X-cp 4^" gh ~ gh

INFLUENCE DE LA FORCE CENTRIFLGE COMPOSÉE. l33

en posant

gh

Si nous dilFérentions la première équation par rapport à 7,

nous aurons

du . dv „ dz . „

dy dy dy

d'où

dv „ . du.

dy ^ "f dy

et, par substitution dans la deuxième équation,

du . du ^ „

dx dy

Prenons pour variables les deux imaginaires conjuguées

JNous aurons

d'où

z = x-^ ly, Zi--- x — iy.

du du du

dx dz dzi

du . du . du

dy dz dzi

du du . du „

dz dx dy " ' '

C est essentiellement réel et positif. Le dernier membre de cette équation différentielle est une fonction analytique de :; ; on en déduira donc que // est une fonction analytique de c, à laquelle l'intégration ajoutera une constante, c'est-à-dire une fonction

de r,,

a ^/{z) -H f\(zi).

Si nous posons

cp = 'V,

•V étant la déri\ée d'une certaine fonction de ;, nous aurons donc en intégrant

'ii, représentant une fonction arbitraire de ;,.

1,34 PUIiiMlÈRK PARTIE. — CHAPITRE VI.

Il en résulte

On a donc

u -+- iv = ■>. <\ 1

Il — iv = Y .

iC'k

Mais il reste encore à satisfaire aux conditions aux limites, et ce sont elles qui nous détermineront les fonctions 'i> et •]/,, si toutefois elles peuvent l'être. Or, en général, le problème ne pourra pas être résolu, car ces relations imposeront à la constante C une nouvelle condition incompatible avec sa valeur —r • i gh

Si, par exemple, nous prenons le cas d'un vase annulaire, nous devrons avoir sur les bords

c'est-à-dire

ou

u cosO -t- (' sinO = o.

u ( e'"'^ -i- e-'5 ) — iv { e'^ — e-'^ ;

Nos variables indépendantes étant la condition aux limites s'écrit

c'est-à-dire, en remplaçant u et c par leurs valeurs en fonction de '}et'},,

Nous avons ainsi une relation entre ']>, '|,, z et Zi, qui doit être satisfaite sur les deux circonférences du vase, pour zZi = p^ et

— < — Pi-

Posons

INFLUENCE DE LA FORCE CENTRIFUGE COMPOSÉE. l35

La relation précédente s'écrira

et devra être satisfaite pour o = Oo et ? = pi-

Si nous regardons po et p, comme donnés, cela fait deux équations qui détermineront A et C ; on en tire

Telle est la relation qui doit exister entre po et pi pour que la solution existe.

l36 PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE VII.