Propagation dans un canal de profondeur discontinue

Supposons maintenant que le canal considéré présente une variation de profondeur, mais une variation discontinue. Par exemple, pour .r <C o, nous aurons une profondeur /z, pour .37 > o une profondeur A', et pour .r = o la profondeur passera brusquement de //

à /?' {fig. 6).

Fie. (i.

Pour nous rapprocher des conditions du problème des marées, nous admettrons que ces profondeurs sont infiniment petites par rapport à la longueur d'onde.

Considérons dans le premier bief x << o une onde incidente normale se propageant dans le sens des x positifs. V sa rencontre avec le seuil ^ = o, cette onde éprouvera une réflexion partielle; de sorte que le mouvement dans le premier bief dépendra d'une

fonction

cp = V {t — a,r) -f- Fi(/ + aa7j,

expression dans laquelle on a a =

^gh

Dans le deuxième bief x >• o, se propagera une seule onde réfractée, et nous aurons

cp = F2(< — 'j! X)

avec 7. = -- — ^-

(Kielles relations aurons-nous entre les fonctions F, F| et F^? D'abord, pour x = o^ o doit être continu ; donc

Kn second lieu —^ n est pas continu, mais /i -r- reste continu. dx ^ dx

En effet, eu nous reportant aux notations du paragrapl)e 38, nous voyous que la surélévation Ç est égale à cp,, en négligeant les termes de l'ordre de h-] et, d'après la formule (4),

^ dx\' dx )

88 PREMIERK PAirriE. — CHAPITRE IV.

Ici, la fonction o ne dépendant pas de y, nous aurons simplement

Si donc h-j- était discontinu, ^ serait infini, ce qui est impossible.

Exprimons donc que, pour ^ = o, la valeur de à-j^ est la même des deux côtés du seuil; nous obtiendrons la relation

ahF'(t) — aihF\(t) = y.'h'F'^(t),

d'où l'on tire, en intégrant,

aA(F — Fi) = ot'/i'F,.

Cette relation, combinée avec

F + F, = F2, nous déterminera F, et Fo, connaissant F. On a, d'ailleurs,

'^ ~\/ h' Si donc A'<C h, on aura Fo >> F.

iA. Voyons maintenant ce qui se passe dans le cas d'une onde oblique. Nous aurons, pour x < o,

o — F(t — C/.X — 3j) -^Fi(( -{-:1.x — [ij) avec la condition (§ 40)

gh

Pour X ">- o, nous aurons seulement l'onde réfractée

■o = F2(t — en' ce — [iy),

la valeur de [i devant rester la même, car autrement il n'y aurait ])as raccordement pour x = o; de plus,

Ecrivons que, pour x = o, s reste continu; il vient

Fit- [iy) + Fi ( « - P7) = F2(^ - ?r ),

c'est-à-dire

F + Fi = F2

comme précédemment.

Je dis que h-^- reste encore continu. En effet,

Si donc h-p- ne restait pas continu, il faudrait, ou bien que ^

ch

do

devienne infini, ce qui est impossible, ou bien que -j-» c'est-à-dire

i', devienne infini, ce qui est impossible également. Nous retrouverons alors, en exprimant cette continuité, la même équation que tout à l'heure, où l'argument t sera remplacé par t — '^y. Finalement, nous aurons encore les deux écjuations

F + F, ^ F2, aA(F — Fi) = a'A'F.,,

d'où l'on tirera F, et F^.

Ce sont les mêmes équations que pour l'onde normale; seule-

ment. Je rapport — j- n est plus égal ^^ 1/ y •

x'rb"

\l\. Oscillations propres d'un bassin rectangulaire partagé en deux biefs où la profondeur reste constante. — Imaginons que le canal indéfini que nous xenons de considérer soit limité par deux parois verticales .r = — b, ^c = + 6', le seuil restant x == o. Dans le bief de gauche, nous avons la profondeur constante li] dans le bief de droite, la profondeui- constante k' : h et h' sont su|)|)osés infiniment petits.

go PREMIÈRK PARTIE. — CIIAl'ITRE IV.

Cherchons quelles seront les oscillations propres de ce bassin. Il faut trouver une fonction o de ^ et y satisfaisant à la condition

Posons, dans le premier bief, pour x <^ o,

Ci = A e^' cosîXafa- -!- b).

On aura

r/2cp dx-

=-• X^a'-cp,

c/cc

Les conditions aux limites sont satisfaites sur )■ = o et sur y = c.

Elles le sont également sur .r = — b, puiscpie alors -7^ = o.

On voit alors que co satisfera à l'équation différentielle, à condition de prendre

Dans le deuxième bief, posons de même

ca = A'e^>' cosi Xa'(a7 — 6').

Les conditions aux limites sont satisfaites également, et l'équation difïérenlielle le sera si

Maintenant, écrivons que la fonction cp est continue, c'est-à-dire qu'elle prend la même valeur de part et d'autre de x = o. On aura

A cosiXaè = A' cosiX-x' b' .

De plus, ainsi que nous l'avons déjà montré (§ 43), A-r^doit être continu, donc avoir la même valeur sur les deux lèvres de la coupure; par suite,

Aa/î siii Aaè = — A'a'A' sin i\%' b' .

Divisant membre à membre ces deux dernières équations^ on

obtient

a. h tangiXaô -h ah' tangfXa'6'= o.

ÉTUDE DES WAliÉES A COURTE PÉRIODE OU MARÉES DYNAMIQUES. 9I

Telle est l'équation qui nous donnera les différentes valeurs de \ définissant les périodes des oscillations propres.

Nous voyons d'abord que, si A = h' , nous retrouvons bien les valeurs correspondant au cas d'un bassin rectangulaire de profondeur constante. En effet, comme alors a = a', l'équation en À se

réduit à

tangïXaè -+- langîÀa6'= o,

d'où Ton tire

iXa(6 -f- 6' ) := [JLTT,

O. étant un entier. En posant b -\- b' =z «, on retrouve bien la condition

i Ax = •

Si, au contraire, nous supposons h' <! A, y-' et a seront différents, et nous aurons

g' A' /TT

donc

%' II' <^ a /)

et, par suite,

i tangfXaô | < | tangjXa'6' |.

Les arguments i\'j.b et û.y.' b' sont réels; les cosinus décroissent en valeur absolue lorsque les tangenles croissent : donc

I cosAaè I > I cos/Àa'è' |.

Il en résulte que

L'amplitude de la marée sera donc plus grande dans le bief de profondeur moindre ; c'est là un résultai qui trouvera son application dans un grand nombre d'exemples concrets.

46. [^e problème admet encore d'autres solutions, plus générales que celles que nous venons d'étudier. Posons, pour .r << o.

et, pour .2? >> o,

'^ = A e'-' ces — — cosiXa ( x -i- b),

O = A' 6'''' cos — ^ cosiXa'(,r — ù'

9'2 PREMIKRK PARTIE. — CFIAPITUE IV.

Nous aurons alors

dy- c- ' '

Pour que l'équation diflérentielle soit satisfaite, on devra avoir, dans le premier bief,

c2 ~~ gh

et. de même, dans le second bief,

On voit tout de suite que les conditions aux limites sont encore satisfaites.

Ouant aux conditions de continuité de es et de h -^ pour x ^ o.

^ ' de ^

elles resteront exactement les mêmes; seulement, ■ — - ne sera plus

:'gal cl 1 / y • -Uans 1 équation en A

Àa/z tang;'Aa6 -+- Àa' A' tangf Aa'^i'= o,

on remplacera respectivement Aa et Aa pai' 4/ — — | — et

-^ -1 ^- 1 et 1 on obtiendra ainsi une équation où v sera un

entier quelconque, laquelle fournira les valeurs de A.

47. Expression des conditions aux limites lorsque la profondeur ne reste pas constante. — Dans tous les exemples que nous avons traités jusqu'ici, nous avons supposé que la profondeur lestait constante, ou du moins qu'elle n'éprouvait que des varialions brusques ; de telle sorte que les parois des bassins restaient toujours verticales.

Si la profondeur h est variable, tout en restant infiniment petite, l'équation différentielle à laquelle doit satisfaire la fonction cp dans le cas des oscillations propres sera (§ 38)

■^ d I d^\ X-o jm^ dx \ dx I s:

Mais, si h s'annule au bord, la condition aux limites ne pourra

plus être — ; = o, comme dans le cas d'une paroi verticale, puisque

la normale à la paroi ne se trouvera plus dans le plan des xv et que o ne dépend pas de z.

Nous avons montré alors que la condition aux limites était que 'c devait rester fini, et qu'il était nécessaire d'énoncer cette condition, puisque la solution générale était alors infinie.

Si la paroi, sans être absolument verticale, offre néanmoins une pente très accusée sur les bords, dans la partie voisine du bord

^—(/i-r^j sera très grand par rapport au second membre de

l'équation différentielle. Nous pourrons alors écrire sensiblement, dans le cas simple où h et es ne dépendent que de x,

d'où

dx

La constante sera d'ailleurs nulle, puisque h est nul au bord. Il en résulte que nous aurons, dans tout l'intervalle où la variation de h est rapide,

dx

Cette égalité aura lieu aussi sur le bord même, et, par suite, la condition aux limites se ramènera à

dn

tout comme si nous avions une paroi verticale.

Voyons maintenant ce qui se passe au bord dans le cas général. Écrivons pour cela, sous sa forme développée, l'équation différentielle à laquelle doit satisfaire la fonction cp :

dli c/cp dh do À- G dx dx dy dy g

Considérons un point situé sur le bord, menons la normale au bord en ce point et prenons-la pour axe des x . Nous aurons, au point considéré,

, dh

donc

dli d^ X- 9 dx dx g'

ce qu'on peut écrire

dh d'^ À2c2 du du g

Nous avons, sous cette forme, une relation indépendante du choix des axes, et (jui devra exister en tous les points du bord. Elle s'applique également au cas d'une paroi verticale, car alors

-r- est infini, et l'on retrouve bien la condition dn '

dn iNous allons traiter un exemple de profondeur \ariable.

48. Oscillations d'un liquide contenu dans un vase ayant la forme d'un paraboloïde de révolution. — JNous aurons dans ce cas

£ étant une constante que nous supposerons encore très petite. L'équation du problème est

do dli À -CD

2acp dn dx dx

Transformons cette équation en prenant des coordonnées polaires :

a; = p cosw,

T ^ p sin w,

Nous aurons alors

d'-o I d'St I d"^ o

' dp- ' p dp ' p- dio- ' dh do dh do i dh do

dx dx do dp p- du) du)

1^ 1 . 1 dh .^ .

hn substituant, et tenant compte de ce que -7— = o, il vient.

„, fd^o \ do i d-^o\ do h'^o

' \ dp- p dp p' rtto-/ ' ap gz

Supposons que la fonction es soit développée en une série de Fourier,

2, CCS 'il . «lOJ, ' sm

m étant un entier et 'b une fonction de p seul.

On pourra considérer séparément chaque terme et nous aurons

alors

^ __ .„ cko- ' '

En substituant dans l'équation, nous obtenons

équation ditFérentielle du second ordre.

Nous devrons adopter une solution qui demeure finie aux bords^ c'est-à-dire pour o = zb i et aussi à l'intérieur, en particulier pour p = o.

Ces trois valeurs particulières sont les seules pour lesquelles la fonction es pourrait présenter des singularités, puisque ce sont les points singuliers de l'équation dilTérentielIe.

La théorie de Fuchs nous apprend que pour ces trois valeurs une des deux intégrales reste holomorphe, l'autre devenant infinie parce qu'elle contient un logarithme dans son développement. Notre fonction es devant rester finie, nous devons choisir A de telle sorte que ce soit la même solution qui reste holomorphe en ces trois points ; ci, restant alors holomorphe pour les trois points singuliers p ^ o et p :^ zL i , restera holomorphe dans tout le plan : ce sera donc une fonction entière.

Voyons comment elle se comporte à l'infini. On sait, d'après la même théorie, que les deux solutions sont alors développables suivant les puissances décroissantes de p

i^our 0 très grand, 'i se comporte donc comme p*; une transcendante entière, qui se comporte à l'infini comme c,^, ne j3eut être qu'un polynôme entier et a ne peut être qu'un nombre entier positif. Par suite, la solution qui convient ne peut être qu'un polynôme entier.

Cherchons donc à satisfaire à l'équation par un polynôme entier

i-p'-)^A,jp^/-^q(g- i) + q — m^-]-2^A^qp'/= ^^^^^p''

En substituant dans l'équation différentielle, nous aurons

ou

Egalant les coeificients de p^~- dans les deux membres, nous ■obtenons la relation de récurrence

Aq(q- — ni^ ) = A ,/2 q{q — -i) — m- -+- —

<iui nous permettra de calculer A^ quand on connaîtra A,y 2, ou inversement. Seulement, il est nécessaire qu'on puisse s'arrêter.

Supposons que le polynôme se termine par un terme de degré m et que le terme le plus élevé soit de degré n. Il faut alors que notre formule de récurrence ne nous donne 'pas de terme A^2; q étant égal à m ; et c'est effectivement ce qui arrive, puisque le premier membre est alors nul.

De plus, il faut, si l'on prend q — 2 ^ /?, que nous n'ayons pas de terme Kq ; ce qui exige que l'on ait

= /i ( rt -H 2 ) — m-.

Cette relation nous déterminera les périodes des oscillations propres du système, m et n sont deux eniiers quelconques, et Ton a

49. Lignes cotidales. — Représentons par ^ la surélévation de la mer au-dessus de sa position d'équilibre : Ç est la valeur de

do iv = ~ pour z ^ o.

D'après ce qui précède, qu'il s'agisse d'oscillations contraintes ou d'oscillations propres, ^ se présentera sous la forme

C=/(.r,j)eA^

f {x^y) peut être une quantité complexe et \ est purement imaginaire. Nous aurons donc, en somme, une solution imaginaire dont il faudra prendre la partie réelle pour passer aux applications.

Si nous considérons cette solution imaginaire, À définit la période de la solution réelle correspondante, le module du coefficient /(.r, y) en définit l'amplitude, et son argument la phase.

Une ligne cotidale est le lieu des points où la marée se produit à une heure déterminée : c'est donc une ligne d'égal argument du coefficient y {x, y).

Remarquons que, s'il existe un point où la marée est nulle, toutes les lignes cotidales se croiseront en ce point.

Fis. 8.

En ce qui concerne le problème des oscillations d'un liquide renfermé dans un vase non tournant, si nous considérons d'abord les oscillations propres, nous savons que, dans le cas particulier de l'équilibre absolu (§8), le coefficient de e''^ est réel. Son argument ne peut donc être que o ou tt. 11 en résulte que le bassin va se trouver divisé en un certain nombre de régions par des lignes sur

Fie. o.

lesquelles la marée est constamment nulle ; ce sont des lignes nodales^ et, dans les régions qu'elles S(''parent, la phase est alternativement o et 7t.

P. — iir. -7

gS PRKMIKRK PAUriK. — CIlAl'ITai' IV.

Il n'en est plus de même lorsqu'on tient compte de la force centrifuge composée.

Ainsi donc, pour les oscillations propres et dans le cas de l'équilibre al)solii, nous aurons des lignes nodales et pas de lignes cotidales.

Cependant, il est un cas particulier où il existe des lignes cotidales pour les oscillations propres : c'est celui où l'équation en \ a des racines multiples. Considérons, comme au paragraphe 39, un bassin rectangulaire de profondeur constante. En général, l'équation en X n'a pas de racines multiples ; mais, si le bassin se réduit à un carré, elle aura une racine double.

En effet, nous avons une oscillation propre correspondant à

u = I , V = o, d'où A = / \r^i — et dans laquelle

C ^ cos

Une autre oscillation propre correspond à p. = o, v^ i, d'où A = i ^ gl^ j et donne

t ~ cos -7^ •

Les deux valeurs de ). deviennent égales dans le cas du carré. On peut alors combiner les deux solutions, puisque leurs périodes sont les mêmes, et écrire

Ç = A COS 1- B COS ^— e-',

A et B étant des coefficients quelconques.

Choisissons A réel et B imaginaire, B = z'B'. L'argument w de f{3C,y) sera donné alors par

TTJK

B COS— =^ a