CHAPITRE YJl
74-. Nous allons maintenant aborder le problème dans toute sa généralité, en tenant compte à la fois de l'attraction du bourrelet, de la sphéricité de la Terre et de la force centrifuge composée.
Considérons une sphère dont le rayon sera pris pour unité, et soient 8 et 'h les coordonnées colatitude et longitude.
Faisons de la surface de cette sphère une représentation conforme sur une Carte géographique et désignons par x, )'les coordonnées rectangulaires sur cette Carte du point B, 'L.
Imaginons sur Ja surface de la sphère une courbe fermée quelconque C limitant un domaine D dont l'élément de surface sera dfj; soient également ds l'élément darc de la courbe C et d/i l'élément de la normale intérieure à cette courbe dans le plan tangent à la sphère.
Sur la Carte, nous aurons comme éléments correspondants une courbe plane C, un élément de surface r/u', un élément d'arc ds' et un élément de normale dn' ; et nous aurons les relations
ds' = k ds^ dn' = k dn . d^' = k- rfu,
k étant le i^apport de similitude, lequel est fonction de x et y, ou de f) et <\.
75. Si nous considérons le cône ayant pour sommet le centre de la sphère et pour directrice la courbe C, la quantité de liquiue renfermé à l'intérieur de ce cône éprouvera un accroissement par le fait de la marée. Cet accroissement est égal, d'une part, à la quantité de liquide qui pénètre à travers la surface latérale ; si nous désignons par N la composante du déplacement nor-
LIQUIDE PKSAM RECOUVRAXT UNE SPHÈRE TOURNANTE. \3y
maie à l'élément ds, il entrera par le petit rectangle h ds, dont cet élément est la base, une quantité h'N ds. D'autre part, si ^ représente la surélévation, à chaque élément <ia- de surface correspondra un accroissement de volume élémentaire égal à — Ç<^3", en comptant, comme précédemment, ^ positivement dans le sens des z- positifs, c'est-à-dire vers le bas. L'équation de continuité sera donc
1 hN ds =— I ^d7,
l'intégrale du premier membre étant étendue à toute la courbe C et celle du deuxième membre à tout le domaine D que limite cette courbe sur la surface de la sphère.
76. 11 faut maintenant évaluer IiN. Reportons-nous pour cela aux résultats obtenus dans le problème du vase tournant.
Nous avons vu (§ 60) quen siijjposant la profondeur très petite, ce qui est la seule hypothèse à considérer lorsqu'il s'agit des marées, w est du second ordre, u et v étant du premier, et que tout se passe alors comme si la rotation se réduisait à sa composante verticale.
(o représentant cette composante, les composantes u et \^ du déplacement suivant Ox et Oy sont données par les équations
do dx
Il =
do dp
la fonction 'o étant toujours définie par la relation
Ces équations, résolues par rapport à ;^ et à r, nous ont donné
À2 / do
■A (jO do
À--!- 4 w- \dx
):- (do
■'. to do
A- -i- 4 to- \ dy
D'une manière générale, si nous appelons N la composante du déplacement suivant la normale intérieure à 1 élément ds d'une
l38 PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE VIT.
courbe quelconque tracée dans le plan de la surface libre, nous aurons
X2 / do
dy dx
ds ds X--t-4t'->"" \dn
~T Ifs)
Tout ceci suppose que le contour fermé C est décrit dans le sens positif généralement adopté, c'est-à-dire que, si nous imaginons
une petite circonférence tangente intérieurement à la courbe C, celte circonférence doit être supposée parcourue dans le sens de Ox vers Oy par rapport à son centre, et déterminera ainsi le sens positif sur C {fig- t-).
77. Ces résultats s'étendent immédiatement au cas de la sphère tournante.
En efTet, si nous considérons une portion suffisamment petite de la surface de cette sphère, nous pourrons la regarder comme plane, et nous nous trouverons ramenés ainsi au problème du vase. Seulement, la quantité w qui figure dans les équations que nous venons de rappeler était la composante efrective de la rotation suivant la normale à la surface libre ; si donc nous désignons ici par w la vitesse de rotation de la Terre, nous devrons introduire dans nos équations oo cos 8 au lieu de w.
L'expression du déplacement normal à la courbe C tangentiellement à la sphère est alors
do
