Cas où la profondeur du vase est constante. — Les parois

seront alors verticales, et la condition aux limites sera -^ = o. ' an

Supposons qu'il s'agisse d'un vase recLangulaire, dont les parois latérales seront les plans {fig. 5)

et proposons-nous détudier les oscillations propres du liquidequ il renferme. Ii étant conslanl, l'équation [6 bis) se réduit à

On peut y satisfaire en prenant

Z) = cos eus — ; — e'-',

•j. et V étant des entiers.

Kig. 5.

Nous voyons d'abord que les conditions au\ parois seront rem-

,. ,,. do ,. . 'x-x 1

plies; en ettet, -t^» contenant en lacteur sin^ -, sera nui pour

' ' ^ dx a '

do

X = O el X ^ a: de inème. -p- s'annulera pour v = o el t = 0.

dy '

D'autre part, on aura

Ao =■

L écjuation du problème sera donc satisfaite si I on prend

A- = — gn-- > •^•

Il suffira de donner à 'x et v toutes les \aleurs entières possibles et l'on obtiendra ainsi toutes celles de a, qui sont purement imaginaires.

La fonction 's, correspondant à une des périodes d'oscillations propres étant ainsi connue, on obtiendrait facilement, d'après les

PRKMIERE PARTIK. — CHAPITRE IV.

formules du paragraphe précédent, la fonction cp, et, par suite, le déplacement vertical

<^2 / 0 ' ' ^^ dx \ dx I

d'un point de la surface d'équilibre. Le problème est donc complètement résolu.

Il nous reste cependant à montrer qu'il ne comporte pas d'autres solutions. Pour cela, décomposons le plan en une série de rectangles par des parallèles aux axes

.r = [Jia, y z= vb.

La fonction '-p n'est définie que dans le premier de ces rectangles. JNous la définirons dans tout le plan, par symétrie, en admettant que «3 reprenne la même valeur en des points également distants, de part et d'autre d'un côté. Si l'on considère un des axes de symétrie, des deux côtés de cette coupure, la fonction reprend la même valeur; elle est donc continue. Il en sera de même de ses dérivées d'ordre pair; tandis que ses dérivées d'ordre impair, changeant de signe, ne seront pas continues, en général, sur les lèvres de la coupure : seules seront continues celles qui s'annuleront sur la coupure. C'est précisément le cas de la dérivée première, puisque

— I. ^ o sur les côtés du premier rectangle.

dn ^ °

La fonction cû et ses dérivées premières et secondes sont donc continues dans tout le plan. Nous pourrons, par suite, développer cp, qui est essentiellement périodique, sous la forme

[x-KX •nzy