COS

c'est-à-dire, elFectivement, les solutions du paragraphe 39.

ÉTUDE DES MARÉIÎS A COURTH: PÉRIODE OU MARÉES DYNAMIQUES. 8t

L'interprétation des solutions correspondant à v ^ o peut se faire d'une manière analogue, en considérant, non plus une onde normale à l'axe des x^ mais une onde oblique. Nous tâcherons alors de satisfaire à l'équation générale

-en prenant

cp =: F(^ — a ce — p jK ) ,

ce qui représente une onde plane dont le plan a une direction quelconque.

La substitution dans l'équation différentielle donne

d'où la condition

Imaginons maintenant une rencontre avec la paroi x = o. Nous poserons, pour représenter le système des deux ondes,

cp = F(^ — aa? — (BjK) -f- Fl(^-^ aa? — ^j).

La fonction F, doit avoir, en effet, tout le long de la paroi réfléchissante ^ :^ o, le même argument t — ^y que la fonction F.

De plus, sur cette paroi, on doit avoir — I- := o; donc

■ce qui entraîne

F = Fi.

Il j a donc encore réflexion, et l'on retrouve bien les lois ordinaires de la réflexion, c'est-à-dire l'égalité entre les angles des normales aux ondes et à la paroi.

L'onde incidente primitive se réfléchira sur les quatre parois, et nous aurons quatre directions possibles de propagation, symétriques deux à deux. Pour qu'il en résulte une oscillation propre, il faudra que la fonction ce représentant l'ensemble de ces ondes soit

CCS cos -V- cosikt,

- „ . . , , 7t2 V^ IJ.2

A- ayant ici la valeur ht 7 —•

■^ a" H- ji2 ^ a-

41. Cas où la profondeur du vase est constante, mais finie. — Nous nous sommes placés jusqu'ici dans l'hjpolhèse dune profondeur infiniment petite, ce qui se rapproche sensiblement des conditions du problème des marées; mais on peut traiter très facilement aussi le cas plus général d'une profondeur finie. Soit h cette profondeur, supposée constante. Au fond, c'est-à-dire pour z^=li^

nous devrons avoir -7^ = 0 et, sur les parois latérales, y- = o.

Nous allons montrer qu'on peut satisfaire aux conditions du problème en prenant

T = ?l(^,JK)cp2(^).

Considérons d'abord l'écjuation Acp = o. 11 faut que nous ayons

A'i = --p., A'^i H- es, Acpj = o ; donc

Acpi Acp.,

Or, le premier terme de cette égalité ne dépend que de x et y, le second dépend de z seulement. 11 faut, par suite, qu'ils soient constants; d'où la condition

èlL — — ^ = — /"î qui nous fournit les deux relations

, Acpi -4- A-^cp, = o,

(0 cP-0.2

dz-i

C3, et 0)2 devront satisfaire à ces conditions pour que l'équation de continuité soit satisfaite.

Voyons maintenant ce qui se passe sur les parois latérales.

Comme v = o, nous devrons avoir

do ^ do

c'est-à-dire, puisque cso ne dépend que de z^

doi f doi dx ' dy

Ci, -^ = o, du

d'où

Ainsi, la fonction cpi doit satisfaire aux deux conditions suivantes :

Acpi -4- Â"-cpi = o, à l'intérieur,

—Y- = o, sur le contour de la surface. an

La fonction cc^ va se trouver assujettie, à son tour, par les conditions à la surface libre et au fond.

Pour 5 = 0, nous devrons avoir, dans le cas des oscillations propres,

A-cp-^^^=o,

ce qui donne ici, en supprimant le facteur commun cp,, (3) A-œ2— A'" ^7 = o-

Enfin, pour ; = A, nous aurons

coo doit satisfaire, en outre, à la seconde des équations (i), laquelle admet pour intégrale générale

(5) cp,= Ae/--f- Be-^-=.

On tire de là

d'oii, pour 5 =: o,

':!p. ^(,\ — B)/c et o., =. A + B dz

et, pour z = /i^

Les deux conditions à la surface lihro cl au fond nous fournissent

donc les relations

^(A — B)/: = X2(A + B), p^ekh — Be-'<^'' = o, •

d'où l'on tire

B = Ae2/^/'

Si donc on a choisi A" de manière à satisfaire à la première des équations (i) qui définit o,, on aura

et la relation (6) déterminera \. Le problème est, par suite, entièrement résolu.

Dans le cas particulier d'un vase rectangulaire, traité au paragraphe 39 pour une profondeur infiniment petite, on pourra

prendre

uTt.r vTir

CDi = COS-! COS — 7^^>

à condition d'attribuer à k- en vertu de (i) la valeur

On voit que nous avons ici

X^ = g-rii

tandis que nous avions trouvé, dans le cas où l'on négligeait les termes en /?%

Mais la première valeur se réduit à la seconde si l'on suppose pelil, car Je facteur contenant des exponentielles devient alors

ét(;de des MAnÉES a courte période ou marées dynamiques. 85

42. Vitesse de propagation d'une onde plane dans un canal indéfini. — Nous avons vu au paragraphe 40 que, dans le cas d'une profondeur constante infiniment petite, la vitesse d'une onde plane qui se propage parallèlement a O.r est égale à ^ gh et ne dépend, par suite, que de cette profondeur.

Ce résultat ne subsiste plus dans le cas d'une profondeur finie : la vitesse de propagation est alors fonction, à la fois, de la profondeur et de la longueur d'onde.

En effet, nous avons alors

Acpi -t- /c-cpi = G,

équation qui, en tenant compte de ce que A- es i := , ., » se réduit, dans le cas où ca, ne dépend pas de y, à

L'onde se propagera donc avec une vitesse

Cette vitesse est bien fonction, non seulement de A, mais encore de /,, c'est-à-dire de la longueur d'onde qui est égale ici à -^' •

Si h était infiniment grand, la vitesse de propagation serait i /t' c'est-à-dire proportionnelle à la racine carrée de la longueur d'oiideA(c' = t/|^y

Si, au contraire, h est infiniment petit, on retrouve bien, en négligeant les quantités de l'ordre de A-, une vitesse égale à \l gh^ indépendante de la longueur d'onde. C'est le cas des marées ainsi que nous l'avons déjà fait remarquer.

Si l'onde considérée est oblicjue par rapport à Taxe Ox de notre canal indéfini, cp, ne sera plus indépendant de r, mais propor-

1 < VIT y

tionnel a cos— r^, et nous aurons h

dy^ ~"~ b-' '"^'"

Par suite,

^ = A:^ çj +. ç^ = /:2 Wp,

dx-- ~ '' 62 '^ V b

Ce n'est pas autre chose que l'équation relative à la propagation

de l'onde normale, dans laquelle on a remplacé k'- par k- rr-*

Par suite, l'onde oblique considérée paraîtra se propager dans le canal avec une vitesse égale à

vitesse supérieure à celle de l'onde normale.

On se rend compte aisément de cette différence. Il faut considérer non seulement l'onde primitive, mais encore l'onde réfléchie : c'est pourquoi la longueur d'onde apparente de l'oscillation résultante sera ac, plus grande que la longueur d'onde normale ab.

Fig. 5 bis.

Si le canal, au lieu d'être indéfini, constitue un bassin rectangulaire de longueur a, il ne pourra naître d'oscillations propres qu'autant que a sera un multiple de la demi-longueur d'onde apparente, c'est-à-dire qu'on devra avoir

[JLTT '

On retrouve bien ainsi la condition

ÉTlîDi: DliS MARl':i:S A COLRTIÎ I>EUIOI)E OU MAREKS DYNAMIQUES.