X- + 4 W' cos

o. w cos 6 do\ X Tts)'

, •iio cos 6 ,

/î2 = ■ ^ /il-

Nous aurons

/AN^.=/(/.^--A.g)^.

ou bien encore, en remplaçant dn et ds respectivement par

dn' ds' , , 11

—r- et -X dans Je second membre,

{^bis)

Transformons d'abord l'équation (4). Observons pour cela que nous pouvons, au troisième ordre près (§ 5o), substituer au flux

qui traverse chaque élément ds de la courbe C la somme des flux pénétrant à travers les côtés de l'angle droit du triangle rectangle infiniment petit dont ds est l'hjpoténuse {fig. «8). Par conséquent

sinO d'il aO

L'intégrale du second membre est une intégrale de ligne étendue à toute la courbe G ; transformons-la, par la formule de Riemann, en une intégrale de surface étendue au domaine superficiel limité par C, et nous aurons

fhx^ds

dO d'h

-— ( /(i sinD — j^ <r/0 \ <r/6

D'autre part,

d f Jh d^ dl Isine d'h

C MX 71 (dhï d<^ dlu d^\ C^'^f'-i^'^) M^\ V ^^^ ^^'^ [^dt--d^dJï) =j -àï^''' ^^-

l4o PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE VII.

Il vient donc, en porlant ces valeurs dans (4) et (i),

(5) I hN ds =:— fz^sin^dOd'b

J '[d<^\ ddj d<li\f^in(i d'bj c){^,'h)j

Opérons maintenant une transformation analogue sur l'équation (4 bis) ; nous aurons

fh, % ds' = fhJ'Ild.^'^dy) = f(^ d^clh^d^\ ^i^^ J ds J \dx dy '^ l j \ dx dy dy dx / "^

et, comme en passant de la sphère à la Carte l'équation (i) devient

/ hN ds = — / YT, dx dy, on a, en substituant dans (4 bis)^

Les relations (5) et ( 5 bis) ont lieu pour une courbe G quelconque ; ce sont donc des identités.

Par suite, les équations du problème seront : En coordonnées sphériques,

,„, d / d'Ji\ d / hi do\ 0(ho,o) ^ . «

^■^^ 56^^^'"^^) ^^(sTiTê dt) -^ TTM^ -^""^

et, en coordonnées rectangulaires sur la Carte,

( t) bis) > __ A. -^ ^ \ — -^.

^ ' jLudx\clx) à(x,y) t'

La valeur de (^ nous est fournie par la condition à la surface libre, qui donne (§ o6) , , ^ X2o ri" Ce>^t

*^7) ^= "ir ~ ^ ^■

Le dernier teraie, qui représente celle des composantes isochrones du potentiel perturbateur que l'on considère spécia-

LIQUIDE PKSAXT RICCOLVRANT UNK SPIIliRE TOURXAM'K. l4l

lement, est à supprimer pour l'étude des oscilla lions propres : A est alors une inconnue dont la détermination, comme celle de o, résultera des équations précédentes, ainsi que des conditions aux limites.

Lorsqu'on voudra obtenir les oscillations contraintes, C et ). seront des données de la question.

En éliminant ^ entre les équations (6) et l'équation (^), on obtiendra, soit sur la sphère, soit sur la Carte, l'équation qui doit déterminer o :

OU

Ensuite, l'équation (^) donnera la surélévation et l'on obtiendrait par l'équation (2) la composante du déplacement suivant la normale à un élément quelconque de courbe tracée sur la surface libre.

78. Autre forme des équations. — Ces équations ont un avantage : c'est que, dans le cas des oscillations propres et sous la réserve de ne pas tenir compte de l'attraction du bourrelet, elles ne renferment qu'une seule fonction inconnue, à savoir la fonction cd.

Mais elles présentent aussi un inconvénient: c'est de contenir les quantités /i, et h-,, dans l'expression desquelles figure en dénominateur )v^ -f- 4 t'^'" cos- 9. Or, X- étant toujours négatif, ce dénominateur pourra s'annuler pour certaines valeurs de G. hi et Ao sont donc susceptibles de devenir infinis. Pour voir ce qui se passe alors, prenons, par exemple, l'équation (6 bis) sur la Carte, et remarquons cju'elle peut s'écrire

[, I do aojcosO d'i^ \\ d\, (do ^.cocosf) doxl t ^^' [tù- + —1— ty)\ ^ dj r ' ( ^' r- T.)\ = w

Considérons le terme en -j- ■ Pour la coialitude 0 telle que

osO=±X,

l42 PRliMIKRE PAUTIK.