CHAPITRE lY

3o. Il s'agit ici de trouver les composantes des oscillations contraintes correspondant aux deux premiers termes du développement de P — Pq (§ ^29). Pour cela, il est nécessaire de recourir aux équations de l'Hydrodynamique.

Soient dm l'élément de masse correspondant à l'élément de volume dx; ILdm, Ydm^ Zdm les composantes de la force extérieure appliquée à cet élément; p la pression. On a, dans le cas de

l'équilibre,

dm dp dz dx

et, si la densité de l'eau de mer est prise pour unité, les équations de l'Hydrostatique s'écrivent

dx dy dz

Pour passer aux équations de l'Hydrodynamique, il suffit d'introduire la force d'inertie.

Soient x^ y^ z les coordonnées de la molécule dans sa position d'équilibre ; x -\- u., y -^ v^ z -{- w les coordonnées de cette même molécule dérangée; m', c', (t' les composantes de sa vitesse. Nous savons qu'on peut donner aux équations deux formes différentes, celle d'Euler et celle de Lagrange.

Si, comme l'a fait Lagrange, nous prenons comme variables les coordonnées initiales de la molécule et le temps t, c'est-à-dire si nous considérons la molécule dont les coordonnées initiales :r, y, :: sont actuellement devenues x -h ii, JK + *', z -\- (v, les composantes de l'accélération sont simplement

du' dv dw' W 'dt^ ~~dt '

68 PRESIIKKE l'AKTIK. — CHAPITRE IV.

Si, au contraire, nous considérons avec EulerJa molécule dont les coordonnées actuelles sont x^ y^ c-, la vitesse à l'instant/ considéré sera une fonction de x, y^ ; et ^ et la composante de l'accélération suivant Ox sera

c'est-à-dire

du' du' dx du dy du dz dt dx dt dy dt dz dt

du du , du! I du' dt dx dy dz

Mais, dans le cas des marées, il n'y a pas de pareille distinction à faire. Les déplacements u^ r, (V^ sont, en effet, toujours très petits ainsi que leurs dérivées : l'accélération de la molécule dont les coordonnées actuelles sont x -\- «, y + r, z + n- et celle de la molécule dont les coordonnées actuelles sont x^y^ z ne différeront que par des quantités du second ordre, toujours négligeables, et

nous pourrons indifféremment représenter l'une ou l'autre par — r-

Alors, en tenant compte de la force d'inertie, la force tolale applicjuée à l'élément <lni sera

et les équations de l'Hjdrodvnatnique seront

d- u dp dt - dx

d- (' dp

~ TÎF ^ d^' d- w dp

dt- " dz'

Tl faudra, en outre, leur adjoindre l'équation de continuité

Vdu

^^ dx

et les équations résultant des conditions aux limites : le déplacement u^ r, w ne peut avoir de composante normale le long de la

ÉTUDE nES MARÉES A COURTE PÉRIODE OU MARÉES DYNAMIQUES. 69

paroi, et sur la surface libre on doit avoir

p = const.

36. En raison des difficultés que présente le problème considéré dans toute sa généralité, nous procéderons par étapes successives en traitant une série de cas de plus en plus compliqués.

Nous nous occuperons d'abord des oscillations d'un licjuide pesant dans un vase, en négligeant la courbure de la Terre, la force centrifuge composée et l'attraction du bourrelet sur lui-même.

En second lieu, nous aborderons les oscillations d'un liquide recouvrant une sphère non tournante, c'est-à-dire que nous tiendrons compte de la courbure, mais nous négligerons encore la force centrifuge composée.

Ensuite, nous étudierons les oscillations d'un liquide dans un vase tournant, c'est-à-dire que nous négligerons la courbure, mais en considérant cette fois la force centrifuge composée.

Enfin, nous tiendrons compte de tous les éléments du problème en étudiant les oscillations d'un liquide pesant recouvrant tout ou partie d'une sphère tournante; même, dans certains cas, nous verrons quelle peut être l'influence de l'attraction du bourrelet.

37. Oscillations d un liquide pesant dans un vase. — Nous avons trouvé les équations fondamentales

du>

dfi

d- (ï' dt'-

u^ i\ n'étant les composantes du déplacement; }L(/m, Ycli/i, l^dm celles de la force appliquée à l'élément c/m ; p la pression; la densité du liquide étant prise d'ailleurs pour unité.

Nous supposerons la force X, Y, Z soumise à un potentiel V,

X dx -t- Y dy -\- Z dz = d\ .

Ce potentiel se compose ici du potentiel dû à la pesanteur et de celui des forces extérieures. I^a pesanteur n'est pas une force

troublante, c'est elle qui engendre Hq ; on peut prendre son potentiel égal à gz en comptant les z positifs vers le bas.

Les forces extérieures se réduisent à l'attraction des astres; cette attraction est soumise à un potentiel P — Pq qui, ainsi que nous le savons, dépend du temps. Considérons un des éléments isochrones du développement de ce potentiel, et posons

C est une fonction connue de x^ JK? ^•

Les équations du problème s'écrivent alors

dU'

(ly

d-^w dfi

Sous l'influence des forces extérieures, le liquide du vase prendra des oscillations contraintes ; par conséquent, les composantes u^ (^, (V du déplacement, qui jouent ici le même rôle que les paramètres q relatifs à un système de points discrets, seront proportionnelles à e^^. Nous aurons donc, qu'il s'agisse d'ailleurs d'oscillations propres ou d'oscillations contraintes,

d'^ u ^ d'-v . d- iv

df^ df^ ' dt-

et les équations deviendront

ClZ

\'^ étant essentiellement négatif.

Si maintenant nous posons

ÉTUDIi: DES MARÉES A COURTE l'ÉRIODE OU MVUKES DYNAMIQUES. 7I

les équations du problème prendront la forme simple

do d'y

On voit que '^ est un potentiel analogue à un potentiel des vitesses : c'est une fonction de .c, 7, s, multipliée par le facteur e^' qu'il nous arrivera parfois de sous-entendre dans ce qui suit.

Quant à l'équation de continuité, elle s'écrira

A désignant, comme d'ordinaire, le laplacien de la fonction <p. C3 devra satisfaire à celte dernière équation en tous les points à l'intérieur du vase ; mais, en plus, cp devra satisfaire aux conditions aux limites.

Quelles seront ces conditions? Il nous faut distinguer entre les parois et la surface libre.

En un point quelconque des parois, le déplacement doit être tangent à la surface de la paroi; donc

a, [3, y étant les cosinus directeurs de la normale. Par suite, la fonction cû est assujettie sur la paroi solide à la condition

do ,do do

a — !- H- ;i — ^ -^ Y -7^ = o, dx dy ' dz

qui peut s'écrire encore

en désignant par dn le petit élément de la normale à la paroi dont les composantes sui\ant les axes sont respectivement dx, dy, dz. Sur la surface libre, la condition à remplir est que la pression /> soit égale à la pression atmosphérique. Nous devrons donc avoir

\ = const.

Or, quelle est la valeur de V sur la surface libre?

Soit Vq la valeur de V sur la surface d'équilibre, que nous prendrons comme plan des xy, l'axe des z étant dirigé vers le bas. On aura

C ayant une valeur connue au point considéré de la surface.

En ce point, élevons une perpendiculaire à la surface d'équilibre jusqu'à sa rencontre avec la surface libre, et soit "Ç la longueur de cette perpendiculaire comptée positivement vers le bas; nous aurons

Or, nous pourrons prendre simplement

dz ~*'

car le potentiel des astres peut être considéré comme constant quand on passe de la surface d'équilibre à la surface libre. De plus,

r/'ii

"C, est la composante normale du déplacement; c'est donc -7^- Par suite, à la surface libre,

d'it ^ , et la condition à cette surface sera

car, 0 n'étant définie que par ses dérivées, la constante peut être supposée nulle.

Ainsi, la fonction es doit satisfaire aux conditions suivantes :

i" A. l'intérieur du vase, on doit avoir

Acp =: o ;

2" Sur les parois solides

dn '

3" A la surface libre

X^œ — -— ^ — Ge>-'=z o.

' ' az

S'il s'agit d'oscillations contraintes, a et C sont des données. S'il s'agit d'oscillations propres, \ est une inconnue à déterminer, mais C=:o, et la dernière condition se réduit à

38. Cas où la profondeur du vase est infiniment petite. — Nous avons le droit de taire cette hypothèse, parce que la profondeur de la mer est très petite par rapport à la longueur d'onde d'une ondulation de la marée. En effet, ou peut admettre pour la mer une profondeur moyenne de o"^'", tandis que la longueur d'une onde marée est comparable aux dimensions mêmes des bassins océaniques.

De même que précédemment, nous négligeons encore la sphéricité et la force centrifuge composée. Soit h la profondeur; ; est également très petit, et l'on peut développer 'o suivant les puissances croissantes de ^ :

cio, '-ûi, '^2' ■ • ■ étant des fonctions de x et de y, multipliées par e^-^. A quelles conditions devront satisfaire ces fonctions? A l'intérieur, ou devra avoir

Aç = o.

d- o cl- !

dx- dy-

'- = Acp,, -f- 3 Acpi -I- ;;- A'i., -+- .

donc

— — !- = y. (2., -!-():; o^i dz-

Atp = Acpu -f- •■'. «2 ^- ■:( A'^i + 6 '-03 )

les termes négligés étant du second ordre.

La condition Acs := o devant être satisfaite pour r ^ o, on devra avoir entre cp,, et cp^ la relation

(l) Ag,)-;- 2 03.) = o.

Au fond, nous aurons

d^ d'^ „ d^ do

dn dx dy dz '

a, 3, Y étant les cosinus directeurs de la normale au fond, ou des quantités proportionnelles à ces cosinus. Or, la surface du fond a pour équation

et les cosinus directeurs de la normale sont proportionnels à -r— ,

——et — I. La condition au fond s'écrit donc

do dli do dJi do dz dx dx dy dy

ou, plus simplement,

do 'V^ dh f/cp dz ~~ j^ dx dx

Maintenant

—j^ = O] + 2CO9 s,

en négligeant les termes en z- ; ce qui donne au fond, pour z = /i, et en tenant compte de ce que l'zt.^^ — Ac^o,

-ji = CD, — /î Acpodz ' '

Par conséquent,

, ^^ , yr^ dh do

Remarquons que, pour ; = /i, on a, en négligeant k-,

(icp r/cp,i do]

dx dx dx

r, . , v^ dh do , . doo , do

Far suite, dans 7 —, r^, nous pourrons substituer —- a v

.^ dx dx ^ dx dx

à condition toutefois de supposer que les dérivées de h sont également très petites. Sous cette réserve, la condition au fond nous

donne entre '^o et o, la relation

Reste la condition à la surface libre. On doit avoir (§ 37)

ce qui s'écrit ici, )DOur :: =r o,

ou, en tenant compte de (4),

Nous pouvons maintenant supprimer sans ambiguïté l'indice o, et nous voyons que le problème se ramène à la détermination d'une fonction es de a; et y qui, en tous les points de la surface libre, qui est une aire plane, doit satisfaire à l'écjuation (5)

' ' ~ * ^ dx \ d.vj ' 'i étant proportionnel à e'', on a, d'ailleurs, dans tous les cas,

^ dt^ '

Pour les oscillations contraintes, l'équation du |)r()l)lème sera donc

Pour les oscillations propres, celte équation sera

' ' dV- ^ ^^ d.r \ dx

La fonction ci devra, en outre, satisfaire aux conditions aux limites de l'aire plane.

Si le vase se termine par des parois \erticales, sur ces parois

les dérivées de h sont infinies et, par suite, les équations (6) établies dans l'hypothèse où ces dérivées sont très petites ne subsistent plus; mais la condition aux limites est très simple, la normale à la paroi se trouve dans le plan même delà surface libre, et l'on devra avoir

Si, au contraire, la paroi est inclinée, cette condition ne donne plus rien, car il faudrait introduire la dérivée de o par rapporta z. La condition aux limites est alors que o devra rester fini. A première vue, cette condition peut paraître superflue, mais elle n'est cependant pas remplie d'elle-même. Supposons, en effet, que cp et II dépendent de x seulement; l'équation (6 bis) des oscillations propres se réduit alors à

n es H- /i CD = — m.

Cette équation différentielle linéaire du second ordre admet, par hypothèse, une solution finie, mais elle en admet deux distinctes, et la seconde peut ne pas être finie. Soit 'h cette seconde solution,

Entre cp et <\j existe donc la relation

h{o'<l — ^y^) = G; d'où

r dx

li — Co /

Or, © est fini par hypothèse ; sur le bord, h = o et, par conséquent, la seconde solution est infinie et ne saurait convenir. Il est donc bien nécessaire d'énoncer la condition.