CHAPITRE VII
h. ~r- devient infini ; de même ki
~- Mais on a
d^ 2 0J cos6 d(f dx X dy
X^ -+- 4 W- cos^ 6 kl'-
et, par suite, cette expression s'annule pour la valeur de 6 considérée. Les termes infinis se détruisent donc. De même pour le
terme en -t-; de sorte que l'ensemble des termes reste fini. dy 1
Néanmoins, pour éviter cette difficulté, il peut y avoir avantage à présenter les équations sous une autre forme.
Considérons pour cela le déplacement d'une molécule et les composantes de ce déplacement suivant les axes des x et des y tracés sur la Carte. Si nous désignons ces composantes par a et Çy les composantes du déplacement réel sur la sphère seront kii et fiv, de telle sorte que l'élément d'intégrale /iN ds reste le même, qu'il soit estimé sur la courbe C ou sur sa transformée C. De plus, si nous désignons par de, et d'r\ les éléments rectangulaires correspondant sur la sphère à dx et dy^ nous aurons, en vertu de la
similitude,
k de, = dx, k dr^ = dy.
Les composantes ku et kv sont liées par les relations
, 2 0) cos6 , do do
ku r Ap = -^ = A- -^ ,
A tir CIX
, 2 0) cos6 , d'^ , do
kv H ;^ ku —- -r- = k -~ ,
A (ir^ dy
qui s'écrivent, après suppression du facteur A",
2 w cos 0 do
X dx
I 2 0) COSO CIO
On retrouve les équations connues du vase tournant, la vitesse de rotation étant w cos 9.
Nous avons, de plus, l'équation de continuité
Çh ^ ds=— f p dx dy.
LIQUIDE PESANT RECOUVRANT UNE SPHÈRE TOURNANTE. l/\'i
N est la composante du déplacement vrai normal à l'élément
ds sur la sphère ; ses cosinus directeurs sont proportionnels à
dr. de , , 1- , dy ^ . dx
r' et H — r^ c est-a-dire a f-; et -t- -ti •
as ds ds as
On peut donc évaluer facilement la première intégrale en fonction des éléments sur la Carte ; on a
fh N ds = fh (kv ^^ - ku ^) ds = fhk ^fçdx- u dy\
= / /'( V dx — ady\-= — / 2, ~T~ ( ^^" ) ^^ ^.y.
D'où, en égalant les deux valeurs de / AN ds^ l'équation
qui tient lieu des deux équations (6) et (6 bis).
Nous avons ici trois fonctions inconnues : «, v et C5, et trois équations.
Si l'on veut éliminer es, il suffira de différentier l'équation ( lo) d'abord par rapport à x, ensuite par rapport à y : nous obtiendrons ainsi deux équations en u et v^ dans lesquelles n'entreront plus de coefficients susceptibles de devenir infinis [voir § 16o).
79. Théorèmes de Laplace. — i" Cas où la profondeur est. seulement fonction de la latitude. — - Laplace a montré que, si li ne dépend (|ue de la latitude, la marée ne subit pas de retard : sa phase est la même que celle de la force perturbatrice.
Considérons, en eflet, le terme Ce^'. Nous savons (§ 29) que le potentiel P — Po d'un astre en un point déterminé peut se décomposer en une somme de termes de la forme
Y étant l'angle horaire oj^ + -i; — /ï\ de Fastre ;
<I> dépend de la colatitude 8, de la distance polaire o et de la distance p de l'astre au centre de la Terre, mais pas de la longitude;
s est un nombre entier pouvant prendre les valeurs o, du i , d= i>.
l44 PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE VII.
En remplaçant v par sa valeur, on peut éciire
tp g—sîIR. gsiMi-hsi'b^
Les coordonnées de l'astre variant lentement, (^e '^'^ sera une fonction de G et du temps qu'on pourra développer en une série
trigonométiique de la forme > Be^^^.
B ne dépend que de 6 et est proportionnel à
3cos2 6 — I
pour
sinaO
sin^e
Si maintenant nous posons
), =^ situ -h iix,
nous aurons
P — Po=2Be^''H>-S
[j. étant 1res petit, À diffère peu de .v/w. Pour une composante isochrone Ce^^ du potentiel perturbateur, nous avons donc
s ayant une valeur entière voisine de -r^-
Considérons alors les équations du problème. Dans le cas où h ne dépend pas de '];, elles se simplifient et deviennent
d /, . ^d^\ ht d'-o 210 f/cp d( h^ cosO)
^ ^ d%\ ^ d% J sm6 d'Y^ A d'h db
C étant proportionnel à e^'i', nous pr)urrons satisfaire à ces équations en prenant o, Ç et, par conséquent, II" proportionnels à e"'^, sous la forme F(9)e^"^+'^. Nous obtiendrons ainsi pour chaque composante isochrone une onde se propageant suivant les paral-
leles avec la vitesse — .•
SI
Mais, de plus, il faut montrer qu'il n'j a pas décalage.
LIQUIDE PESANT RECOUVRANT U.\E SPHÈRE TOURNANTE. l45
Or, nous avons
d'où, en substituant dans les équations,
cl / j . f, d(D\ , /'iÇ 2WSJ d( h,cosQ) ^ . ^
De plus,
et
= i(X2cp — n"— Ge"-^')
Nous avons ainsi entre les inconnues C5, >^, II" et la donnée Ce^' trois relations qui sont des équations différentielles linéaires dont
tOLis les coefficients sont réels, puisque 4 est réel.
11 y aura donc forcément une solution réelle. Si, en effet, nous pouvions avoir une solution imaginaire, la solution imaginaire conjuguée conviendrait également, et leur combinaison donnerait encore une solution réelle. La solution étant, en général, unique, il en résulte qu'elle est réelle, c'est-à-dire que les fonctions de 9 qui entreront dans les expressions de cp et de Ç n'auront pas de partie imaginaire.
Or, la phase de la force perturbatrice est l'argument de la quantité imaginaire Ce'-^; la phase de la marée est l'argument de la quantité imaginaire Ç Ces quantités étant toutes deux égales au produit de l'exponentielle e^"^+^'^ par une fonction de 8 réelle, leurs arguments seront tous deux égaux à 5'i> H — rt et, par suite, il n^y aura
pas de différence de phase, ou du moins elle ne pourra être que o ou Tc. Ainsi donc :
Le retard de la marée serait nul si la profondeur ne dépendait que de la latitude.
11 importe de remarquer que ce théoi'ème n'est plus vrai pour une loi quelconque de la profondeur; en particulier, il ne s'ap-
l46 PnKMiÈRE PARTIi:. — CHAPITRE VU.
plique pas au cas des mers. Beaucoup d'auteurs, néanmoins, s'y sont trompés et, attribuant au théorème de Laplace une généralité qu'il ne comporte pas, ont cru pouvoir en conclure que le décalage de la marée par rapport à la force perturbatrice avait pour cause le frottement. Or, l'influence du frottement est tout à fait insignifiante et le retard constaté doit être imputé entièrement à la loi de profondeur.
On peut voir aisément d'une autre manière que ce théorème de Laplace n'est pas général. Gomme il ne dépend pas de la grandeur de la rotation, il serait vrai même si l'on ne tenait pas compte de la force centrifuge composée, (jr, nous savons que dans ce cas, si l'on considère les oscillations propres harmoniques, il j a partout concordance de phase dans le système (§ 8). Lorsque A serait très voisin de l'une des valeurs d'oscillation propre, Toscillation contrainte serait très voisine de cette oscillation et devrait, par suite, avoir comme elle même phase en tous les points de la mer considérée. Pour le potentiel perturbateur, au contraire, la phase dépend de la longitude : il j a donc forcément décalage.
Et cependant le théorème nous apprend qu'il n'j a pas décalage lorsque la profondeur ne dépend que de la latitude. C'est qu'alors l'équation qui donne les périodes des oscillations propres pour oj = o a toutes ses racines doubles (^voir § 93); et nous savons que le système peut dans ce cas prendre des oscillations propres qui ne sont pas harmoniques au sens restreint du mot, et présentent des lignes cotidales (§§ 20, -49).
Il n'est pas inutile de faire remarquer encore que ce théorème de Laplace n'exige nullement que la mer recouvre tout le globe; seulement, s'il existe des continents, ils devront être limités par des parallèles.
80. Théorème IL — La marée diurne est nulle si la profondeur est constante. — Plaçons-nous d'abord dans le cas où la profondeur n'est fonction que de la latitude, et cherchons quelle doit être la loi de profondeur pour que la marée diurne soit nulle. Pour cette marée, on a 5 = i . Prenons également
