INFLUENCE DE LA COURBURE. IO

en fonctions sphériques

nous aurons alors (§28)

D'un autre côté, supposons Ce^^ développé en fonctions sphériques sous la forme Sa,iX„. Mais remarquons ici que, dans le développement du potentiel P — Pq dû à la Lune ou au Soleil, ne figurent que des fonctions sphériques du second ordre : les coefficients a,i seront donc tous nuls, à l'exception de ceux des cinq fonctions sphériques du second ordre.

Le terme en II" étant toujours petit, on commencera par le négliger; on aura alors une équation de même forme que celle qui a été étudiée et d'où résultera pour "Ç une première approximation. On en déduira une première valeur approchée de II" qui, substituée, fournira une équation de même forme encore. Cela suffira généralement, mais il arrive souvent qu'on ne puisse même pas pousser la solution jusqu'à la première approximation.

57. Cas où la profondeur est constante. — On peut alors résoudre complètement le problème.

Considérons, par exemple, les coordonnées sur la sphère. L'équa-

lion de continuité s écrit, puisque ^ = t^j

^ / 7 ■ n^'?\ d ( h <r/cp \ ■ f,d?

La fonction ce, si l'on considère un point dans l'intérieur de la masse liquide, dépend de r, 0 et •!». Sur la surface, nous supposons /• ^ I , et nous avons alors

rfcp X-o n"

pour le cas des oscillations propres.

Si nous supposons la profondeur h constante, le premier membre de l'équation de continuité devient

</<j3 rf-ca i d'-^'

h sinO cotO

d^ f/02 sin^O ^4/2

lo8 PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE V.

c'est-à-dire

puisque

A sin 0 ( Ac5 — 7-2 — — î — -^ /• ^ ) (-//■"- dr /

d I dra \ I d . . d<ù\ I d-':j

dr\ dr si n 6 (5^6 \ d^ sin^e «s^'J.^

Introduisons une fonction y de 9 et -} seulement, définie par cette condition que, pour /• = i , on ait

Sur la surface, nous pourrons remplacer 'j par y, et l'équation du problème s'écrira alors

/? sinO A/ — /-^-p^ — ^r-^- = —^ sine,

\ dr- dr / i?