X. rfd
l'intégrale étant étendue à tous les éléments f/o- de la surface sphérique limitée par la courbe C.
En é'galant les deux expressions trouvées, nous avons donc l'équation
oi. Considérons maintenant la représentation conforme de C sur la Carte : ce sera une courbe plane C. A l'élément cls correspondra ds' ; à dn, dn' ; et à drr l'élément de surface d<y' . k étant le rapport de similitude, nous aurons
ds' =; k ds, dn' = k d/i, d<j'= k^-dc.
L'équation (i) deviendra
Or, les cosinus directeurs de l'élément dn' sont ^7 et H — ^^
as as
donc
do d'il dy d'Zf dx
dn' dx ds' dy ds'
En substituant cette valeur dans l'équation (2), nous obtenons alors
Nous avons dans le premier membre une intégrale de ligne : nous pouvons la transformer en intégrale de surface d'après la formule de Riemann
104 PREMIÈRE PARTIi:. — CHAPITRE V.
M = A-yi et N = — A V-;
dy dx
notre équation devient donc
Celte égalité doit avoir lieu, quelle que soit la surface considérée sur la sphère ; il faut donc que l'on ait
d . do
, "^ d do
Dans le cas où nous négligions la sphéricité, et toujours avec la même hypothèse d'une profondeur infiniment petite, nous avions trouvé (§ 38)
2 — A ^ = r dx dx
Nous obtenons donc ici, par 1 intermédiaire dune représentation conforme, une formule absolument semblable ; elle n'en difFère que par la présence du facteur A-, qui n'est pas constant, mais est l'onction de x et y.
oo. Le même calcul peut se faire sur la formule (i) en conservant les coordonnées sphériques, et sans avoir égard à la
représentation conforme. 11 s'agit d'évaluer v ^ ^ dn
Si nous considérons un élément d'arc de parallèle, nous avons
d^ = o, ds ^= d'\i sin 6 et
do do
dn d%
S'il s'agit d'un élément d'arc de méridien,
d"^ = o, ds ^^ dfi
et
do do
dn sin 6 d']/
Maintenant, si nous supposons un arc de direction quelconque, on pourra toujours le remplacer par un triangle rectangle infiniment petit dont il sera l'hypoténuse. La quantité de liquide qui entre à
INFLLENCF. DE LA COIUBURE.
travers cet élément devra être égale à la somme des quantités qui sortent par les deux côtés de l'angle droit. En effet, les flux sont du second ordre, puisque h et ds sont du premier; si donc la
compensation ne se faisait pas, aux termes du troisième ordre près, il faudrait que ^ fût infini. En exprimant l'égalité des flux, nous obtenons la relation
do I c/o f/-i . ,, ,,
an smH d'h «0
L'équation (i) devient alors, en remarquant que l'élément de surface dn compris entre deux parallèles et deux méridiens infiniment voisins est égal à sin6 d^ d'h^
J \d'h sinO rih '/ J '
Si nous transformons, comme tout à l'heure, l'intégrale du premier membre en une intégrale de surface, nous obtiendrons une égalité qui devra subsister quel que soit le domaine limité sur la sphère et doù résultera l'équation de continuité
On voit que cette équation a une forme moins sluiple que l'équation (3) établie [)ar rapport aux coordonnées sur la Carie.
56. Si nous remphiçons, dans (3 ) ou (4), ^ p'àT sa valeur en fonction de C3 et du potentiel, nous obtiendrons l'équation différentielle à laquelle doit satisfaire -i. L'expression de "C. nous est fournie par la condition à la surface libre
A-cp — ^' = o,
les pressions étant comptées à partir de la pression extérieure.
lof) PniiMlKHIC PAUTIIÎ. — CriAPITRE V.
Le polenliel V comprend deux parLÏes :
i" Le polenliel dû aux foixes inlérieiiros, celui qui donne naissance au lerme Ho, el qui, à une conslanle près, est éj^al à
II" (''laiil le polenliel du à l'allraelioa du hourrelel el la dénivellalion C do la suiface d'cWpiilihic ('laiil coniplée |)Ositivenienl vers le bas;
2" Le |)0Lenliel dû aux forces cxlérieurcs, aclion de la Lune ou du Soleil, que nous |)ouvons supposer décomposé en éléments is(»(dirones, de façon (pic chaque lenne se présente sous la forme Ge^''^, C étant une fonction donnée des coordonnées G et ']/, donc aussi de a: el }\
Nous avons donc, abstraction faite de la valeur cojislanle du potentiel dû à la pesanteur sur la surface d'équilibre non troublé,
V = A'-Ç-f- II" -H C: e>'< ; et la (;ondili()i: à la surface libre nous donne
ff C-? A'
Alors l'équation i;(''u('ralc à la({uelle doit satisfaire la fouclion j sur la surface s'écrit
d I dcf\ À--!'i II" Ge>-t
^ Audx \ dx
cp une fois déterminé, l'équation (a) nous donnera la bauleur X^ de la marée.
Si nous néyhyeons rattraclion tlu bourrelet sui- lui-même, nous supprimerons 0". Si alors il s'agit simplement de déterminer les oscillations propres, nous sup[)rimerons également le dernier terme, el l'('quation du pToblcme se réduira à
.êmU dx \ dx I g
Elle ne dillère de l'é{|uati()n (() />/.s ) du paragraphe 38 (pie par l'introduction du facteur A-, fonction de x e\. y .
Si nous voulions tenir compte de l'attraction du bourrelet, voici comment il conviendrait d'opérer. Supposons qu'on ait déve!o[)pé^
