes du développement sont respectivement de de-
APPLICATION Di;S PRINCIPES GENERAUX AU PHENOMENE DES MAREES. 00
grés o, I et 2 eux, y, z; les deux premiers représentent donc Pq et l'on a
(lo) P— P„=y ':^"(3cos2-o
Considérons le trièdre formé par les trois vecteurs menés du centre de la Terre à l'astre, à dm et au pôle; il nous fournit la
relation
cosç = cosS cosO -+- sino sin 6 cos y,
6 étant la colatitude du lieu, ù la distance polaire de l'astre et y l'angle horaire de l'astre par rapport au lieu ; on a, d'ailleurs,
(ji étant la vitesse angulaire de rotation de la Terre, (1/ la longitude du lieu et /R l'ascension droite de l'astre.
On voit que coscp est un polynôme du premier degré en cosy. 3cos-cp — I sera donc un polynôme du second degré en cosy, par suite un polynôme du second degré en e'T et e~'ï.
Par conséquent, l'expression
F — Po = -a-sin^O 7 -- sin^ o ces 2 y
(11) < +-«2511120 7 •^— sinsocosY
[ H — — (Scos^O — 1)7 -^(ocos^ô — i)
du potentiel des astres en un point déterminé, de coordonnées 0, 6, pourra se mettre sous la forme
P-Po=V Vcï^e-s/y.
Le premier S est relatif aux différents astres; s est un nombre ■entier pouvant prendre les valeurs o, rb i , rt 2 ; les coefficients <1> dépendent des distances polaires 0 et des distances 0 des astres, ainsi que de la colatitude 0, mais pas de la longitude ni des ascensions droites.
En remplaçant V par sa valeur, on aura, pour un astre considéré
isolément,
P Pq = ^ ipg—siM. gsi(x>t+sii\i^
<ï>e^^'^, qui est une fonction de la colatitude et du temps, pourra se développer en une série trigonométrique dont le terme général sera Be~'f^'', B n'étant plus fonction que de la colatitude et pi étant petit par rapport à oj, parce que le mouvement de l'astre est beaucoup plus lent que la rotation de la Terre.
Par suite, '
(12) P — P(, = V ei/w<+5i^'V Be±'>< = ^ Bes^'\'+'>^f,
en posant
siuj zh t[i..
D'après (i i),
on voit qu'on
aura
pour
B r-u sinsô
B r-^ sin^e
JNous obtenons ainsi le développement du potentiel de l'astre au point 6, '1» considéré.
En considérant alors la variation ô(P — Po)^dp, on aura les coefficients Q correspondant aux déplacements virtuels ^q des paramètres q relatifs à ce point.
Finalement, l'expression SQ8^ étendue à tout le système se trouvera développée aussi en une série de termes contenant en facteur e^^, A pouvant avoir les valeurs
ii^Aùàzix), i( — •itozhjj.),
30. Classification des différents termes. — Nous avons donc trois catégories différentes de termes.
Si nous considérons les valeurs de la première ligne, comme [x est petit par rapport à to, nous aurons des termes pour lesquels ). sera très voisin de zoii ou de — 200^', c'est-à-dire des éléments isochrones imaginaires conjugués dont la période sera voisine de I 2 heures : il en résultera des marées semi-diurnes.
