X--t-4w- dy X--i-4w" dx
j^ dx\ dx
awX d( h, o ) X--^+ 4w2 d{x,y)'
en introduisant le jacobien ou déterminant fonctionnel de h et de -^ par rapport à x et y
d(h, cp) dh <r/cp dh c/cp à(x.y) dx dy dy dx
De plus, nous a\ons toujours (§37)
La fonction x» devra donc satisfaire sur la surface libre à l'équation différentielle
l- \:^ d / do\ -iwX d(h,o) I ,, ,
Une fois -^ déterminé, les équalions (4) et (8) feront connaître le mouvement d'une molécule sur la surface libre et la surélévation.
Dans le cas du vase non tournant, nous avions trouvé (§ 38) avec la même hypothèse de profondeur infiniment petite
léi'^È)-,'--^ -'■-'■■>■
On voit donc quels sont les changements apportés par la considération de la force de Coriolis. f^e second membre de l'équation n'a pas changé. Dans le premier membre, le premier terme reste
le même, mais il estatfecté du coefficient ^^^ ; — -; de plus, il s'est
introduit un terme complémentaire contenant le déterminant foncjtionnel de h et de -j.
63. Influence de la rotation sur la formation des lignes cotidales. — De ces cjuelques modifications résulte une différence essentielle dans la physionomie du phénomène. Remarquons, en effet, que oj est essentiellement réel, \ essentiellement imaginaire; par conséquent, le coefficient du détern^inant fonctionnel est purement imaginaire. Si donc nous supposons Z déterminé, sous la forme
nous voyons que, par suite de la rotation, le coefficient/'(^, r) sera imaginaire, même dans le cas des oscillations propres. Son argument ne sera donc pas constamment égal à o ou à tu comme lorsqu'il n'y avait pas de rotation (§ 49); il pourra prendre toutes les valeurs possibles, et, au lieu de lignes nodales séparant des plages où la marée était simultanée et inversée, il existera des lignes cotidales cpii seront les lieux d'égal argument du coefficient/(.r, y).
64. Conditions aux limites. — La fonction cp ne doit pas satisfaire seulement à l'équation (9) qui résulte à la fois de l'équation de continuil('' et de la condition à la surface libre ; il faut encore (pi'elle satisfasse aux conditions sur les l)ords.
Si nous considérons le cas général d'une paioi inclinée, on .1 alors /* = o sur les bords, et nous savons (§ 38 j que cp doit satisfaire à la condition de rester finie quand h s'annule.
Supposons, au contraire, une paroi verticale; il ne suffiiail d'o du
plus d'écrire ici -y^ ^ o comme lorsque la rotation n'existait pas.
car -f- ne représente plus la composante normale du déplacement.
Si l'on a, par exemple, une paroi perpendiculaire à Ox^ ii devra être nul, et la condition sera
dcù 2to d^ dx A dy
Si la paroi est perpendiculaire à Oy^ la condition sera
dy À dx
En général, sur une paroi de direction quelconque, on devra
avoir
dy dx
ce qui fournit la condition
(lO)
On peut encore mettre la condition aux bords sous une forme très générale qui s'applique aussi bien au cas d'une paroi inclinée qu'à celui d'une paroi verticale. Considérons pour cela, dans le
ds
-^'ITs
r/cp
•iOJ
Ts
plan de la surface liln^e, la normale au bord et prenons cette normale pour axe des x. Nous aurons au pied de cette normale, dans
le cas général,
dh
dy et l'équation (g) se réduira à
X"- dh do 2WÀ dh do l'-o — Cgv<
X'^H-4w' dx dx A'^-i-4W- dx dy g
INFLUENCI-: DE LA KORCK CENTRIFUGE COMPOSEE.
c'est-à-dire
dli d^ iLù d^\ X^-j-jto- / G -, '
' ' ' ' > ' - , r;Kt
dx\dx \ dy ] g \' X-
Si les axes sont quelconques, nous devrons donc avoir, en un point quelconque du bord, puisque dx = dii et dy = — ds,
, dh I do '2(0 d'Si\ X--i-4w- / G ,
Cette relation, indépendante du choix des axes, convient, également au cas où la paroi serait verticale en un point du bord; en etïet, nous n'aurions |)lus en ce point h = o, mais -%— serait infini, et l'on retrouverait bien la condition (lo)
do 2 w ofcp d/i X ds
Il convient de remarquer que le facteur -r— qui figure dans la condition aux limites est également imaginaire.
65. Oscillations propres d'un liquide renfermé dans un vase de profondeur constante. — Dans le cas des oscillations propres, nous n'aurons qu'à faire C=o dans toutes les équations précédentes. L'équation différentielle à laquelle doit satisfaire la fonction cp s'écrira alors
■^ d / '/cp '\ -2 M ()i h, o) X"--^4^->"
dry iix j }, n(h^T) g
Si, de plus, la profondeur k est constante, l'(k{uation se sim- |)lifie considérablement et se réduit à
qui ne diffère de celle relative au vase non tournant qu'en ce que X- est remplacé par a- + 4^'-
On voit que cette équation a tous ses coefficients réels; néanmoins cp reste, en général, imaginaire comme dans le cas d'une profondeur variable, à cause de la condition aux limites, laquelle
s'exprime ici par la relation
<:/cp ■iti) c/œ
dn X ds '
puisque la paroi est verticale.
66. Propagation d'une onde plane dans un canal de profondeur constante. — L'équation (12) peut être satisfaite par la fonction
qui représente une onde plane indéfinie, se propageant dans une direction quelconque.
En efl'et, nous aurons
et, en substituant ces valeurs dans l'éc[uation différentielle, nous voyons qu'elle sera satisfaite si a et j3 sont tels que
Rappelons que, dans le cas de l'équilibre absolu, nous avions trouvé simplement (§ 40)
ffh
Pour obtenir la \itesse de propagation, considérons une onde plane se propageant parallèlement kOx, c'est-à-dire faisons ^ = o. L'équation de l'onde sera alors
et sa vitesse de propagation -• Or
Par conséc[uent,
La vitesse de propagation d'une onde plane dans un milieu indéfini soumis à un mouvement de rotation n'est donc plus égale à y gli\ elle est toujours proportionnelle à cette quantité, mais elle
dépend également de la période, et varie avec chaque oscillation.
Mais ce n'est pas ainsi que le problème se posera, car noiisn aurons pas aft'aire à un milieu indéfini.
Considérons, comme nous l'avons déjà fait, un canal limité par deux parois verticales parallèles à l'axe des x
et supposons une onde de direction quelconque se propageant dans ce canal. JNous aurons alors à faire intervenir les conditions aux limites, et la conclusion précédente va se trouver modifiée. En efFet, sur chacune des parois, la composante normale du déplacement devra être nulle ; donc, pour y = o ety = 6,
d^ -iM dm dy X dx
Il en résulte
Nous ne pouvons donc pas prendi-e fj =■ o comme nous l'avons fait dans un milieu indéfini. On pourrait croire alors qu'il n'exisle pas d'onde plane normale à Taxe du canal susceptible de se propager dans le sens de cet axe; mais il n'en est rien.
Efifectivemenl, l'équation dilférentielle sera satisfaite si l'on a
d'où
4 ton I / 4oj2\
et la relation qui lie [i à a en vertu des conditions aux limites donne
Par conséquent, Aj^ sera réel et indépendant de la période, et la phase ne dépendra pas dey. L'équation de l'onde sera
C'est une onde |)lane normale à l'axe du canal, et dont la vitesse de propagation est encore \/gà, tout comme s'il n'y avait pas de
I'^4 PREMIÈRE PARTIIÎ. — CHAPITRIi: VI.
force centrifuge composée. Mais l'efl'et de cette force se traduit par ceci que l'amplitude est fonction de y; par conséquent, sui~ vaut le sens de la rotation, la hauteur de l'onde sera plus grande sur un bord que sur l'autre.
Si nous considérons une onde se propageant en sens inverse, a se changeant en — a, |3 devra se changer en — [i; nous aurons donc
Par consécjuent, si dans un cas Tonde est plus forte sur le bord y T=z b que sur le bord y = o, ce sera l'inverse pour l'onde de retour.
11 en résulte que, si nous supposons le canal limité par une paroi ^ = o, nous ne pourrons plus avoir de réflexion régulière comme cela se présentait dans le cas de l'équilibre absolu. En effet, l'onde
incidente est proportionnelle à e ^^'' et l'onde réfléchie devrait
être proportionnelle à e ^"'' , si la réflexion était régulière. Pout exprimer que la composante normale du déplacement est nulle sur la paroi réfléchissante, il faudra égaler à zéro
dx X dy
D'où une relation à laquelle j)^ devra satisfaire, et, comme j>^ varie de o à 6, cette relation ne pourra être satisfaite pour toutes les valeurs dej'. Donc, pas de réflexion régulière dans un canal.
67. Onde plane se propageant dans un bassin indéfini présentant une variation brusque de profondeur. — Si, au lieu d'un canal, nous considérons un iiassin indéfini, il pourra y avoir réflexion régulière, parce qu'alors il n'y aura plus de parois latérales imposant une relation entre a et {5. De même pour la réfraction.
Imaginons, par exemple, un bassin indéfini partagé par ,r = o en deux biefs dans lesquels nous avons :
Pour :r << o, la profondeur A, et, pour a- >■ o, la profondeur k' .
Cherchons si nous pouvons représenter le mouvement dans le premier milieu par
et dans le second par
œ = Ce>><'-3''-r-?r',
la valeur de [i restant la même pour chacune des trois ondes, incidente, réfléchie et réfractée.
Nous devrons avoir, pour ^ << o.
et, pour :r > o,
En écrivant que, pour j: = o, es reste continu, nous avons
xVlais la fonction Z) n'est pas la seule qui doive rester continue;
■ I ,. , /f/o -iiji d':j\ . ^ , , , ,
il tant encore que '' [ -r^ ^ — ^ 7-7 ) reste continu. Lela resuite de
l'expression de "Q donnée par la formule (6), car autrement "C, deviendrait infini. Nous aurons donc aussi
Les conditions de continuité nous fournissent ainsi deux écjuations qui détermineront B et C quand on connaît A.
68. Solution générale de la propagation dans un canal de profondeur constante. — L'é(pialion des oscillations propres
(12) h Ao = ^ cp
n'admet pas seulement, dans le cas du canal considéré au paragraphe 66, la solution
Nous pouvons |)rendre plus généralement Cherchons à déterminer 7. et 'b.
Nous aurons
dy^ dy'- '
d'où, en substituant dans l'équalion dift'érentielle (12),
en posant
La fonction «L est donc de la forme
4/ = Ae)^Pr-HBe->-?r.
De plus, il faut satisfaire aux conditions aux limites. Nous devrons donc avoir, pour j^ = 0 et j^ = Z>,
<a?cp 2(0 rfcp dy X dx
c'est-à-dire
D'où les deux équalions
A e^P6 (p + '4^ a) - B e->-P^ / ^ - ^ a j = o. Elles admettent deux solutions :
1° ^ = "T~ ^- avec A = o. La relation qui lie a et 3 nous donne
alors
et nous avons
= Be v^i^" e ^ v'i^/.
c'est-à-dire l'onde plane précédemment étudiée ;
2" e^'P* = e'^^f^*^ c'est-à-dire m étant un entier. 11 en résulte
La vitesse de propagation - de Tonde suivant l'axe du canal dépend donc ici de la période et de la vitesse de rotation, ainsi que de la largeur du canal. De plus, on a
Les exponentielles où entre y sont maintenant iinaginaiies, et, pour une valeur donnée de x, la phase dépendra de y : nous n'avons plus affaire à une onde plane, mais à une onde dont la crête est ondulée.
Cette onde ne pourra pas subir non plus de rétiexion régulière, car, si l'on change a en — a, on ne pourra pas satisfaire pour toutes les valeurs de )' à la condition exprimant que la composante du déplacement normale à la paroi réiléchissante est nulle.
Dans le cas de l'équilibre absolu, à cause de la réflexion régulière sur les parois, on avait une solution 1res simple pour les oscillations d'un bassin rectangulaire.
On voit qu'iln'en est plus de même lorsqu'on tient compte de la force de Coriolis.
En revanche, on peut traiter complètement le cas d'un vase de forme circulaire.
09. Oscillations propres d'un liquide renfermé dans un vase circulaire de profondeur constante. — Si nous prenons des coordonnées polaires
X — p cos6, JK = p sin6,
léq nation (i'>) devient
d'-^ i do i d-o V'-{-'\(.o-
^^^ dô^ '^ Q d^ '^ ^^ 7m ^ JTi '^"
Nous pourrons satisfaire à celte équation en prenant
m étant un entier.
En effet, on a alors
et Téquation (i3) devient, par substitution,
„ ^ cp' /». -Cp A- -r- 4 w2
On reconnaît l'équation différentielle qui définit les fonctions de Bessel : cp nous sera donc donné par une des fonctions de Bessel d'ordre m. On sait qu'il j a deux solutions : l'une qui est une fonction entière de p, l'autre qui devient infinie pour p = o. Il faudra nécessairement choisir la première.
Observons, en effet, que nous avons trois indéterminées : K et les deux constantes d'intégration de l'équation différentielle. Il nous faudra donc deux conditions, car il doit rester un paramètre arbitraire dans l'expression des oscillations propres, qui ne sont déterminées qu'à un facteur constant près.
La première condition estquecpdoit rester fini; elle impose donc le choix de la fonction de Bessel.
La seconde nous sera fournie par la condition aux bords
dn A ds
Ici,
f/'i do
dn do
inio
ds p du p
Par conséquent, on aura aux bords du ^ase, pour o = 0(
do ■>. to m i
dg ko '
Cette équation déterminera \. Le coefficient de es est réel^ puisque k est imaginaire.
70. Cas d'un vase cylindrique annulaire. — Supposons maintenanL que notre vase de profondeur constante soit limité par deux <;ercles de rayons p = po et p = pi ifig- i6). Alors, la condition
C[ue es reste finie pour p = o n'aura plus aucune signification, puisqu'il n'y a pas de liquide au centre. Mais nous aurons deux conditions aux limites, qui nous permeltiont de déterminer à la fois X et le rapport des deux constantes d'intéi^iation. Ici encore, le problème est donc entièrement résolu par les fonctions de Bessel.
71. Canal circulaire de profondeur constante. — Si p^ et p, sont très grands par rapport à leur dift'érence, nous aurons, au lieu d'un vase, un canal annulaire. Les oscillations propres d'un tel canal s'obtiendront en remplaçant les fonctions de Bessel par leurs valeurs asymptotiques. Posons, en effet,
CD = e6pg'«/6+),<
L'équation (i3) sera satisfaite si l'on a
P p- gli
Quant aux conditions aux limites, elles exigent qu'on ait
ini == — — ,
■2 co
0,11 re|)résentant le ravon moyen du canal, devant lequel nous négligeons la différence po — pc On a alors, dans les mêmes conditions d'approximation,
b ^ — :=:, P. - III. û
l3o PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE VI.
et la solution s'écrit
Nous retrouvons une onde se propageant avec la vitesse s,^gh. Les périodes seront définies par l'expression
^ffh
m étant un entier : on voit que la période est, pour chaque oscillation, un sous-multiple du temps employé pour parcourir la circonférence moyenne, de sorte que l'onde reste bien concordante avec elle-même après avoir fait un tour complet.
72. Oscillations propres d'un liquide renfermé dans un vase tournant de profondeur variable. — Ce cas plus compliqué peut se traiter d'une façon analogue.
Choisissons, comme exemple, un vase circulaire dont le fond serait un paraholoïde de révolution (§ 48). Alors
L'équation du problème est dans ce cas
dx \ dx / X d(h,x) g
Nous chercherons à y satisfaire, comme dans le cas d'une profondeur constante, par
tp = il;( p)e""'6+A', d'où
do
h ne dépendant que de p, le déterminant fonctionnel s'écrit
d{h, o) d{h,o) t)(p,9) dh do I ^ . ^i^^y) ^(P)Q) ^(^)J^j dp db p ""' ^'
L'équation transformée en coordonnées polaires devient donc
INFLUENCE DE LA FORCE CENTRIFUGE COMPOSEE. loi
C'est une équation différentielle de même forme que celle du paragraphe 48, mais renfermant en plus le facteur —^ — qui est réel.
Elle se traitera absolument de la même manière ; on en déduira que le coefficient de es doit être m- — /^(/^^- 2), m et n étant deux entiers quelconques tels c[ue n^m.
Par conséquent, les périodes d'oscillation seront données par
— 1 r — = ni- — n(n -\- -i).
Celte équation est du troisième degré en \. Pour (o très petit, deux des racines tendent vers des valeurs finies et une vers zéro. D'où l'existence de deux classes de solutions : l'une pour laquelle a reste fini, et l'autre pour laquelle X tend vers zéro avec w.
Cela est d'ailleurs général [cf. § 93).
73. Remarque sur une particularité des équations dans le problème du vase tournant. — Reprenons l'équation générale des oscillations propres
^ dx
d l d'o\ 9.C0 rj(/j,cp) X5+4w2
dx j A d{x,y)
où X est purement imaginaire.
Supposons que l'on ait
L'équation admet alors une infinité de solutions simples. En efïet, le second membre s'annule, et l'on peut écrire l'éc(uation sous la forme
dx l' [dx ~^ '' dy ) j ~^ dj l' \dy * dx Elle sera donc satisfaite si nous faisons à la fois
dx dy ~ '
dy dx ~
l32 PREMIÈRE PARTIK. — CHAPITRE VI.
Il suffit pour cela que 'o soit une fonction analytique quelconque
o=f(x^iy).
D'où une infinité de solutions.
Mais ces solutions sont, en général, illusoires. Rappelons, en effet, (|ue nous n'avons obtenu l'équation sous la forme considérée qu'en multipliant léquation (9) par le facteur >,- H- 4 ^jJ" q^ii ici, est nul. 11 faut donc voir si à toute fonction es analytique de x et y peuvent correspondre des quantités u et v. Or, nous devons avoir (§ 60)
1 co
~ dx
f/cp dv
et, dans notre hypothèse, le déterminant de ces équations est nul. Elles ne sont donc plus distinctes. Nous pouvons, en efiet, les
écrire
u — iv =0',
