ÉTUDE DES MARÉES A LONGUE PÉRIODE
31. Dans le cas d'une marée à longue période, k est très petit, et nous pourrons considérer tout de suite le passage à la limite, c'est-à-dire le cas d'une marée statique.
Nous savons alors (§ 26) que, s'il j a frottement, la limite sera une marée statique de la première sorte ; nous n'envisagerons que ce cas pour le moment.
Les résultats sont différents, suivant qu'on considère le globe comme entièrement ou partiellement recouvert par les mers, suivant aussi qu'on néglige ou non l'attraction du bourrelet.
32. Nous avons vu (§23) que, pour une marée statique de la première sorte, les équations du problème sont
Ajoutant les équations relatives à tous les paramètres, on a
ÔHo+S f(P — Po)^d(j = o.
Calculons ôHq. Nous savons (§ 28) que
les coefficients A^ étant ceux du développement de J^ en fonctions sphériques,
ÉTUDE DES MARÉES A LONGUE PÉRIODE. 6l
On en déduit
Mi
parce que les deux intégrales du second membre sont égales en vertu de la théorie du potentiel.
Nous avons, par suite,
mo=f(U"-^S'i:)St:d<y = ^7z^K8k,,(j-^^^^y
Occupons-nous maintenant de P — Pq. En se reportant au développement du potentiel, on voit que pour le terme à longue période considéré, de vitesse angulaire |).j, P — Pq sera de la
forme
P — Po:::^ R(3cos2 6 — i) cosilt,
R étant une constante proportionnelle à <2-[j..
3cos-9 — I est, au facteur - près, le polynôme de Legendre du second ordre; et, en remarquant que
r(3cos2 6 — i)2c^a = ^,
nous pourrons poser
3cos2e — 1 = 4/^X2,
la fonction sphérique Xo répondant bien à la condition
fxi d^ = i.
Si nous posons maintenant
R costlt l / — r = G,
nous aurons
F - Po = GX2.
D'où
l C iP—PoKd<j= TcXoG^^fa
En ajoLitant à cette variation celle de Ho, nous avons alors pour la condition d'équilibre
(n" + ^C^GX,)8Cf/a = o,
équation qui doit être satisfaite pour toutes les valeurs possibles de ô(:^.
Dans le cas où la mer recouvre le globe entièrement, o^ n'est assujetti qu'à une seule condition, c'est que le volume total de la mer reste invariable; on doit donc avoir également
Ces deux équations ne peuvent être satisfaites en même temps
que si l'on a
n"-t- ^C + 0X2= const.,
c'est-à-dire, en remplaçant H" et ^ par leurs développements en fonctions sphériques (§28),
4^/ — '- :^)yA„X„+CX, = o,
la constante du second membre étant prise égale à zéro, parce qu'on peut toujours ajouter une constante à U" .
Or, les A/( ne sont assujettis qu'à la condition d'invariabilité / t,d(7 = o qui, ainsi que nous le savons déjà, se réduit à Aq = o.
Tous les autres coefficients étant arbitraires, il en résulte que l'équation précédente est une identité. On en tire donc A„ = o, sauf pour /i ^ 2, et
d'où
La variation de niveau due à la marée considérée sera donc GX2 R(3cos2e — i)cosA^
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La surface troublée s'obtiendra en portant sur toutes les normales à la surface d'équilibre des longueurs proj3ortionnelles à 3cos-Q — 1 : on obtiendra ainsi un ellipsoïde de révolution, dont l'aplatissement varie proportionnellement kcosiXl. La marée sera d'ailleurs nulle sur les deux parallèles de rb 35° environ, correspondant à 3cos-8 — I = o.
Le problème est dans ce cas complètement résolu, même en tenant compte de l'attraction du bourrelet.
33. Influence des continents. — Dans le cas où la mer ne recouvre pas tout le globe, la présence des continents introduira de nouvelles liaisons, les A,i ne seront plus quelconques et l'équation à laquelle nous sommes parvenvis ne sera plus une identité.
Sur les continents, nous devrons avoir
Ç = o, par suite o^ = o.
Les variations o^ sont donc assujetties maintenant, non plus à une seule condition, mais encore à la condition o(!^ = o sur toute la surface des continents. Il en résulte que l'équation d'équilibre
n" + é'Ç + cx2)o^rf^ = o,
où l'intégrale est étendue à la surface des mers seulement, doit être une conséquence de
0^ du — o
sur l'ensemble du globe et de
SÇ = o ■
sur la surface des continents.
On doit donc avoir encore
n"-+- ^Ç -t- 0X2= const.
à la surface des mers, et, à la surface des continents,
Le calcul serait très compliqué et conduirait à des conclusions
fort complexes si l'on voulait tenir compte de l'attraction du bourrelet. Mais, si nous admettons qu'on puisse négliger II", on aura
^Ç = — GX^-f- const., d'où
R cos/X;(3 cos- 6 — i) K
/(TtD 4-D
K étant une constante.
La nouvelle surface d'équilibre sera encore un ellipsoïde, puisque la marée ^ comprend encore un terme proportionnel à X2.
L'introduction du terme constant revient à considérer, au lieu de la sphère entièrement recouverte par les mers, une sphère de rajon légèrement moindre, la différence représentant le volume des continents au-dessus des eaux; et l'ellipsoïde limité par la surface troublée aura même volume que cette sphère réduite, mais non pas que la sphère limitée par la surface d'équilibre supposée prolongée- sous les continents {fig- 4)-
Fig. 4.
En effet, si nous considérons la surface d'équilibre et la surface déformée, ce sont les volumes à Vextérieur des continents qui doivent rester égaux ; mais les portions sous les continents n'entrent pas en ligne de compte et ne sont pas égales en général.
Comment calculerons-nous la constante K? De manière que le volume total des mers reste invariable. La condition est
/ Ç <ia = o,
ÉTL'DK DliS .MAKKI-JS A LOXGUI-; PÉRIODE. 65
c'est-à-dire, en remplaçant Ç par sa valeur,
R cos i\f. I (3 cos- 6 — i ) rfa -+- K / di = o.
Appelons il la siirCace totale des mers,
et posons
/ ( 3 ros2 0 — 1 ,1 rf(T = — E £}.
Nous aurons alors
K = RE cosA?
et
.^ R ( 3 cos- 6 — I -4- E ) cos il t
^ ^ TtTd
On \oit que lintrodaclion du terme E change la valeur des parallèles pour lesquels la marée l'este nulle.
Pour calculer E, il suffirait de connaître la distribution des continents ; la loi de profondeur des mers n'intervient pas. Or, la répartition des continents est parfaitement connue, sauf dans le voisinage i\\\ pôle antarctique, f^e calcul a été fait dans deux hypothèses, et l'on a trouvé
E — o,oo 486
dans le cas d'une mer lil)re,
\i = o,oi 520
dans le cas d'un continent.
L'obser\alion des marées à longue période aurait donc permis théoriquement de décider de l'existence d'un continent antarctique, lacpielle n'est plus douteuse actuellement; malheureusement cette observation présente, en pratique, de très grandes difficultés.
31. Si l'on voulait tenir com|)le à la fois des continents et de l'attraction du l)ourrelet sur lui-inéme, le problème se poserait ainsi : il faudrait trouver une fonction II" qui satisfasse, à l'inté- P. - III. 5
