CHAPITRE V

INFLUENCE DE LA COURBURE. — OSCILLATIONS D'UN LIQUIDE RECOUVRANT UNE SPHÈRE ATTIRANTE, NON-TOURNANTE.

S'a. Nous allons supposer maintenant que le bassin contenant le liquide soit assez grand pour que la surface libre d'équilibre ne puisse plus être regardée comme plane, mais doive être considérée comme sphérique.

Nous supposerons toujours qu'il n'y a pas de rotation, donc pas de force de Coriolis.

Nous prendrons le rayon de la sphère comme unité ; soient H la colatitude et 'h la longitude. Considérons, non seulement les points de la sphère, mais aussi leur représentation sur une Carte plane, et soient x^ y les coordonnées rectangulaires sur cette Carte du point B, 'h.

Nous supposerons qu'il s'agisse d'une représentation conforme, c'est-à-dire conservant les angles ; notre Carte sera, par exemple, une projection stéréographique ou une projection de Mercator. Par suite, une figure infiniment petite de la sphère sera représentée par une figure infiniment petite semblable : soit k le rapport de similitude.

En partant de cette représentation conforme, nous pourrions en déduire une infinité d'autres. Si, par exemple, ^ + ri] est une fonction analytique de x -\- iy, toute figure infiniment petite dans le plan xy sera semblable à la figure correspondante infiniment petite dans le plan q-/] ; et le rapport de similitude sera multiplié par la valeur absolue de la dérivée/', il deviendra /c\f' |.

Ainsi, dans le cas où l'on prendrait

/= log(.r + {>), on aurait

^ = logp, r, = w,

0, to étant les coordonnées polaires du |)oint x, )\

53. Équation de continuité. — Représentons sur Ja sjshère une courbe fermée quelconque C et soit ds un élément de cette courbe ; appelons ch un élément quelconque de la portion de la surface sphérique limitée par C. Considérons le cône ayant pour sommet le centre de la sphère et pour directrice la courbe C. En vertu de la marée, le volume du liquide renfermé dans l'intérieur de ce cône éprouvera une variation, et nous pouvons exprimer cette variation de deux manières diflerentes.

D'abord, l'augmentation de volume sera représentée par la quantité de liquide qui, par suite du déplacement, a pénétré à travers la surface latérale. Si w, v^ «r sont les composantes du déplacement, nous avons vu (§ 37) que ces quantités sont respectivement égales aux dérivées partielles d'une fonction cp telle que

A chaque élément ds de C correspond, sur la surface latérale du cône, un petit rectangle de hauteur h très petite, puisque^ comme nous l'avons déjà expliqué, nous pouvons faire cette hypothèse sur la profondeur des mers. La surface de ce rectangle sera hds et il faudra la multiplier par la composante normale du déplacement pour obtenir la quantité de liquide pénétrant dans l'intérieur du cône par cet élément de la surface latérale. Si dn est l'élément de normale, la composante normale du déplacement sera -—}

et le volume d'eau entrant dans l'intérieur du cône par suite de la marée aura pour première expression

h -p- ds, an

l'intégrale étant étendue à toute la courbe C.

Pour obtenir une seconde expression de cette même quantité,, décomposons le volume intercepté dans la masse liquide par le cône de directrice C, en prenant chaque élément di de la surface limitée par C et le cône infiniment délié ayant le centre de la sphère pour sommet et le contour de r/o- pour directrice. Ce cône découpera dans la masse liquide un tronc de cône élémentaire assimilable à un cylindre. Dans la position d'équilibre, le volume de ce petit cylindre est hdi ; quand la surface de la mer se déplace^