A COS COS

et nous pouri'ons différentier terme à terme deux fois, ce qui donne

Acp=2^(-"'2«^)^°^'^'"^

VTTJ b

Si nous substituons ces valeurs dans l'équation nous aurons

^ A. COS ^ COS ^ ( X2 + gh 712 2

et celte expression doit être identiquement nulle. 11 faut donc que tous les coefficients soient nuls, c'est-à-dire que

gfiT.^ 2

Par conséquent, ou bien tous les A sont nuls, auquel cas 9 est identiquement nul; ou bien \- est tel qu'il annule un des coefficients

Alors le coefficient A correspondant est différent de zéro; on peut le prendre égal à i , et tous les autres A sont nuls. Nous retombons ainsi sur la solution précédente.

Il n'y en a donc pas d'autre.

40. Interprétation des résultats précédents. Ondes stationnaires par réflexion. — On peut donner des résultats qui viennent d'être obtenus une interprétation facile. Nous avons trouvé que l'équation des oscillations propres d'un liquide contenu dans un vase

rectangulaire était

Si l'on suppose que cp ne dépende pas de y, cette équation se

réduira à

d'-^ d-'Si

C'est l'équation des cordes vibrantes. On sait qu'elle admet pour solution générale

1^ — ¥ { t — ar)H-Fi(/-t-aa7),

en prenant a = ■•

Le premier terme de ce représente une onde plane se propageant dans le sens des x positifs avec la vitesse ygh] le deuxième terme représente une onde plane se propageant avec la même vitesse dans le sens des x négatifs.

Considérons l'une quelconque de ces ondes, F par exemple, et supposons qu'elle rencontre la paroi verticale x = o.

8o PIIKMIKUE PARTIE. — CIlAl'ITHIi IV.

o • I ■ da , , , .

bur cette paroi, nous devrons avoir -j- =^ o, c est-a-dire

Donc

F'=F', et, par suite,

Ceci montre qu'il y a réflexion complète de l'onde sur la paroi verticale et que les deux termes de '^ représentent, Fun l'onde incidente, l'autre l'onde réfléchie.

Chacune de ces ondes aura la période -^ —^ du facteur e'^^ et,

comme la vitesse de propagation est-? la longueur d'onde sera

A ^ - = -TT^ • L expression de chaque onde sera donc

[t x\ COS '2 -ir - jT — = cos / A ( ^ rp a 37 )

et leur ensemble constituera, après réflexion sur la paroi, une onde stationnaire

■Z, = 7. COS i AT. X COS iXf.

Imaginons maintenant dans le bassin lectangulaire considéré au paragraphe 39 une onde de perturbation se dirigeant de l'origine vers la droite. Elle va heurter la paroi .r=^a, se réfléchir en arrière, heurter t = o, se réfléchir de nouveau, et ainsi de suite. Toutes ces diverses ondes vont interférer et se détruiront en général. Mais, si la longueur d'onde est convenable, elles pourront s'ajouter et donner naissance à une oscillation propre, analogue à celle des tuyaux sonores ou d'une corde hxée à ses deux extrémités.

Cette oscillation propre ne pourra se produire c[ue si la longueur a du bassin est un multiple de la demi-longueur d onde -t4^- Nous devons donc retrouver toutes les solutions précédentes correspondant à V = o en choisissant À de telle sorte qu'on ait

ijlt:

a = 4t — , z Aa

|JL étant un entier quelconque, li en résulte /Aa = - — et, par suite,