X- cp =: V — p

les équations du problème prendront la forme

k^U — 2 (JûX f = A- ~ ,

(3) / X2p +2œXK = X2-Î,

^ dy

En résolvant ces équations par rapport à u, v, iv, de manière à obtenir les composantes du déplacement en fonction des dérivées de la fonction o, nous a\ons

On voit que, par suite de [a rotation, les composantes ii et v ne sont plus les dérivées partielles dune même fonction '-5; ce sont des combinaisons linéaires de ces dérivées, dont les coefficients dépendent de A, c'est-à-dire de la période, et ne seront donc pas les mêmes pour les diverses oscillations.

A ces équations, il faut adjoindre l'équation de continuité

y du

JM i-H

do dx

2 (0 do k dy

4co^\

do ~ dy

do ~ ITz'

2W do X dx

INFLUENCE DE LA FORCE CENTRIFUGE COMPOSÉE. Il3

qui ne se réduira plus ici à A'^ = o, mais devient

dx- dy- dz- ^ k-

Celte analyse suppose cpie la rotation s'efFeclue autour de l'axe des z. Si l'axe de rotation est c[uelconque, désignons ^nvp^cj, r les composantes de la rotation suivant les trois axes de coordonnées. Les composantes de la force centriiuye composée seront alors

/ dw dv \ l du dw \ j dv du.

~'V-dï-''-d-ty ^'y-dt-Piûr -''\P7rt-'J-dï

et les ôcjuations (3) deviendront

( 0 bis )

Telles sont les écjuations générales du problème.

Nous allons les appliquer au cas dont les conditions se rapprochent le plus de celui de la nature, c'est-à-dire supposer la profondeur infiniment petite.

60. Vase tournant de profondeur infiniment petite. — Le vase étant animé d'un mouvement de rotation, la surface libre du liquide en écpiilibre ne sera pas rigoureusement un plan hori-

Fig. i3.

— i r A V ^ 1 q A w =: A- —r^ -, -' dx

•ir'k u H

-An' — ipA M' = A- —— y dy

■iqXu ~

h -ip A V -f- A- w = A- -~ •

zontai; mais, si toutefois la \itesse de rotation est faible, nous pourrons, aux termes près de l'ordre de co-, regarder celte surface lil)re comme un plan horizontal :; = o. Soit

rt'quation de la paroi du vase.

Supposons, comme nous l'avons déjà fait précédemment (§ 38), P.— m. s

1 l4 PRKMIKRIÎ PARTIE. — CHAPITRE VI.

que h soit très petit, ainsi que ses dérivées. Dans ces conditions, w sera négligeable vis-à-vis de u et i'.

En effet, la composante normale du déplacement est nulle au fond; Jes cosinus directeurs de la normale au fond étant proportionnels à

dli dh __ dx dy

nous aurons sur cette surface

dh ,dh dx dy

Cette relation nous montre, si les dérivées de h sont très petites comme h lui-même, que <r au fond est très petit par rapport à u et V. Soit (T'o cette valeur au fond; pour un point quelconque de l'intérieur, à la distance z de la surface libre, nous aurons

/ , dw

D'après l'hypothèse faite, :? — h est très petit; il en est de même de -j-i puisque les déplacements des molécules, dans le cas des marées, sont toujours de petites quantités.

Par conséquent, (v restera constamment du second ordre comme Wo et pourra se négliger devant u et c.

Les deux premièi-es équations deviennent donc

dx ■irAu -h X-v = k- —r- ■

On voit que/; et ^ n'interviennent plus; tout se passe comme si la rotation se réduisait à sa composante verticale. Par suite, nous n'aurons à envisager que le cas d'une rotation w autour de O^, et nos équations générales seront simplement

iwXu -T- X-p = X^-p-'

Résolues par rapport à u et t', elles nous fournirontles deux premières des équations (4)- Quant à l'expression de la surélévation, elle se déduira de l'équation de continuité.

INFLUENCK DE LA FORCE CENTRIFUGE COMPOSÉE. u5

61. Interprétation géométrique des équations. — Avant d'aller plus loin, nous allons montrer comment on peut interpréter géométriquement les deux équations

A dcr

■2 0} Mcp

auxquelles nous sommes parvenus.

Si "k était réel, l'interprétation serait immédiate.

Soient OA le vecteur dont les composantes sont ^, -^, et OB

•^ ax ay

■celui dont les composantes sont u et ^>.

Fia. I!;

Le vecteur OB serait la projection orthogonale du vecteur OA, l'angle v des deux vecteurs étant donné par

Mais A est imaginaire. Posons alors X = /jjl, et supposons que nous ayons trouvé la solution complexe

u — -xe^V-t = (a' -h fa")e'!J-^

Les équations admeltront alors la solution réelle

u = a' CCS [xt — a" sin \xt^ V = 9,' cos[xt — pi" sin [JL^,

ce qui donne, en désignant par 'L la différence des arguments de a et ^, et par |a| et | [i| leurs modules respectifs,

Il6 PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE VI.

L'extrémité B du vectein- OB est donc animée d'une vibration elliptique, le centre de celte ellipse étant occupé par la position d'équilibre de la molécule.

Cette ellipse se réduira à une droite

M~rFi'

si l'on a 'I» = o, c'est-à-dire si

ce qui montre que le rapport — est alors réel.

Si nous prenons pour 0.x le grand axe de l'ellipse, a sera rée! et p purement imaginaire ; nous aurons, dans ce système d'axes :

a" = p' = o ; a = a' ; [i = i^'. Donc

u = a' cos ij.t, V = — p" sin IX f,

et l'équation de l'ellipse sera

Voyons maintenant quel sera le lieu du point A. Posons

•-> OJ

y est réel. Les valeurs de -7^ j -—- devant être proportionnelles à e'i^^, posons également

d's> (io ,, . ,

dx -^'^^ ^ dy-'^'''' •

Nous aurons alors, en substituant dans les équations,

ai = a — t'Y^i = a'-i- yP",

a, est donc réel et [i| purement imaginaire, de même que a et ^.

Par suite, le point A décrit également une ellipse dont les axessont dirigés suivant les axes de coordonnées, c'est-à-dire suivant les axes de l'ellipse décrite par le point B; et il x\^ a aucune différence de phase entre les deux vibrations elb'ptiques. Le grand

axe a' de l'une a même direction que le grand axe a' + rji" de l'autre; de même pour les petits axes.

Si jS" = o, la vibration de B sera rectiligne, et le rapport des axes de la vibration elliptique de A sera alors égal à y. Par exemple, si nous avons une paroi verticale assujettissant le déplacement de la molécule à s'effectuer suivant l'intersection de la surface libre et de cette paroi, l'extréuiité A. du vecteur OA décrira une ellipse dont le grand axe sera dirigé suivant la surface de séparation et le petit axe suivant la normale, le rapport des axes étant y.

Si [3" = zb a', la vibration de B sera circulaire; de même celle •de A. Le rapport des rayons sera i -|- r ou i — y selon que les vibrations s'effectueront dans le sens direct ou le sens inverse.

62. Équation de continuité. Expression de la surélévation. — Soient toujours S la surface libre. S' la surface du fond. Décrivons encore sur S une courbe fermée G et, par tous les points de G, menons jusqu'au fond les normales à S : nous limiterons ainsi un volume liquide cylindrique, et nous évaluerons l'augmentation du volume liquide à l'intérieur de ce cylindre produite par la marée.

En désignant par N la composante du déplacement suivant la normale intérieure à l'élément du de la courbe plane G, par d<s l'élément de surface du domaine limité par cette courbe, et par ^la surélévation due à la marée comptée positivement vers le bas, nous obtiendrons, comme au paragraphe 53, l'équation]

f h^ds = — f td<j.

où IS a remplacé -—, qui n'est plus ici l'expression de la compo-

•sante normale du déplacement.

Evaluons N. a et Jîi étant les cosinus directeurs de la normale intérieure, on a

'c'est-à-dire

dy dx

as as

-en conservant le sens positif déjà adopté pour parcourir la courbe G.

Il8 PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE VI.

L'équation de continuilé s'écrit donc ici ou

Or, d'après la formule de Riemann,

r rrd(hu) d(hv)-]

J h{vdx — iidy)=- I [-^^ ^ -Jj^j^^^^r

= — J dxdy^

d{hu)

Il en résulte, les intégrales devant être étendues à tout le domaine limité par C, que l'équation de continuité est

(6, yiihti^i.

Remplaçons maintenant u et c par leurs valeurs tirées des équations (4) ; on aura

AX- f/cs iiu'Ah do

d'où finalement

hu = Iw =

k^-^^M- d./: ' A- -+- 4 w- dy h X- do 1 co X II do